☉浙江省诸暨市草塔中学 张森国
以“阿波罗尼斯圆”为背景的考题探究
☉浙江省诸暨市草塔中学 张森国
(人教A版必修2第131页练习B第3题)已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.
一般地,平面内到两个定点距离之比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.
如图1,在平面直角坐标系内,不妨设|AB|=2a>0,到A(-a,0)、B(a,0)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的集合是圆,其方程为在直线AB上,半径为其中AD=△ABC的面积有最大值,且最大值为
图1
以阿波罗尼斯圆为背景的高考试题屡见不鲜,如下所示.
图2
解析:建立如图2所示的坐标系,设C(x,y)、A(-1,0)、B(1,0).由化简得(x-3)2+y2=8(x≠0),即C点的轨迹是以(3,0)为圆心,以为半径的圆,所以三角形ABC的高最大为圆的半径,故三角形ABC的面积的最大值为
例2(2013年江苏)如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y= 2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|= 2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
图3
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.所以(4k+3)=0,解得k=0或k
(2)因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C的坐标为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
由5a2-12a+8≥0,得x∈R;由5a2-12a≤0,得
变式1:已知△ABC的三个顶点A(-1)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为⊙H.
(1)略;
(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N,使得点M是线段PN的中点,求⊙C的半径r的取值范围.
分析:设出圆C的方程和点P的坐标,利用“点M是线段PN的中点”及恰当处置圆C上“存在不同的两点M、N”成为解决的关键.
如图4,以A、B为基点的阿波罗尼斯圆中,设圆与直线AB交于D、E,连接CD、CE,由上述阿波罗尼斯圆的定义知由三角形的角平分线定理可知CD是∠ACB的平分线;CE是∠ACB的外角平分线,且
图4
变式2:如图5,圆O1、O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程.
图5
例3在x轴的正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2+y2=4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数如果存在,求出点A、B的坐标;如果不存在,请说明理由.
解析:假设在x轴的正半轴上存在两个定点A、B,使得圆x2+y2=4上任意一点P到A、B两点的距离之比为常数设P(x,y)、A(x1,0)、B(x2,0),其中x2>x1>0.
所以在x轴的正半轴上存在两个定点A(1,0)、B(4,0),使得圆x2+y2=4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数