整体把握教材规划教学核心

☉江苏省白蒲高级中学丁勇

整体把握教材规划教学核心

☉江苏省白蒲高级中学丁勇

新课改后，各地涌现出形式各样的教学改革·这些改革涉及了课堂的组织形式、师生地位的重新确定、课堂的教学流程等，一定程度上改观了以往沉闷的课堂，但是这样的改革是表面的、浅层次的，一定时期后，由于教师和学生的“审美”疲劳，不能持续促进提高课堂的有效性·针对上述问题，笔者以为只有从宏观上把握课程核心，对课程内容进行整合、再造，进一步从微观上明晰每一节教学内容的核心，才能使我们的教学有的放矢·本文试图从章节整体把握教材，理解教材，明确本章节最根本、最核心的地方是什么，规划每一节的教学内容，进一步预设出合适的教学形式，使得我们的教学符合学生的认知规律，促进学生的发展，提高教学的效率·下面通过两角和与差的余弦教学案例，阐述笔者的一些思考·

一、章头课——发挥先行组织者的作用，承载知识生成点

案例：两角和与差的余弦·

1·教材内容的分析

微观角度（章节内）：本节内容是苏教版必修四第三章“三角恒等变换”第一节内容，通过两角和与差的余弦的学习，进一步学习两角和与差的正弦、正切，以及二倍角的内容·在三角恒等变换的教学中，利用向量的数量积两种运算形式推导出两角差的余弦公式，并以此公式为起点，推导出两角和的余弦公式，进一步推导出两角和与差的正弦、正切，以及二倍角公式·对于学有余力的学生可以在教师的引导下，进行探索和讨论交流，推导积化和差、和差化积、半角公式·新课标与传统教材相比，摒弃把三角变换单纯作为运算，一味强调三角变换的方法和技巧，而关注公式的发现、探索、推导的过程，重视学生思维的培养，关注数学思想的渗透·

中观角度（模块内）：必修4共三章内容，三章之间存在紧密的联系·三角变换作为三角函数的运算，是对三角函数知识的进一步运用，另外一方面，三角变换是由三角函数的定义推出的逻辑结论，体现三角函数本质的特征，同时，三角变换中公式的推导，主要借助于同角关系和诱导公式，以及从特殊到一般，再到特殊的数学思想·向量位于本模块的中间章节，充分体现出三角函数与向量的紧密联系，也彰显出向量的双重特性·最显性的是，利用向量数量积推导出三角恒等变换核心——两角差的余弦公式·

宏观角度（模块间）：首先，三角恒等变换作为三角函数的运算，不但丰富了三角函数研究的内容，同时又为数学运算家族增添了新成员·其次，三角函数作为特殊的函数有此运算，那么对于后续学习的概率、数列等特殊函数的研究具有指引作用·另外，为数学思想、数学方法的渗透，提供了良好的思维素材·比如化归思想，特殊与一般转化的思想等·

2·教材内容的整合

基于上面教材的解读，我们有必要对相关内容进行整合、再造，确定第一节课，如何体现本节课对本章后续内容的引导作用，发挥先行组织者的作用，如何体现本节课对本章后续内容研究方法的引领作用，如何实现通过本节课的教学促进对本模块内容进一步深化理解，如何有效地把数学思想渗透在思维材料里，通过什么样的方式让学生深刻领会其间蕴含的数学思想和数学方法，从而增长智慧·下面结合具体的教学设计做简要的说明·

3·两角和与差的余弦第一课时教学设计的简要说明

活动目标：

了解两角和与差的余弦公式的推导过程；能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值·

活动方案：

活动一：了解两角和与差的余弦公式的推导过程·

例1设向量a=（cos140°，sin140°），b=（cos25°，sin25°），根据图1，试分别计算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+ y1y2·通过计算你能得出什么结论？

图1

图2

例2若a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），根据图2，你又能得出怎样的结论？

设计意图：首先，给学生指引出发现的方向，可能降低探究的难度，但这种降低是与学生的最近发展区相适切的、是必要的·然后，通过特殊情形，让学生利用向量数量积算两次的方法，得出结论，在此过程中让学生发现运算结果的特征·同时引导学生感受这种发现的一般性，从而进一步推广到一般情形，发现出一般的结论·经历此过程，学生感受与本模块的三角函数的定义、单位圆、和数量积的相关知识建立了联系，同时又是一次知识的应用·最后，让学生体会两角差的余弦的源头是数量积（当然还有其他方法，只是针对本书），体会推导算两次的思想，以及特殊与一般的转化思想·

思考：根据两角差的余弦公式和诱导公式推导出两角和的余弦公式·

设计意图：和与差的运算在其他数学对象中早已经非常熟悉，互为逆运算，如何根据两角差的余弦得到两角和的余弦只是作为学生已有知识、经验在新问题上的应用，另外一方面，我们可以进一步提升对问题的理解，可以把两角和的余弦看成是两角差的余弦的特殊情形，即把两角差的余弦中的β用-β替换·

小结：公式特征·（略）

设计意图：对于数学公式的教学，不但要让学生感受探究的过程，还要对公式的特征加以认识，设计这样的开放小结，让学生发现公式的特征，通过学生的观察，体会出函数名、等式两边的次数、符号、及公式结构等的异同·

活动二：知识运用·

例3利用两角和的（差）的余弦公式证明下列诱导公式：

例4不查表，求cos75°，cos15°，tan15°的值·

设计意图：例3（1）通过两角差的余弦公式从另外一个角度认识诱导公式的由来，建立两角差公式与诱导公式的联系，反映出两者的同源性，三角函数的定义·例3（2）蕴含与前面知识及后续知识的联系，一方面与诱导公式的联系，一方面与同角关系的联系，一方面与两角和差余弦的联系，一方面又为本章后续两角和差的正弦做铺垫，是知识的生成点·即与前面知识建立深刻的联系，又为后续知识的生成提供内容和方法·例4通过几个一般角的三角函数值的求法，让学生体会如何处理问题，如何转化的方法·这是三角恒等变换的核心思想和方法之一·通过这两个例题充分彰显三角恒等变换问题的核心方法，同时加强知识间的横向联系，更难能可贵的是加强知识生成点的教学，为后续内容的自然发展，提供了土壤和肥料·当然在解决问题的过程，也体现了许多重要的数学思想·

二、章中课——发挥思维方法的威力，承载知识生长点

波利亚曾经说：“类比是伟大的引路人”·在教学中，通过类比能够引导学生观察对象的相似性，从而提出问题，解决问题·这为我们开展教学提供知识的生长点·比如“等比数列”（第一课时）的教学，学生已经学习等差数列的概念、通项公式、下标和性质，以及前n项和相关内容，那么如何进行等比数列的教学呢·常见的教学方式有以下三种：

方式一：按照等比数列的概念、通项公式、下标和性质，以及前n项和相关内容，按部就班地讲授·

方式二：按照等比数列的概念、通项公式、下标和性质，以及前n项和相关内容，按部就班地讲授·最后利用类比方式比较等差与等比的异同·

方式三：先给出新数列（等比数列），让学生描述新数列的特征，让学生给出新数列的概念（文字语言、符号语言）·进一步说出是怎么给出概念的，学生会回答类比等差数列，自然产生新的问题，等差与等比的异同（文字语言、符号语言）·引导学生思考，给出等比数列的概念后，研究什么内容，你是如何思考的？进一步学生回顾出等差数列研究的内容，说出等比数列研究的内容·再进一步，你能根据等差数列研究内容的结论，猜想出等比数列的结论吗？这是有很大难度的，其实我们需要给学生引导出研究的方法·这时，教师可以做这样的阐述：你能根据等差数列研究内容的方法，类比研究等比数列吗？这样就使得原本冷冰冰的知识，变成学生自主发现、猜想、验证的过程，让学习知识变为水到渠成的过程·

通过上面三种方式的比较，什么样的方式更易于学生主动的学习，答案是显而易见的·而其中最关键的是引导学生发现两类事物的相似性，激发学生类比思维，使得后续知识有知识生长点的指引，但我们还要注意类比的时机，比如方式二、三的差异·上面的案例不仅揭示类比知识，而且类比知识的研究方法，可见类比的强大威力·其实，在高中课程中，这样的类比思维方法，促进知识的生长点还有很多，比如指数、对数、幂、三角函数、数列、概率；椭圆、双曲线、抛物线；线线、线面、面面·在教学中，我们可以借助思维方法，尤其是类比的方法，对于促进学生的学习，培养学生的创新能力有巨大的促进作用·

三、章尾课——重视方法论的力量，承载知识共生点

数学方法论主要研究数学的发展规律、数学思想方法·其主要目标帮助人们学会思维·重视方法论的教学，有利于把数学的学术形态转化成数学的教育形态，有利于学生经历、体会数学家的思维方式，有利于培养学生的创新思维·以“向量数量积”的教学为例，说明方法论教学的重要意义·

运算是数学学习的一个基本内容，运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索·学生关于数学运算已有哪些知识，有哪些研究的经验？向量对于学生理解数学运算有哪些作用？本节向量数量积的运算有哪些知识，怎么研究，研究哪些内容？其实对于每一种运算，我们都遵循这样的研究方法论：给出运算的定义（有些可以给出几何解释）；研究这种运算有哪些特殊的情形（特殊的对象的运算，特殊的位置），比如零元、单位元等（同样可以给出几何解释）；进一步研究该运算有哪些运算定律，常见的有交换律、集合律、分配律等，同样对运算定律给出几何解释；最后就是该运算有哪些应用·为了进一步深化对运算本质的揭示，可以从变换、映射、函数的观点认识这些运算，发现运算结构的异同·另外，向量数量积运算的学习既增加运算的内容，又为后续学习其他运算提供方法论经验·使得所有的运算，在运算方法论的大集体中共生·

四、结束语

生成、生长、共生是生物学中的专有名词，反映出生物发展的状态·其中生成、生长反应出个体的发展必经阶段，而共生是反映出两种不同生物之间所形成的互利关系·笔者以为，借助章头课，发挥先行组织者的作用，引导学生找寻知识的生成点，使得知识的学习找到源头，找到知识的“根”；借助章中课，发挥思维方法的威力，引导学生发现知识的生长点，找到知识的“支”，使得知识的生长顺其自然；借助章尾课，发挥数学方法论的力量，引导学生挖掘出知识的共生点，为知识的“根”“支”提供养料·

1·丁非·“活动单导学”模式下的课堂筹划与设计［M］·天津：新蕾出版社，2009·

2·朱占奎·研究整章核心预设内容形式——以高中几何为例谈复习课的整体构想·［J］·中学数学教学参考，2009（11）·

3·郭思乐·改革核心：课程与教学的再造［J］·人民教育，2015（4）·F