基于动态平衡的课堂“五环节”设计

☉浙江省杭州第十一中学蔡小雄 陈发志

基于动态平衡的课堂“五环节”设计

☉浙江省杭州第十一中学蔡小雄 陈发志

教学是一个有预设、有生成的过程.华东师范大学教授叶澜曾说过：“对教师而言，如果将其教学工作任务进行高度的概括，我们就会抽取出两个最核心的要素——‘教什么’和‘怎么教’，即教学预设和课堂生成.”在新课程改革中，更需要把握“生成”与“预设”之间的平衡，在平衡中寻求教学效果的最优化.如何在课堂教学中实现“预设”和“生成”的动态平衡（这里说的“平衡”不是0.5，是0.618，是“生成”与“预设”之间的黄金分割点）？关键是要从课堂的五个主要环节入手，即从新课引入、问题设计、解题过程、反思小结和巩固训练等环节入手，从学生的最近发展区出发，关注学生的认知差异，关注学生的发展，让“生成”为每个学生创造主动投身教学活动的机会，用教师已有的实践智慧对课程资源灵活机智地加以激活、捕捉和运用，促使课堂向多角度、全方位、高效率的目标发展.

一、新课引入：挖掘教材内容，在情境创设中关注动态平衡

“预设”和“生成”离不开一定的载体，在数学教学中，这个载体就是教材.教师的预设应该始终围绕着教材的内容和要求展开，因此，在新课引入的过程中，教师要充分挖掘教材的数学史情境，深化教材例题的探究价值，整合和改编教材中的例题，创造性地使用教材，设置灵活有趣的教学情境，让学生全方位、全身心地投入到学习中.

1.挖掘教材的数学史情境

数学文化是人类文化的重要组成部分，数学课程要适当反映数学的历史、应用和发展趋势，帮助学生了解数学在文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.因此，教材中设计的一些问题都蕴含着浓厚的数学史背景，教师在预设新课的过程中，应挖掘其背后的数学文化内涵，创设富有数学史的教学情境，介绍一些经典的数学名题的由来，这能激发学生的好奇心与求知欲.同时让历史名题的解答过程成为学生知识建构的过程，用名题对数学发展的影响价值来开启学生对未知数学领域的认识.

例1长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.

这是人教版数学必修2第124页的一道习题，题目本身并不难，设A点的坐标为（2x，0），B点的坐标为（0，2y），则AB的中点M的坐标为（x，y），由此得到方程化简得x2+y2=a2.如果教师就是简简单单的就题解题，学生的学习兴趣也就无法激发，其“生成”也会成为被动的“生成”，学习效果将大打折扣.基于此，教师可深入挖掘本题的数学史背景，先设置一个数学史的情境，再引导学生解答本题，同时进行拓展加深.本题的数学背景是卡丹旋轮问题.

卡丹旋轮问题：一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？这是意大利数学家卡丹（Cardano，1501—1576）提出的问题.而在一千多年前，古希腊哲学家鲍克斯提出了下面的类似问题：“一条动直线上有三个点，其中两个点沿一个固定的直角的两条边滑动，求第三个点的轨迹.”教师先提出这两个名题，学生的学习兴趣一下子就能激发起来，当然，教师的教学目的并非是要学生来求解这两个问题，而是以这两个问题为依托设计逐步递进的问题，运用相关点法求解轨迹方程.

实际上类似的具有数学史背景的问题还有必修2第124页的一道习题：已知点M与两个定点O（0，0）、A（3，0）的距离之比为求点M的轨迹方程.本题的背景是著名的阿波罗尼斯圆：平面上两点A、B，则所有满足k（k不等于1）的点P的轨迹是一个圆.这个定理是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的.教师在解决该问题的过程中，若根据其数学史背景进行预设，能让学生体验到数学问题的探究乐趣，有助于增强学生思维的生长性.

2.深化例题的探究价值

例题和习题是数学教学活动的载体，是数学基础知识应用的精华.课堂教学中，要充分挖掘和研究例题的价值，将例题的问题加以深化延伸，采用将问题形式改成开放题、将定值问题改为含参量的讨论题、将一种思考方式换成多角度探究、借助信息技术完善探究过程等方法，创设螺旋上升的思维情境，达到预设与生成的动态平衡.人教版必修2第127页的例1就是一道值得深化探究的问题.

例2已知直线l：3x+y-6=0与圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系.

本题的设计意图是让学生掌握判断直线与圆位置关系的两种方法：一是根据直线与圆组成的方程组的解的个数来判定，二是根据圆心到直线的距离与半径长的关系来判断.本题经过进一步深化后，具有非常好的探究价值，可以将定值问题改编成含参数的问题，从而将分类讨论的知识融入进来.

探究1：若直线方程为mx+y-6=0，又如何？

同时，也可进一步提高分类讨论的难度，进一步深化为探究2.

探究2：若圆的方程改成x2+y2-2mx+6my+10m2-1=0，又如何？

甚至可以进一步以原题为载体，训练学生对弦长公式的理解.

探究3：在探究2的基础上，若直线与圆相交，请将弦长用m表示.

以上三个探究，分别在原题直线与圆都固定的情况下，教师充分进行“预设”，而且这些“预设”都围绕着学生的最近发展区，围绕原题紧密进行拓展.引入参数，使直线与圆动起来，从单一的判断直线与圆的问题，深入到探究直线系与圆的位置关系、圆系与直线的位置关系、直线与圆相交的弦长公式等，不断深化例题的数学价值，能有效提高学生的数学品质.

3.整合教材中的多个例题

教材是执行课程标准与体现课改精神的载体，也是众多教育专家和一线教师智慧的结晶.教材上的每个章节、每一道习题都有一定的教学目标，不仅如此，例题中的每一个要求、问题，其背后都蕴含着特定的意图.因此，教师进行教学预设的过程中，要挖掘教材蕴含的培养学生思维、能力等方面的因素，将教学意图相同或者相近的例题进行整合，从而提高教学的系统性，让学生生成的都是“知识串”和“知识网络”，而非单一的知识点.如我们可以对人教版选修1—1第35—37页的例2、例3探究与发现的内容进行有效地整合，形成以下的题组.

例3（1）在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

（2）设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程.

（3）用平面去截圆柱，能得到一个椭圆吗？该怎么截取？

（4）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）.

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

教材对例2和例3的编写意图非常明确，就是让学生了解除了椭圆的定义之外，还可以通过将圆进行伸缩变换、到两定点的斜率之积为定值、用平面去截圆柱而得到椭圆（例2同时还向学生介绍了用相关点法求轨迹方程）.因此，在统一的立意下，可将此例题与探究进行整合，使之更富有逻辑体系，学生也能了解除了知识和方法之外的数学思想.而（4）是2008年高考浙江理科卷第10题，是对上述知识的综合运用.整合要有知识运用、能力提升的问题融入，这样方能让学生学以致用，举一反三.

二、问题设计：捕捉随机因素，在答疑解惑中关注动态平衡

课堂教学是教师和学生在特定情境中交流和对话的过程，它呈现动态的、多层次的、多角度的非线性过程，因此再高明的老师也不可能完美地预设好课堂上的所有内容和环节，课堂教学中总有一些预设之外的“意外”发生.当这些预设之外的“意外”发生时，有的教师粗暴打断，继续沉浸于“预设”中无法自拔；有的老师对“意外”无限延伸，冲淡原本的教学内容和主题.教师在这些“意外”发生时，要及时捕捉学生的灵感火花，泰然处之，根据课堂实际情景调整“预设”，把握时机，掌握尺度，积极引导，有效地将“意外”引导为“生成”.

例4在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+c=10，C=2A，cosA=

（2）求b的值.

这是高三复习课上的一道例题，问题很常规，难度也不大，考查的是正、余弦定理和三角公式的运用.在上课的过程中，教师和大部分学生都采用了如下所示的解法.

大部分学生都采用了上述解法，然而就在教师准备引导学生练习下一道题目时，一个学生提出如下问题：老师，这道题目我用正弦定理去做，做出来只有一个答案，并向教师展示了其解题过程，如下所示.

cosC=cos2A=2cos2A-1=所以.又.由正弦定理，所以解得b=5，只有唯一的答案.

上述过程的推理与计算都是滴水不漏的，但是利用两种解法得到的答案为什么不一致呢？教师意识到这个问题必须向学生解释清楚，其中必然有一个解法存在不全面的地方.第二种解法也确实是教师没有想到的.这个时候任何“预设”都已经没有用了，而且课堂上也来不及去找出错误的地方了.怎么办？只能及时调整策略，引导学生自己去发现问题的根源了.

教师抛出了问题：本题中b=4是否应舍去，即符合条件的三角形有几个？学生马上发现三角形的三个角都是确定的，同时告诉我们两边的关系，这样的三角形是确定的，即只有一个，所以b=4可能为增根.接着再问：你能检验b=4是否成立吗？学生根据三边长，求出当b=4时，这与已知得到的不符.既然知道了结论，教师进一步引导学生寻求产生误差的根源：运用余弦定理时只使用了a、c、cosA这三个已知条件，能唯一确定一个三角形吗？学生作图得知条件为两边一邻角，不能唯一确定三角形，因此这种解法将角C为钝角的情况也考虑进去了，从而产生了增根.因此学生自然就知道了第一种解法产生错误的原因，是忽略了这一限制条件.上述三个提问，事先并没有经过预设，而当在课堂教学中出现“意外”时，教师应放低身段，站在学生的立场一同思考问题，找出根源，从而在不断提问和答疑解惑过程中实现“预设”与“生成”的动态平衡.

三、解题过程：展示真实想法，在示错纠偏中关注动态平衡

在数学教学中，常有学生将错误的问题进行订正后，过段时间仍然会犯同样的错误.究其原因，主要是因为学生并未真正理解产生错误的根源，没有透彻地理解问题的本质.因此，在解题过程中，要让学生能展示自己的真实想法，在示错的过程中帮助学生提高对数学知识的理解和运用.

“示错”即“展示错误”，但是它并不是简单地将错解展示在学生面前，而是教师先“预设”——即通过对学生所犯错误的观察，选择典型的例题，然后由学生“生成”——即让学生来表述解题的思路和想法，教师再根据学生的表述来指出所犯错误的根源，进而帮助学生解决问题、纠正偏差，避免类似的错误再犯.在这样的示错纠偏过程中，学生收获的不仅仅是解决一道题或者一类题，而是培养了正确的解题方式、思维习惯和反思能力.

1.概念理解的示错纠偏

数学概念是学生对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和基本技能的基础.而在平时的学习过程中，经常会遇到一些形似而质异的概念，如果不及时理清楚，常会出现大量雷同的错误.

例5已知数列｛an｝的前n项和Sn=3n-2，则数列｛an｝的通项公式为_________.

这道题看似非常简单，主要考查数列的通项公式an和前n项和Sn之间的关系，是一道高考中常见的问题.然而很多学生会出错，主要是直接用公式an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1，而没有分n=1和n≥2两种情况进行讨论.因此，教师预设的过程就是要让学生展示真实的想法，暴露对公式理解存在的问题.

在学生展示解题思路an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1

之后，教师可进一步提问：根据已知条件，a1的值是多少？根据所求出的公式an=2·3n-1求出的a1的值是多少？产生偏差的原因在哪里？通过三个问题，在教师的“预设”下，引导学生水到渠成地“生成”正确的公式应该是an=

2.类比迁移的示错纠偏

类比迁移在数学的学习中有着不可替代的地位，在众多的思维方法中，类比迁移方法对解决某些数学问题起着非常重要的作用.掌握了类比迁移的方法，在数学学习中容易做到活学活用，举一反三，将复杂问题简单化，能够深刻把握问题与问题之间的联系.而很多学生进行类比迁移时，忽略了只有本质相同或相似的概念才能进行类比这一点，仅仅依据形式上相似不分青红皂白地进行迁移，往往就会产生错误.因此，在解题过程中，教师要引导学生合理区分辨别事物是否具有可类比性，类比的同时是否有不同点，合理对问题进行预设，通过揭示学生在类比迁移中所犯的错误，归纳和总结出其数学本质.

例6已知数列｛an｝的通项公式为an=n2-2λn，且｛an｝为递增数列，则实数λ的取值范围为_________.

在数列教学中，很多教师都会谈及数列与函数的关系，数列是特殊的函数（定义域为正整数集或其子集），因此函数问题的解决思路和方法都可以类比迁移到数列问题的解决中.在此背景下，大部分学生都会采用以下的方法：因为｛an｝为递增数列，因此通项公式对应的函数f（x）=x2-2λx在［1，+∞）上为单调递增函数，所以函数的对称轴直线x=λ在直线x=1的左边，即λ≤1.如何暴露这种解法的错误根源？教师可以“预设”以下几个问题，引导学生“生成”正确的认识：一定要求f（x）=x2-2λx在［1，+∞）上为单调递增函数？可以改成在上为单调递增函数吗？学生通过思考，发现此时仍然是符合的，因为a2＞a1.由此教师进一步引导：是不是找到一个a2= a1的临界点就可以了？学生可顺势“生成”一个临界点：x=因此，直线x=λ在直线的左边就符合，从而不难得出正确答案

3.等价转化的示错纠偏

灵活而正确的等价转化，总会给问题的解决带来诸多的便利，然而在实际的学习过程中，学生常常混淆了等价转化与非等价转化，忽略了等价转化的一些限制条件，从而导致错误.作为教师，如何揭示转化的不等价性，即转化的过程中要及时增加限制条件才能保证等价，这是示错纠偏的关键.

判断函数的奇偶性，大部分学生都想到判断f（-x）与f（x）的关系，因此，很多学生也想将f（x）进行如下的化简因此，原函数为奇函数.实际上等价化简的过程中，若有一个步骤出现不等价，则会影响题目的答案.在学生展示上述解题过程后，教师可提问：能保证每个步骤的化简过程都是等价的吗？引导学生去发现根源所在：是不等价的，需要增加条件由此可得函数的定义域不关于原点对称，所以函数f（x）既非奇函数又非偶函数.

四、反思小结：完成提炼升华，在画龙点睛中关注动态平衡

张奠宙先生曾指出：现在的课堂教学中，很多习题课都是大容量、快节奏、高密度的解题训练课，目的是熟练，往往不注重提炼数学思想方法，学生的认识达不到新的境界.教师的很多“预设”是让学生“一看就会，一做就对”，而不是引导学生进行解题反思，进行提炼升华，让学生再回头看看知识的“发生”和“生成”的过程.因此，实现预设与生成的动态平衡，需要教师在学习过程和解题之后的画龙点睛——梳理解题的思路方法，点出蕴含的思想方法，揭示问题的数学本质.

本题是函数的零点问题，解决函数零点问题常用到转化与化归、数形结合、函数与方程等数学思想，因此，该类问题备受命题者青睐.学生一般能用数形结合的思想，将问题转化为函数的图像无交点，因此，结合两者的图像知半圆与折线无交点，因此0＜a＜1或a＞2.

如果上述解题就到此结束，学生也就无从生成，只是欣赏了一种看似巧妙的解题过程，却无法深入接触到本质.因此，要实现学生的有效生成，需要教师对问题进行提炼升华，需要一些点睛的“预设”.

点睛1：你能对条件进行转化吗？

这是转化与化归思想的运用，引导学生将题目的条件进行转化：（1）可以转为为函数f（x）在定义域上恒大于0或恒小于0；（2）可以将变量a与x进行分离变形成g（a）=h（x）无解；（3）可以转化为函数的图像无交点；（4）进行三角换元，合理处理绝对值和根号.点睛1的作用是完成对核心思想在一类问题中的运用的引领作用.

点睛2：将条件转化后，你有哪些方法解决该问题？

转化（1）涉及函数的最值，因此，学生自然也就能想到导数的运用，通过求导得到函数的极值点，进而求出函数的最值.当x＞0时，由f′（x）=0，得x=）上函数f（x）单调递增，在上函数f（x）单调递减，结合函数f（x）为偶函数，可求出：求出0＜a＜1或a＞2.同理，对于（2）（3）（4），也都可以找出相应的解法.点睛2是引导学生根据不同的转化条件采用不同的方法解决问题.

五、巩固训练：设置弹性练习，在变式探究中关注动态平衡

具有不同基础的学生，因自身能力和数学素养的不同，在同一个预设问题下，所生成的内容和表现出来的能力也是不尽相同的.教师应当认识到这些差异，在设置巩固训练的时候，设置弹性练习，让学生根据自身能力情况进行选择.设置巩固练习时，要以变式训练的形式出现，逐步加强难度，为学生的思维逐步发展搭设巧妙而合理的“台阶”.如在学习平面向量基本定理时，为进一步巩固学生对知识的理解，教师可布置如下的问题和变式训练.

变式1：已知正方形ABCD的边长为1，E为AB边上的点，则的最大值是_________.

变式2：在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°， E为CD的中点，若则AB的长为_________.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

数学课堂是千变万化的，荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一的正确方法是实行再创造，也就是由学生把要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”因此，教学中，我们需要预设，但不能太依赖预设；我们关注生成，但不能只期待生成.课堂应该是在预设中生成，在生成中预设.我们要寻找、把握预设与生成之间的平衡，让课堂展现勃勃生机，让课堂成为促进学生高效学习的动力源.