以退为进 化难为易

刘美良++陆立峰

当前，高三教学对高考真题的引入往往是把高考试题直接呈现，这样做的好处是学生知道是高考题，会激起学生的求知欲、好胜心，及享受问题解决后的成功感. 然而，更多的学生看到高考题时会产生畏难情绪，甚至有恐慌心理，从而导致高考试题价值没有充分挖掘，教学效益就大打折扣.围绕上述问题，备课组进行了微主题的教学设计研讨活动，要求教师以高考二轮专题复习为背景，选用一道高考试题作为例题，进行教学设计、课堂展示和研讨，试图构建具有一般性、可操作性的高考试题的教学设计模式.本文就以一道高考试题为素材，将我校的以高考试题教学为微主题的一次教学展示研讨活动的过程，整理成文，以期与同行交流、探讨.

一、选题——乱花渐欲迷人眼

在茫茫题海中选什么样的题作为教学内容，更符合学生的心理诉求和高考考查方向；如何用之，更能提升其教学价值？其方法是否具有一般可操作性？这些问题一直困扰着备课组里的每一位教师.茫茫题海何处寻、乱花渐欲迷人眼，找来找去，反复比较，最后基本统一意见，选取了浙江省2011年高考第21题作为这节课的核心问题进行教学. 理由主要有三点：一是题目代表了浙江高考命题的考查方向.纵观近几年浙江解析几何试题，确有“似曾相识燕归来，风雨依稀似故人”的感觉.试题结构具有相当的关联性：在“双曲”的几何背景下，设计了一点出发的两条直线，构成一个典型的“双斜率”问题.这类问题涉及的几何要素多，计算要求高，算法设计能力强，承载着高中主要数学思想如函数与方程，化归与转化等，突出体现了“主干知识重点考”的浙江特色. 二是解析几何历来是师生最不愿直面的问题，平时考试几乎没有几次能完整解答，是学生迈不过的“一道坎”，也是老师心中“永远的痛”，因此是二轮备考亟需突破的一个点.三是“双斜率”问题符合学生实际，学生在解决此问题时，对直线方程假设是直接采用斜率作参量还是用点的坐标作参量，难以定夺，所以选此题具有针对性.同时在高三二轮复习中，学生薄弱的、需要提高的是解决“压轴问题”的思想和心理.这三点理由也符合高三复习教学中题目选取的一般原则，即题目具有代表性、针对性、综合性、灵活性、整体性.

二、初次上课——问题始露尖尖角

第一次上课，教师备课选用了三道高考题作为上课的内容，一是2011 年浙江高考试题理科21题，二是2011年浙江高考试题文科22题，三是2009年浙江高考试题理科 21 题，并准备把第一题作为例题，第二题作为变式引申，最后一道题做为练习.

上课一开始，教师就直接将2011年浙江高考理科21题投影显示（如图1），并问学生谁有想法请发言，课堂上一片寂静，约过5分钟老师请一位同学发言.

生1：我想求出点E，F的坐标，所以先假设P（x0，[x0][2]），再设直线PE，PF的方程.

师：嗯，有道理，那PE，PF的方程怎么表示？

生1：记切点A（x1，y1），B（x2，y2）的切线方程：PE：x1x+（y1-4）（y-4）=1.PF：x2x+（y2-4）（y-4）=1.

师：那怎么求出点E，F的坐标？

学生面露难色，迟疑不决，其他同学也觉得涉及5个变量，肯定做不了！难道还要霸王硬上弓，用求根公式解出两个交点？一时间学生议论纷纷，课堂有点嘈杂，很明显学生的思路和老师想法不一致.这时，教师急了，抛出了参考答案的解法，详细解答了这个题目.之后就直接给出变式即2011年的文科第22题，供学生模仿练习，剩下给第三题的时间不多了，教师有点乱了阵脚，只是点到为止.课后备课组的同伴围在一起七嘴八舌，有的说课堂容量太大，计算要求过高；有的说直线方程的假设是关键，两条直线的斜率关系的探求，学生反映都难以想到；有的说方法的呈现不自然，犹如“魔术师帽子里突然多了一只活蹦乱跳的兔子”，教师这样讲有点生吞活剥、囫囵吞枣似的.那么到底难在哪里？怎样的教学处理能化“难”为“易”？这节课要达到什么样的教学目标？什么样的教学境界？这节课首先是难在如何通过两条切线方程合理表示，求出点E，F的坐标.而合理的设点，设直线方程是解析几何的一种基本能力，这种能力的形成一方面需要经验的积累，另一方面需要有一定的预见性，并将该能力的培养渗透在平时点点滴滴的教学之中.经过讨论，大家认为这节课的教学目标不能仅是完成高考试题的教学和展示，而是要通过问题的解决的过程中落实解析几何的思想方法，在自主探究的过程中将条件、结论进行有效地、自然地化归，并通过合理地设点、设曲线方程减少运算，优化算法，形成一种能探究“陌生的东西”、解决“繁难问题”的心理意识和机制.按照这样的想法，重新进行了教学设计，第 2 次上课教师利用问题串、变式串在学生最近发展区进行启发式探究教学.

三、再次上课——轻舟已过万重山

问题1：如图2，已知点P（-1，1）在抛物线C1：x2=y上，圆C2：x2+（y-4）2=1，求过点P且与圆C2相切的直线方程.

师：满足条件的切线方程有几条？如何求出切线方程？

生2：假设切线的斜率为k，则切线方程：y-1=k（x+1），利用圆心到切线的距离等于半径即可求出.即：=1，即k=，说明还有一条切线是斜率不存在的情况.所以两条切线方程是：x=-1，y-1=（x+1）.

师：很好，考虑很全面.通常关于k的方程有两个解k1，k2，真是一“k”两用一箭双雕啊！

变式1：已知抛物线C1∶x2=y，圆C2∶x2+（y-4）2=1的圆心为点M.点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，若两条切线的斜率之积为3，求点P的坐标.

师：条件中的“斜率之积为3”如何用数量关系表述？

生3：就是前面指的k1，k2的乘积等于3（学生脱口而出），即：k1·k2=3.

师：那如何借助k1·k2=3，求出点P的坐标？endprint

生4：设点P（x0，[x0][2]），过点P的切线方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，则由=1，可得（[x0][2]-k2）+（8x0-2[x0][3]）k+[x0][4]-8[x0][2]+15=0（*），k1k2=3=，∴[x0][2]=2，或[x0][2]=9，即可求出点P的坐标.

师：这个求解方法有值得我们学习总结之处吗？请发表看法.

生：把k1k2=3当作（*）式方程的两根之积，以k为主元，这样处理很有效.

变式2：已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，若两条切线交y轴于A，B两点.是否存在点P，使线段AB被点N（0，）平分？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

师：解决问题的关键是求出哪些量？如何求？

生5：求出A，B两点的坐标.所以由变式1：过点P的切线方程：y-[x0][2]=k（x-x0），即kx-y+[x0][2]-kx0=0，令x=0，则A（0，[x0][2]-k1x0），B（0，[x0][2]-k2x0），所以=2[x0][2]-（k1+k2）x0，由（*）式方程可得：k1+k2=，代入上式：=2[x0][2]-·x0，可得[x0][2]=.

师：看来由一点出发“双斜率”问题，找到两者的斜率的关系很要紧，要具有方程的意识.这样的处理方式值得总结，推广.

问题2：如图1，已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，两条切线交抛物线于E，F两点.若过M，P两点的直线l垂直于EF，求直线l的方程.

师：有前面的解题经验积累，应先求出哪些量，又如何表示呢？

生6：求出E，F的坐标，然后根据条件kMP·kEF=-1，可求出点P的坐标.

设E（x1，y1），F（x2，y2），由y-[x0][2]=k（x-x0），

y=x2.?x2-k1x+k1x0-[x0][2]=0，∴x1·x0=k1x0-[x0][2]，∴x1=k-x0，同理∴x2=k2-x0，∴kEF==x1+x2=（k1+k2）-2x0，由kMP·kEF=-1即可求出.

师：直线和曲线相交问题中，已知一个点的坐标，借助韦达定理求另一个点的坐标，是常用的方法，也是解析几何中一种常见的结构模型.

生7：其实求E，F的坐标，还可简单点，利用点差法就可以. ∴kEP==x1+x0=k1，kEF==x2+x0=k2. 全班同学为其鼓掌、喝彩.

师：请同学对以上问题认真总结，并在原题的背景上，能否思考并提出新的、有价值的问题？

学生轻声交流，思考，很快有学生就提出新的问题，经整理如下，供学生自主练习.

（1）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M. 已知点P（t，t2）（-3≤t≤-2）是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，若两条切线交抛物线于E，F两点.求直线EF斜率的最值.

（2）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M. 已知点P（t，t2）（-3≤t≤-2）是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，若两条切线交抛物线于E，F两点.求△PEF的面积的最小值.

表扬学生的有意义的思考后，教师自然地投放了2011年的浙江文科高考试题.

（3）（2011浙江，22）如图3，设P是抛物线C1：x2=y上的动点，过点P作圆C2：x2+（y+3）2=1上的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点，是否存在点P，使得线段A，B被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，则说明理由.

并告诉学生问题2就是2011年浙江理科的21题，老师顺水推舟，展示了浙江近几年高考试题——双斜率模型一眼望穿！学生真切感知高考解几试题的“本”与“源”，可谓一题破万题山！学生的情绪高涨，难以自抑！整节课自然顺畅，有序递进，师生有效互动，思维活跃，全然没有着急的焦虑，却不知不觉有轻舟已过万重山的欢快！下课的铃声已响起，学生的思维仍没有止步，部分同学在课后又自编了如下问题.

（4）在平面直角坐标系xOy中，设P是椭圆C∶+=1上的一个横坐标大于2的一个点，过P作圆（x-1）2+y2=1的两条切线分别与y轴交于A，B两点，试确定点P的坐标，使得△PAB的面积最小.

四、思考

选用高考题为例题的解题教学，与其说是教“解”法，不如说是教“想”法. 即进行“解题技能”成因的合理性、必要性的探究，让思路来得自然一些，使学生知道解题思路的形成是有规律可循的，是有人情味的、清楚的，这才是解题教学的根本之道.所以，在第二次教学设计中，教师在学生的“最近发展区”设计问题1 “求过圆外一点的切线问题”，然后借助变式1中的“斜率之积为3”这一问题逐步逼近思维核心和问题本质；问题 1及其变式其实是问题 2 的“退化”，是根据问题 2 中的双斜率背景编制而来.为此，围绕着它设置了问题 1 及其两个变式来搭建学生得以攀爬的“支架”，使学生一步一个台阶，循序渐进、节节攀登，使课堂真正回归到数学知识生成、学生思维发生的“原生态”.至此，把2011年浙江21题这样一座“难以攀登的大山”进行了“解体”、“退化”，在几何系统结构不变的情况下，设计了一系列问题串、变式串，比较好地突破了教学的难点.这样的设计，自然顺畅，有序递进，使问题建构在经验基础之上，有规律可循，一环扣一环、一步进一步，引导学生在一个逐步开放的空间里自主地发现，探究，直到学生自编关联性的问题.

当然，对于一道高考试题，尤其是“难”题的教学而言，可根据问题的特点，学生的基础，设计不同的教学方法，也可将各种教学方法结合运用.传统的直面问题的讲授法并非唯一的选择，适当把原来的综合问题进行分解、分拆、退化. “善于退，足够的退，退到最原始而又不失去本质的地方”，退到在学生已有的经验基础上建构方法、化难为易，也应成为广大教师尝试高题试题教学的一种追求！endprint