一道数学预赛试题的简解及高考链接

☉山东省宁阳第一中学 陈新伟

一道数学预赛试题的简解及高考链接

☉山东省宁阳第一中学 陈新伟

题目（2014年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题）如图1，设点O为椭圆的中心，过点A作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM并延长交椭圆于点C，问：是否存在椭圆，使得BA⊥CA？

点评：赛题是对椭圆一般性质的探索，主要考查直线与直线、直线与椭圆的位置关系，题目涉及四点（点A、B、M、C，其中点A为“制高点”，其余点伴随产生，点O为“关键点”，是椭圆的中心，也是弦AB的中点）、四直线、一曲线（椭圆），因题目针对一般性的探索，解答均为字母运算，一般方法运算量较大，学生不易顺利解答.

图1

一、试题简解

简解：假设存在满足条件的椭圆，使得BA⊥CA，不妨设椭圆的方程为y2），BC的中点为P（xP，yP），则

点评：简解紧紧抓住“制高点A”和“关键点O”，利用“点差法”，设而不求，探索直线BC、AC、AB斜率之间的关系，寻求结论成立的充要条件，大大减少了计算量，并且得到了一些相关结论.

二、结论呈现

结论1在椭圆的内接三角形中，若三角形一边过椭圆的中心且不与坐标轴重合，则另外两边的斜率之积为定值e2-1.

注：由简解中的（*）式可得.

结论2设AB为过椭圆中心不与坐标轴重合的任意一条弦，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接BM交椭圆于点C，则kAB·kAC=2（e2-1）.

结论3设AB为过椭圆中心不与坐标轴重合的任意一条弦，过点A向椭圆的长轴作垂线，垂足为M，连接BM与椭圆交于点C，则BA⊥CA的充要条件是椭圆的离心率

注：赛题简解过程可逆.

结论4设AB为过椭圆中心不与坐标轴重合的任意一条弦，过点A作AB的垂线AC交椭圆于点C，连接BC交x轴于M，若直线AM不与y轴平行，则kBC=（1-2e2）kAM.

简证：如图2，设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），由题意知B（-x1， -y1）由结论1，kBC·kAC= e2-1，故kBC=k（1-e2），所以直线BC的方程为y+y1=k（1-e2）（x+x1），则故所以kBC=（1-2e2）kAM.

图2

三、高考链接

例1（2011年全国高考江苏卷理科第18题）如图3，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为点C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

图3

（Ⅰ）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（Ⅱ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（Ⅲ）对任意k＞0，求证：PA⊥PB.

例2（2014年全国高考山东卷文科第21题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的离心率为直线y=x被椭圆C截得的线段长为

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点.

①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；

②求△OMN面积的最大值.

（由结论4易得）.