加强数形结合提高解题能力的探索

摘 要：数形结合的思想是重要的数学思想之一，数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数、以数解形两个方面。它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之，图形性质的研究可以转化为数量关系的研究。数形结合的思想处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面，给人以启迪，为问题的解决提供简洁明快的途径。因此，教师要通过数与形的对应，以形解数、以数解形，数形结合应遵循的原则以及教学中渗透数形结合的思想，提高学生的解题能力。

关键词：数形结合;解题;能力

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2015）18-0036-02

解数学问题是学习数学的重要环节与基本途径。所谓解题，就是揭开“条件”与“结论”之间的内在联系，或是探索“已知”可以导出怎么样的“未知”。

数学解题能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。其中数学思想方法是灵魂，是联系知识的纽带，因此培养学生的解题能力，加强数学思想方法是关键。

数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数形结合的思想是重要的数学思想之一，数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数、以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之，图形性质的研究可以转化为数量关系的研究。数形结合的思想处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面，给人以启迪，为问题的解决提供简洁明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾进行过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”

下面，就如何利用“数形结合”来解决数学问题进行相关研究。

一、数形和谐对应，凸显结合功能

数形对应是数形结合的基础，如实数与数轴、直角坐标系中点与有序数对、集合中的文氏图与集合运算、常见的基本函数图象与抽象的函数性质及圆与三角函数、复数的几何意义与复数运算、向量的几何意义与向量的运算等。在学习与教学中，教师应不断渗透数与形的这种对应关系，深化学生对基础知识的深刻理解，使他们逐步领悟和掌握并应用这种对应关系，提高自觉运用数形结合的意识。构建数形结合常用工具有：建立坐标系，利用函数的图像，赋予数式、方程、不等式等以几何意义，给出图形的代数表达式等。

二、以数巧妙解形，揭示数的细微

关于“形”的问题，我们可想办法将形部分或全部转换成数，减少或者抽去“形”的推理部分，使所要解决的“形”的问题归结为数量关系式的问题去研究。如常借助于方程（组）、坐标系、向量、复数等化形为数。特别的几何中证明或求线段（或角）的关系，实质上中研究关于数量关系的。如将线段（或角）用一个字母表示，则线段（或角）的数量关系可转化为含字母的代数式，几何中的有关定理可相应地转化为恒等式或方程，从而化形为数。

例1   如图1，设AC是平行四边形ABCD较长的对角线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，求证：AB·AE+AD·AF=AC2。

分析：首先引导学生想到向量的代数功能，从而让学生将等式的证明转化为向量的运算。同时提醒学生，这也是数形结合的一种方式。

证明：用向量表示相应线段，可得：·=·（+）=·+·=·，

同理：·=·。∴·+·=·+·=（+）·==AC2。∴AB·AE+AD·AF=AC2。

例2 如图2，已知ABCD为正方形，CE∥BD，BE=BD，求证：DE=DH。

分析：解决特殊图形，往往从建立坐标系开始，引导学生建立适当的坐标系，强调数形结合的重要性。

证明：建立如图3的直角坐标系。设正方形的边长为1，则B（-1，0）、D（0，1）、C（0，0）。又设E（a，b）、F（0，c）。

∵CE∥BD，

∴∠Ecx=∠DBC=45°，∴CE的直线方程为y=x，于是E（a，a）。

∵|BE|=|BD|=，∴=，∴E在第一象限，∴a>0，∴a=，∴|DE|==-1。

且直线BE的方程为：y=（）（x+1），即y=（2-）（x+1）。∵H在y上且在直线BE上，则可得：c=2-。∴|DH|=1-（2-）=-1，

∴|DE|=|DH|。

例3   如图4，已知ABCD为正方形，在BC边上任取一点E，连结AE，AF平分∠DAE交CD于F。求证：AE=BE+DF。

分析：巧設未知量，不失一种好的解题方法。

证明： 延长CB到H，使BH=DF，连结AH，再证明△HEA是等腰三角形，则可得AE=HE=BE+DE，此题可利用三角法来证明。

设正方形的边长为a，则

DF=a·tana，BE=a·tan（90°-2a）

=a·cot2a，AE=

=。

∴AE-BE=-a·cot2a=-

==a·tana，∴AE=BE+DF。

三、以形形象助数，展现形的直观

“形”是“数”的形象表达，对抽象的数赋予直观图形的几何意义，“数”的问题转化为形的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受。它广泛应用于解题过程，如在解方程和解不等式问题中、在求函数的值域和最值问题中、在求复数和三角函数问题中都有体现，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。

例4   正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA

证明：如图5，构造以k为边长的正三角形，使其三边分别为a+A，B+b，C+c，则：S△PMN=bCsin60°，

S△QLN=cAsin60°，S△RLM=aBsin60°，S△PQR=k2sin60°。S△PNM+S△QLN+S△RLM

四、数形结合应遵循的原则

作为重要的数学思想，数形结合往往又是数学解题的一种重要策略。但运用它分析、解决问题时，应遵循以下原则：（1）对等转换原则：代数性质与几何性质的转换应该是等价的，同时注意图形的存在性、合理性、准确性、整体性以及界限性。（2）统一性原则：数与形的互相转化，既对图形直观分析，又对代数进行抽象的探索，两方面相辅相成，发挥数与形的双重优越性，做到数形统一。（3）简单性原则：运用数形结合力求简捷快速达到解题目的。即找到解题思路后，至于用几何法还是代数法或者两者兼用，取决于哪种方法快速有效。

五、新课标课程教学中注意渗透数形结合的数学思想

1. 研究教材，挖掘数形结合思想

数形结合能很好地培养和发展学生的解题能力。数形结合的途径大致可以归类为以下三种：（1）通过坐标系，包括直角坐标系、极坐标系和复平面。（2）模型的构造，可以通过构造几何模型、构造函数或图形进行数学建模。（3）数与形的转化，通过分析数、式与方程的几何意义，确认数、式与图形之间的对应关系，实现数与形的等价转化。

新课标中这种思想的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着重要的作用，引导学生对问题进行正确的分析、比较、类比、合理联想，逐步形成正确的解题思路，能有效帮助学生对抽象概念给予形象化的合理理解，提高他们的解题能力。

2. 探索教学，渗透数形结合思想

作为重要的数学思想，“数形结合”中的“数”应有广义深远的意义，可以是普通意义上的数，如实数，也可以是式子，如代数式或超越式，甚至它可以是函数;而“形”是以上各种“数”的几何图形表示。几何是研究图形的，我们只要把代数中的抽象问题，想办法用几何图形把它们的含义表示出来，把抽象的理解转化为直观的理解，把理解变为识图，问题便可以在短时间内迎刃而解，还会使理解变得深刻。比如函数有图像表示的方法，集合有文氏图表示，不等式的解集可在数轴上表示等。教师教学中应善于用鲜活的事例，渗透“数形结合”的思想方法，引导学生能够有的放矢地多角度、多层次地思考问题，养成多向性思维的好习惯;引导学生变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质。在教学渗透数形结合的思想时，应注意培养学生以下几点认识： 一是认真观察图形，找出图形中蕴含的数量关系。二是正确绘制图形，准确反映图形中相应的数量关系。三是切实把握“数”与“形”的对应关系，以图識性，以性识图。

数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转化的一种基本思路和和基本方法，它能沟通数与形的内在联系，使数与形实现等价转化，相互补充、相得益彰。在解题中学会以形助数，借数解形、数形结合，直观入微，提高形数联想的灵活性，能有助于学生思维素质的发展，有利于提高学生的解题能力。

“授人之鱼”只供一饭之需，教人以渔则终生受用无穷。“教人以渔”而不是“授人之鱼”，在数学教学中更为重要，它可以使学生的学习任务由“学到什么”转到“学会学习”，能达到所谓的“教是为了不教”的最高境界。数形结合是重要的数学“渔法”。化数为形，化形为数，数形结合，相互为用，就可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。因此，教师要培养学生思维活动的严密性和灵活性，从而不断提高他们的解题能力。

参考文献：

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[2]章士藻.中学数学教育学[M].南京：江苏教育出版社，1996.

[3]张顺燕. 数学的思想方法和应用（修订版）[M]. 北京：北京大学出版社，2003.

[4]徐加生.例谈数形结合解题应注意的问题[J].中学数学研究，2004（10）.

作者简介：陈靖航（1971-），女，福建莆田人，中学高级教师，从事数学教学与研究。