基于教材的数学习题课教学的理论与实践

☉云南省大理市第一中学 王永生

基于教材的数学习题课教学的理论与实践

☉云南省大理市第一中学 王永生

近期，笔者随机听了几节平面向量的习题课，基本上都是教师讲授一些学生有疑难的题，一节课讲了有六七题之多.教学效率不高.培养学生的能力更是缺乏措施.习题课到底该怎么上？笔者从以下几个方面谈谈认识.

一、高中数学习题课教学现状分析

习题课的基本任务是巩固和强化所学知识，解决学习疑难.这是共识，可现实情况如何呢？

1.教师未精选习题，进行精心备课

虽然师生从观念上认可数学习题课的重要性，可对习题课的组织缺少理论的支撑，加上习题课的不确定性，多数教师还仅停留在经验的层面.具体操作过程中随意性较大.这主要体现在对习题的选择和备课环节.

作为习题课的重要载体，习题的选择至关重要. 2004年初审通过的人教A版普通高中课程标准实验教科书的一个显著特点是增加了大量的习题.每小节后有练习题，每一大节后有习题（分A、B两组），每章结束后有复习参考题（分A、B两组），此外，还有一定量的实习作业等.应当说，这些经过专家精挑细选的习题，有很多是值得师生在课堂上进行细细咀嚼的，如何用好这些习题更是值得探讨的一个课题，可文1通过调查发现：69.7%的教师并没有把习题作为课时作业来要求，一半以上的教师对教材习题的使用很随意，视课堂教学情况而定.如果教学时间有余，就从中选几道作为课堂练习；如果时间紧张，则留作学生课后选做.还有19.5%的教师根本不作任何要求，取而代之的是大量教辅书的使用.于是，更多的教学形式是课堂上师生快速学完概念、定理、公式后结合教材例题，学生做大量的教辅书上的题，教师多数的习题课就是选择教辅书上学生不会做的题，如此轮回，而教材上的很多经典习题却被置之不理了.

“由于缺乏对习题课的深入研究，习题课在很多教师心目中就变成了习题‘处理’课.这样一来，习题课的教学模式就变成了对答案、讲错题.”［2］所以相比较而言，习题课普遍缺乏计划性，远不如新授课准备得充分.更可怕的是，高三复习课正逐步演变成这样的形式.难怪我们的学生永远也跳不出“题海”.每次教学常规检查，笔者曾有意识地就习题课的教案进行过普查，很遗憾，几乎没人认真备过这方面的课.顶多将要讲的题解一遍，可仍然缺乏系统、科学的设计.在整个教学过程中，何时需进行必要的习题课？应选择哪些题进行教学？通过怎样的教学组织才能达到教学目的等一系列的问题似乎都未曾细致地思考过.

2.学生学习兴趣不高，课堂教学效果差

“教师只有精心选题、备课，才能帮助学生构建良好的认知结构.”［3］选题不认真，未对所选的题进行深入地研究，没有对所选的题有一个深刻的认识.备课不够充分会导致诸多课堂问题.而最终的受害者往往是学生.文2从学生在习题课上的学习心理、学习行为、教师干预、学生收获4个维度对高中数学习题课的综合学习水平进行调查.调查结果显示，习题课存在学生学习兴趣不高，学习缺乏主动性，教师包办过多，课堂交流少，习题课效果差等诸多问题.

虽然习题课在高中数学教学中占有很重要的地位，但由于教师未精心选题，不进行认真备课，课堂组织不合理，学生学习效果差已是不争的事实.可问题是大家都清楚习题课的重要性，实际进行组织时却未曾将其认真对待，只是简单地将其等同于习题“处理”课.加之，各级行政管理部门也未对其进行必要的引导和指导，从来未见各种公开课和课赛以习题课形式出现的.可事实是，在数学教学过程中，习题课却大量存在着.应该像习题是教材的重要组成部分一样，习题课应该非常正式地纳入教学计划中，具体确定所用课时，针对各个章节的教学配置相应的习题课，而且习题课也应该有详细具体的教案.［2］

二、关于数学习题课的相关理论研究

“习题是数学知识的载体，是数学思想方法的生长点，蕴含着巨大的教育潜能.”［2］“数学习题课是数学课的一种重要课型，它的主要任务是巩固数学基础知识，形成熟练的技能、技巧，发展学生的思维能力，提高问题解决的能力.”［4］新课标强调对学生数学能力的培养，而习题课正是通过训练学生解题，达到锻炼学生各方面能力的目的.由此可见，数学习题课在整个高中数学教学中占有很重要的地位，深入研究习题课教学不仅是当下现实教学的迫切需要，而且对高中数学教学质量的有效提升具有更深层次的现实意义.

1.数学习题课的设计要求

基于数学习题课的任务和特点，在具体进行设计时要“按照整体、有序和适度的原则，做到有目的、有层次、有实效地逐步提高.”［4］

首先，教学目标要具有开放性.数学习题课的主要任务是通过典型的习题让学生掌握问题解决的策略.那么对于典型的习题，其解决策略不应是单一的、僵化的，而更应该可以从多角度思考，全方位引申.结合学生的具体情况进行开放性的设计是一节好的习题课的先决条件.

其次，教学内容要具有层次性.教材习题的编写是按练习、习题（分A、B组）和复习参考题（分A、B组）的顺序进行的.这已经充分考虑到了层次性.可一般说来，数学习题有以下三个层次：第一个层次是基本练习，其主要作用是帮助学生回忆、巩固所学的新知识.第二个层次是深化练习，其主要功能是加深学生对所学知识的理解，提高应用水平.第三个层次是综合题训练，其主要目的是加强知识之间的联系，培养综合运用知识、问题解决和创新的能力.由此可见，基于学生的认知水平，在习题的选择和教学设计上应充分考虑循序渐进、逐层上升的原则，对于难度相对有些难的综合问题，必要时还须搭一些支架，扶着学生逐级而上.当然，习题的选择应尽可能以现有教材上的题为主，适当兼顾一些教辅资料上的题，并逐步引导学生尝试求解一些具有一定训练价值的高考题，如此，方能给学生营造一种高考的根在教材，学习时不能好高骛远、舍本逐末，过早陷入“题海”的学习氛围.

最后，教学活动要具有灵活性.数学给人的印象是枯燥的，数学习题的求解是艰辛和乏味的.所以，在教学设计时应充分考虑如何组织教学活动方能让师生在愉悦的课堂中真正实现教学相长.当然，教学活动的组织形式多种多样，可从学生的实际出发，充分调动学生的学习积极性，让学生真正成为课堂的主人，在解题的实践和探索的过程中实现能力的提高.此时，教师应充分发挥自身的特长，适时引导和指导学生完成课堂教学，力争做到既不缺位也不越位.切不可从头讲到尾，忽视了学生的学习感受.

2.数学习题课的常用模式

一方面要提倡教学活动的灵活性，给师生充分的自由，在问题解决的空间中遨游，但另一方面，作为一种重要的数学课型，其一定也存在着一些规律性的东西需要大家遵循，如此才不至于迷失方向.下面介绍两种常用的习题课教学模式：［5］

一是“观察—引导”模式，其操作过程如图1所示.

图2

“观察—引导”模式一般从貌似简单的问题入手，通过教师引导学生进行观察和思考，最终寻找出其中隐含的规律，其常适用于对新知识的巩固和提高；而“探究—解决”模式则是直接呈现比较困难的问题，通过层层设问，引发学生思考，让学生在步步探究中发现解题策略，其常用于对旧知识的复习、总结.事实上，教无定法，只要能从学生实际出发，设计出好的问题情境，选择什么教学模式并不重要.

三、以教材习题为主的习题课教学设计

在“平面向量”整章学习的最后，安排一两节习题课就显得非常有必要了.但这样的课就不能安排成简单的习题处理课，而更应该立足于学生的实际，结合本章的核心知识和方法，通过精选习题，设计有层次、灵活和开放的课堂，方能达成较好的教学效果.

考虑到平面向量的数量积兼具“数”和“形”的特征，是沟通代数、几何和三角的一座桥梁，同时也是高考重点考查的内容之一，所以可选择求平面向量的数量积为突破口.

应选择什么样的习题才能让学生体会求数量积的基本方法，而且还不显得那么吃力呢？现成的高考题较多，教辅资料上有关这方面的习题也不少，可考虑到学生还是初学这部分知识，其基本的解题能力还有待进一步培养，加之，教材上还有那么多习题，尤如一颗颗散落的珍珠，教师只要做一个有心人，将其尽可能地串成一条项链岂不更好.那应选择什么样的教学方式才能让这些习题之花在课堂教学中完美地盛开呢？前面两种教学模式固然可选择.可同样考虑到这节课要立足中下层学生，并最终实现班级全体的有效教学.那不妨借用文6所倡导的“低起点，小步子，树信心，引方法，勤反馈，上台阶”的教学思路来进行设计.其交互作用如图3所示，这犹如一朵美丽绽放的莲花，不正是笔者所期待的效果吗？基于此，笔者进行了如下的教学设计，为便于表述，特将人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学必修4简称为教材.

图3有效教学基本思路要素的耦合关系图

1.利用低起点，激活学生思维

师：同学们，平面向量是沟通“数”和“形”的一座桥梁，而平面向量的数量积以平面向量为载体，其结果却是数的形式，如此别具一格的特征使其成为了高考的重点内容，那如何求平面向量的数量积呢？让我们从教材中的一些习题开始今天的探求之旅吧！

例1（教材第108页习题2.4A组第2题）已知△ABC中，a=5，b=8，∠C=60°，求

师：谁上来到黑板上做？其他同学在下面求解.

师：同学们，生1做对了吗？

生：（有些疑惑）……

图4

生：噢！

师：同学们，此题很简单吧！（学生没反应，估计此时不敢轻易下此结论了）确实，生1是有些轻敌了，做题时看似马虎，实质上是概念不清，加之又没有作出图形，用形来启发思考，从而导致了这样的错误.事实上，此题求解用数量积的定义不假，如图5所示，a·b= |a|·|b|cosθ，其中θ=〈a，b〉∈［0，π］，其几何意义为：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+ y1y2.

图5

师：同学们，错误并不可怕.其实，哲学家黑格尔曾说：“错误本身仍是达到真理的一个必然环节.”只要能够理清错因，那你离真理也就不远了.

例2（教材第120页复习参考题B组第1题（7））等边三角形ABC的边长为1c+c·a等于（）.

设计意图：从教材上一道极易出错的习题开始，通过学生间的辨析，深化对平面向量数量积定义中两向量夹角的认识.同时利用教材上的一道习题可进一步强化定义法求数量积这一基本方法.

由于例1的起点较低，通过教师的引导和学生的反馈，在澄清错误的过程中激活了学生的思维，树立了进一步解决问题的信心.

2.借助小步子，拓展学生思维

师：已知两个向量的模长和其夹角的余弦值时，可直接用定义求其数量积.但若其中有不明确给出的量时，又该如何求数量积呢？

例3（例1改编）如图6，在△ABC中，AB=2，AC=8，若点P为线段BC的中点，求的值.

图6

师：此题若直接用定义则相对难求，但考虑到已知AB和BC的长度，若选择为基底，利用向量的几何运算，将都用基底表示则可完成求解，即

此法容易想到，由于选择了用已知量作为基底通过转化完成了计算，所以可称为基底法.当然，从定义出发仍可求解，只不过此时利用几何意义可能相对要容易一些，即过A点作BC的垂线，垂足为D.设BD=m，DC=n，由勾股定理可知4-m2=64-n2⇒n2-m2=60，则由数量积的几何意义可知可以看作的长度与上的投影的乘积，因为所以

此法较简单，但确实不容易想到，若掌握了此法，则成为解决此类问题的一把利器.

师：以上两种方法都是从形的角度进行的，别忘了平面向量兼有数的特征，那此题能否从数的角度进行思考呢？

生3：（思考片刻后）如图7，以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系，若设A（x，y），C（2a，0），P（a，0），则由4a2-4ax=60，所以

图7

师：真是不容易，计算有些烦琐，可此法也是求平面向量数量积的常用方法，至此，同学们已经学会了四种方法：定义法、基底法、投影法和坐标法，下面请同学们尝试用以上方法解决下面的问题.

例4（教材第108页习题2.4B组第4题改编）如图8，在圆C中，若AB=2，求的值.

图8

设计意图：例3直接从例1改编而来，目的是通过此题的求解，让学生进一步掌握平面向量数量积的另外三种求法，虽然步子较小，但这些方法学生不易想到，所以必须借助教师的引导和讲授方能达成目的，通过学习和后面练习（例4）的训练，学生基本掌握了数量积的常用求法，学习信心将进一步大增.

3.趁势上台阶，优化学生思维

师：同学们，我们已学会了求平面向量数量积的几种方法，若将例3改为下面的问题，则应如何求解为好呢？

例5（例3改编）如图9，在△ABC中，AB=2，AC=8，若点P为△ABC的外心，求的值.

图9

师：同例3一样，基底法、投影法和坐标法仍可适用，下面请三位同学上台分别板演三种求解方法，其余的同学任选一种求解.

生：（学生求解，教师适当进行指导和点评）……

师：从结果上看，结合例3，你有何发现？能总结出一般性的结论吗？

师：能结合求解过程进行解释吗？

师：很好.最后请大家完成下面的题.

图10

例6（教材第120页复习参考题B组第8题）在△ABC中，若那么点O在△ABC的什么位置？

设计意图：应当说，例3学完后，学生的思维已经上了一个台阶，此时设计例5的目的一方面是为了巩固从例3所学到的方法，另一方面是为了引导学生再往上走一步，直到弄清此类问题的本质，虽然要求有些高，可由于是趁势而上，有一种水到渠成之感.

教材上的习题应是习题课首选的题目.分析清楚每一道习题的解法，结合自身教学的需要，充分挖掘每一道习题的功能，“将那些思想性强，反应数学本质的内容、习题进行大胆取舍整合”，［7］让教材上的习题之花在课堂教学中完美地盛开.这不仅是每位数学教师专业发展的需要，更是让学生重视教材，不盲目陷入“题海”的需要.

对高中数学习题课再怎么深入研究都不为过，此处只是对高一、高二平常学习过程中习题课的一种尝试，那么对高三复习过程中的习题课应如何设计为好呢？这仍是一个十分值得研究的课题，期待大家能够在这个方面进行探讨.

1.张琥.新课标高中数学教材习题教学现状分析与建议［J］.数学教育学报，2012（4）.

2.张硕，王潇.关于高中数学习题课教学的调查与研究［J］.数学教育学报，2013（3）.

3.李广修.学生解题创新与守旧的行为差异［J］.数学教学，2006（11）.

4.肖柏荣.高中数学典型课示例［M］.北京：人民教育出版社，2001（6）.

5.李果民.中学数学教学建模［M］.南宁：广西教育出版社，2003（5）.

6.葛军.关注班级全体的有效数学教学基本思路［J］.数学教育学报，2011（6）.

7.陈海英.利用一道习题进行教材“再创造”学习［J］.中学数学（上），2014（5）.F