高考数学一轮复习：全面梳理，有的放矢；同效复习

唐洵 雷勇

高三是高中时期最重要的一年，无论是学习方法还是心态调整，都显得尤为重要.在这个阶段，同学们要完成从『学生』到『考生』的转变.作为考生，不仅要对高考考查的内容有更加坚实的储备，更要在心态上做好迎接高考的准备。

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进入高三后，高考的脚步离同学们越来越近，压力自然越来越大.此时，很多同学会发现一轮复习的学习状态和新授课的学习状态有明显不同，如何科学地分配备科学习时间，每个学科的突破口在哪里……一时间所有问题都摆在面前，让人感到无所适从，焦虑感油然而生.但是，不良情绪对同学们准备高考而言，有害无益.如何才能把情绪调整到比较理想的状态呢？最佳方法就是制定一个合理的一轮复习计划.在制订计划的过程中，同学们要对后续的学习时间、复习内容进行全面梳理，做到心里有数，有的放矢，这样自然能起到稳定情绪的作用.制订一轮复习计划时需要注意以下几个问题.

内容为主，习题为辅

很多同学在进入一轮复习后把大量精力花在解决各类复习资料的习题上，这是一个误区，因为任何一套习题都不可能涵盖所有的知识点和数学方法，仪靠做题，是无法找出学习中的所有漏洞的.正确的复习方法是“三个一”原则：

（1）课本看一遍，很多同学认为课本内容“简单”，所以课本往往被大家忽略.事实上，课本与复习资料最大的区别在于课本的“系统性”，课本尽可能地讲述了矢¨识的来龙去脉，同时上面的定理定义给出了最“官方”的说法，课本上的例题解答更经过了反复锤炼，严谨简洁，是最好的解答范例.当你对一个命题感到似是而非时，最终都要回归课本给出答案.

（2）笔记看一遍.笔记是从老师的角度对课本内容的一个诠释和补充，对知识来源、知识间的关联性，以及如何找到解决问题的方法等有更透彻的分析.

（3）曾经做错或思路含糊不清的题目重新思考一遍.从曾经做错或思路含糊不清的题目中能看出你当时学习过程中的问题有哪些，所学知识的薄弱环节在哪里，解决问题的方法策略是否有待提高等等。

“三个一”原则能让同学们在一轮复习中既有效率又能最大限度地查漏补缺，当这些工作完成后，再安排一些练习，通过做题训练答题的节奏，可进一步检查和评估复习的效果.

反思是提高复习效率的关键

面对浩如烟海的备类复习资料，要想真正取其精华，就要在反思上多下工夫.反思大致分三个方面：其一，当完成一个题目后，要留出三到五秒的时间回忆该题的整体思路是什么，你是如何对题目条件和结论进行关联的，在头脑中对题目的解答过程形成一个整体印象；其二，对于一些经典题目，要反思能否对题目条件换个认识角度，找出其他与结论关联的方式（即“一题多解”），借此让自己的思维更加灵活发散；其三，一个章节的题目完成后，一定要留出时间提炼出整套试题着重关注了哪些知识点，主要运用了何种数学方法，通过分析和总结，在头脑中形成整体印象.在一轮复习的过程中持续进行反思训练，是逃离题海、提高效率的最佳方式.

安排时间分析往年真题

全国各地区的高考试题每年都保持了相对的稳定性，即无论是试题难度、考查的重难点，还是题目的设置方式，都会保持对以往试题的继承.通过分析前三年的考题，可以在心里做到对当年的试题有一定的预期，提前把握答题的节奏，这样在复习时也会更有针对性。

训练表达的规范性

规范简洁的表达不仪能让阅卷老师更容易明白自己的答题思路，也能让自己对题目的理解更加清晰，减少出错的可能.同学们在解题的过程中，除了要关注题目的思路，还要关注别人的，从中有所借鉴.事实上，每个题目都没有固定的表述方式或最好的表述方式，只要得出的每个结论和前面的条件之间都有定理定义作保障，表达就是严谨的.在练习初期，只要刻意去关注每个步骤是否严谨，随着时间的推移，严谨的表达就会成为你的习惯.

笔者现对各章节内容进行简单梳理，给出各部分必须掌握的知识要点，以及必须会做的题目，为同学们制订一轮复习计划提供参考.

函数

必会知识

1.会求一些简单函数的定义域，如等。

2.能够利用配方法、导数法、反函数等方法求基本初等函数的值域.

3.明确函数奇偶性的含义，能够判断所给函数是奇函数还是偶函数.

4.会画出五种幂函数的图象，掌握五种幂函数各自的性质，如定义域、值域、单调性等.

5.理解指数函数、对数函数的概念，明确两者直接的关联与区别，熟记两类函数的图象与性质.

6.给出一个简单的函数，能够判断该函数的图象，或通过画函数的图象来研究函数的性质.

7.理解函数零点的含义，懂得判断所给函数有几个零点.

必做例题

例1（2015北京卷）如图1-1，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式的解集是（） 【解析】由图知，设g（x）=，在同一坐标系中画出f（x），g（x）的图象（如图1-2），令，解得x=l，故不等式的解集为{x|-l

必学策略

函数是高考的热点问题，是打开高考成功之门的金钥匙，作为面对高考的考生，同学们要掌握哪些策略呢？①在求值域时，常用配方法、换元法、图象法、单调性法、导数法等，但无论用哪种方法一定要优先考虑函数的定义域.②在判断函数的奇偶性时，要注意三点，一是函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称；二是可以利用定义法和图象法判断函数的奇偶性；三是能够利用“奇同偶异”研究函数的单调性.⑧在比较指数函数、对数函数的大小时，往往借助函数的单调性，有时也引入0，1作为中间变量进行过渡，④在判断零点时有“三宝”，一是解方程，二是用定理，三是图象法，其中图象法可以转化为单个函数的图象与x轴的交点或两个函数图象的交点.如果能系统地构建这些知识，做到对症下药，那么你就成功实现了从学生到考生的蜕变。

导数

必会知识

1.能够求出函数在某点处切线的斜率以及切线的方程.

2.能求简单复合函数，注意合理地拆分复合函数，以免漏求.

3.会利用f（x）在某区间上的正负判断函数的增减性.

4.能够利用导数的方法求解函数的极大值与极小值.

5.会利用导数法求一个函数在闭区间上的最值.

6.会求定积分的值，会利用定积分计算去边图形的面积.

必做例题

例2（2015新课标卷I）已知函数

（I）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数

【解析】（I）设曲线y-f（x）与x轴相切于点则

即

因此，当时，x轴为曲线y=f（x）的切线

必学策略

有关导数几何意义的问题可能会与解析几何知识交汇，注意“两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率相乘等于-1”；在求函数的单调区间时，优先考虑函数的定义域，再利用f（x）>O或f（x）<0求函数的单调区间；若已知函数的单调性求参数的取值范围，则令f（x）≥0或f（x）≤0，再利用分离参数法求参数的取值范围；对于不等式的恒成立问题，注意将其转化为函数的最值问题进行求解.

三角函数及解三角彤

必会知识

1.能够利用三角函数的定义、公式求三角函数的值.

2.合理使用诱导公式，求三角函数的值、化简三角函数式、证明三角恒等式.

3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、奇偶性、周期性等性质.

4.理解y=Asin（ωx+ψ）的实际意义，借助三角函数解决一些简单的实际问题.

5.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，了解它们的内在联系.

6.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

必做例题

解三角形问题是高考的高频考点，作为面对高考的考生，同学们在研习高考题的同时，还要掌握此类问题必要的解题策略：（1）边角混合的问题，应当适度转化，全部化为边或全部化为角；（2）当三角形的面积公式与余弦定理混合出现时，有时需要合理配凑，得到完全平方的关系；（3）处理实际的问题应当选择合适的三角形，将边角关系放在三角形中进行求解.

数列

必会知识

1.给出数列的递推公式，能够求解数列中的某一项；对于一些有规律的递推公式，能够合理使用进而转化求得通项公式.

2.会求等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.会求等比数列的通项公式与前n项和公式.

4.能够分析所给数列的结构，进而选择合理的方法实现数列求和.

必做例题

必学策略

数列求和问题是高考的必考问题，作为即将走上考场的同学们，你们知道数列求和有哪些方法吗？数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择适当的方法求解.一般常见的求和方法有：（1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）；（2）分组求和；（3）错位相减法；（4）裂项相消法。

圆锥曲线

必会知识

1.会求椭圆的方程，会求椭圆的基本性质如离心率、长轴、短轴等.

2.会求双曲线的方程，会求双曲线的基本性质如离心率、渐近线等.

3.会求抛物线的方程，能够利用抛物线的定义求距离的最值.

4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；能解决圆锥曲线的简单应用问题.要注意三种圆锥曲线与直线位置关系的异同；能够利用一元二次方程根与系数的关系求解弦长、定点、定值、范围等综合性较强的问题，

必做例题

例6（2015湖北卷）一种作图工具如图2-1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，日.DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕0转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2-2所示的平面直角坐标系.

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线分别交于P，Q两点.若直线I总与曲线C有日只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

必学策略

在设椭圆的方程前一定要做到先定型，再定量，注意记忆公式计算离心率；在设双曲线的方程前一定要做到先定型，再定量，注意记忆公式计算离心率；此外要会利用双曲线的渐近线方程直接求双曲线的离心率；注意合理利用定义转化抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离；处理直线过定点的问题时，将要证明过定点的直线方程表示为某参数的直线系方程的形式，再由直线系方程求出定点；处理定值问题时，将要求解的定值表示为某参数的函数关系，再化简得到定值.此外，解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究；同时，要学会巧妙利用特殊值解决有关定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.求最值或范围的常见解法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，在求最值的过程中，注意使用求函数最值常用的代数方法：配方法、换元法、导数法、单调性法等；（3）不等式法：通过基本不等式，不等式的性质或一元二次不等式等求最值.

立体几何

必会知识

1.能够记住球、棱柱、棱锥、台体、球体的表面积和体积的计算公式.

2.能够利用平行或垂直的判定定理判断空间线面的平行、垂直关系.

3.对于所给三视图，能够通过想象还原出一个空间几何体.

4.会求空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直.

5.能用向量方法解决三种空间角的计算问题，

必做例题

例7（2015四川卷）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图3-1所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

（I）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）：

（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH：

（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值.

概率与统计

必会知识

1.给出一个实际问题，能够判断具体使用三种抽样方法中的哪一种.

2.会列频率分布表，会画频率分布直方图，要记住频率分布直方图和茎叶图.

3.给出一组相关数据，会求回归直线的方程.

4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，解决简单的实际问题.

5.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

6.记忆古典概型及其概率计算公式，会运用树形图、列举法以及排列组合原理求解.

7.记忆几何概型的概率计算公式，注意长度模型与角度模型的区别.

8.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

9.了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，

必做例题

例8（2015新课标卷Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 5376 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 6482 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图（如图4-1），并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。

【解析】（I）两地区用户满意度评分的茎叶图如图4-2：

通过茎叶图可以看出.A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值：A地区用户满意度评分比较集中.B地区用户满意度评分比较分散.

（2）记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件“B地区用户的满意

必学策略

一般的，求离散型随机变量的期望一般分为4个步骤：求随机变量取值，求概率，列分布列，进而计算期望.特别的，作为考生，对于这类简单的问题，并不是埋头苦做，而是先分清这是什么形式的分布列，如二项分布、超几何分布、相互独立事件的分布等，进而动手解题。