无穷区间上含有p—Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性

禹长龙 王菊芳 李国刚

摘要：运用Leray-Schauder非线性抉择定理研究了一类无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶微分方程积分边值问题：

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0

解的存在性，其中η∈[0，+∞），α∈[0，+∞）且f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））。

关键词：常微分方程其他学科；p-Laplacian算子；n阶微分方程；积分边值问题；Leray-Schauder非线性抉择定理

中图分类号：O175MSC（2010）主题分类：34B40文献标志码：A

Existence of positive solutions for nth-order integral boundary value

problems with p-Laplacian operator on infinite interval

YU Changlong， WANG Jufang， LI Guogang

（School of Science， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China ）

Abstract：In this paper， Leray-Schauder nonlinear alternative theorem is used to study the existence of positive solutions for nth-order integral boundary value problems with p-Laplacian operator on infinite interval

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0

where η∈[0，+∞），α∈[0，+∞） and f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））.

Keywords：ordinary differential equation； p-Laplacian； nth-order differential equation； integral boundary value problems；Leray-Schauder nonlinear alternative theorem

收稿日期：2015-03-08；修回日期：2015-05-10；责任编辑：张军

基金项目：国家自然科学基金（11201112）；河北省自然科学基金（A2013208147，A2014208152，A2015208114，A2015208051）；河北省教育厅基金（Z2014062）；河北省教育厅自然科学青年基金（QN2015175）

作者简介：禹长龙（1978—），男，河北阳原人，讲师，硕士，主要从事微分方程邊值问题、数值计算等方面的研究。

E-mail：changlongyu@126.com

禹长龙，王菊芳，李国刚.无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报，2015，36（4）：382-389.

YU Changlong， WANG Jufang，LI Guogang.Existence of positive solutions for nth-order integral boundary value problems with p-Laplacian operator on infinite interval[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：382-389.1问题提出

无穷区间上的边值问题起源于应用数学和物理领域，具有广泛的应用背景。早在1908年，BLAIUS利用相似变化技巧，对不可压缩均匀流体沿零攻绕流无限大平板的边界层情况给出了著名的布拉休斯边界层方程：

f′′′（η）+f（η）f″（η）=0，

f（0）=f′（0）=0，f′（+∞）=1。

这是出现最早的无穷区间边值问题[1]。1957年，KIDDER在研究半无穷多孔介质压力与位置及时间的关系时也得到无穷区间上的边值问题：

河北科技大学学报2015年第4期禹长龙，等：无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性W″+2z（1-αW1/2）1/2W′=0，

W（0）=1，W（+∞）=0，

对这类问题的一系列研究，形成了无穷区间上的边值问题[2]。近年来，由于无穷区间边值问题的广泛应用，引起了越来越多人们对无穷区间边值问题解的存在性的关注，主要结果见文献[3]—文献[11]。

无穷区间上含p-Laplacian算子的微分方程边值问题也被广泛研究[12-15]，无穷区间上的含p-Laplacian算子的高阶微分方程边值问题的研究结果很少。关于这类方程在积分边界条件下的边值问题的结论目前还未见到。

本文研究一类无穷区间上的含p-Laplacian算子的阶微分方程积分边值问题：

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=x（n-2）（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0（1）

解的存在性，其中η∈[0，+∞），α∈[0，+∞）且f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））。

假设满足以下条件：

H1）0<α∫+∞ηg（τ）dτ<1且0<∫+∞ηg（τ）τn-2dτ<+∞；

H2）f：[0，+∞）×R×R→[0，+∞）连续；

H3）F（t，u，v）=f（t，（1+t）n-1u，（1+t）n-2v），ω∈C1（[0，+∞），[0，+∞））非减，且θ（x）∈L1[0，+∞），使得|F（t，u，v）|≤θ（t）φp（ω（|u|））；

H4）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds<+∞。

2预备知识

定义空间：

X=x∈Cn-1[0，+∞），sup0≤t<+∞|x（t）|1+tn-1<+∞，sup0≤t<+∞|x′（t）|1+tn-2<+∞，

赋予范数‖x‖=max{‖x‖1，‖x′‖1}，其中‖x‖1=sup0≤t<+∞|x（t）|1+tn-1，‖x′‖1=sup0≤t<+∞|x′（t）|1+tn-2。易证X为一个巴拿赫空间。

设PX，且P=x∈X：x（t）≥0，t∈[0，+∞），x（0）=α∫+∞ηg（t）x（t）dt，limt→+∞xn-1（t）=0。

下面给出Leray-Schauder非线性抉择定理。

定理1[16]设X为赋范线性空间，KX为有界凸子集，ΩK为相对开集，T：→K为全连续映射，点p∈Ω，则下列结论至少有1个成立：

1）T在中有不动点；

2）x∈Ω，λ∈（0，1），使x=λTx+（1-λ）p有解。

由于Arzela-Ascoli定理在无穷区间上是失效的，为此给出一个新的判定无穷区间相对紧集的准则。

引理1设V={x∈X：‖x‖0}，满足：在任何有限区间上，函数族x（t）1+tn-1：x∈V和x′（t）1+tn-2：x∈V等度连续且对ε>0，N>0，当t，t′≥N时，对一切x∈V有：

x（t）1+tn-1-x（t′）1+（t′）n-1<ε，x′（t）1+tn-2-x′（t′）1+（t′）n-2<ε，

则V为X中的相对紧集。

证明引理的证明类似于文献[17]中引理2.2的证明。

引理2设y∈C（R+，R+），则边值问题：

（φp（x（n-1）））′（t）+y（t）=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=x（n-2）（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0（2）

有唯一解：

x（t）=∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，

其中，G（t，s）称为n阶积分边值问题（2）的Green函数，且

G（t，s）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）·

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，0≤s≤min{η，t}，

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ，t≤s≤η，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，η≤s≤t，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ，s≥max{η，t}。

证明对边值问题（2）的第1式两边积分，积分区间为[t，+∞），则有：

∫+∞t（φp（xn-1））′（τ）dτ=∫+∞t-y（τ）dτ，

由边界条件limt→+∞x（n-1）（t）=0可得：

x（n-1）（t）=φ-1p（∫+∞ty（τ）dτ）。（3）

对式（3）两边积分，积分区间为[0，t]，则有：

∫t0xn-1（s）ds=∫t0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，

由边界条件可得：

x（n-2）（t）=∫t0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，（4）

再對式（4）两边积分，积分区间为[0，t]，则有：

∫t0xn-2（γ）dγ=∫t0（∫γ0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds）dγ，

由边界条件并交换积分次序得：

x（n-3）（t）=∫t0（t-s）φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds。（5）

重复上面的过程，经过n次积分可得：

x（t）=x（0）+∫t01（n-2）！（t-s）n-2φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，（6）

又x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，于是有：

x（0）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）[∫η0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds·

∫+∞ηφ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds]，

因此可得：

x（t）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）∫η0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds·

∫+∞ηφ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτds+∫t01（n-2）！（t-s）n-2φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds=

∫+∞0G（t，s）（φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ））ds，

其中，G（t，s）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）·

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，0≤s≤min{η，t}，

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ，t≤s≤η，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，η≤s≤t，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ，s≥max{η，t}。

引理得证。

引理3t，s∈[0，+∞），则有：

0≤G（t，s）≤α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2。

证明由函数的单调性易证。

定义算子T：P→X为

（Tx）（t）=∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds，

且易得：

（Tx）′（t）=∫t0（t-s）n-3（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds。

引理4假设条件H1）—条件H4）成立，则算子T：P→P是全连续的。

证明易证T：P→P成立。下面证T连续且是相对紧的。

首先，证明算子T是连续的。

设xn，x∈P且n→+∞时，xn→x，则存在r0使得supn∈N＼{0}‖xn‖≤r0。令

Br0=sup{f（t，（1+t）n-1u，（1+t）n-2v），（t，u，v）∈[0，+∞）×[0，r0]2}，

显然有：

∫+∞0a（τ）|f（τ，xn，x′n）-f（τ，x，x′）|dτ≤2Br0∫+∞0a（τ）dτ<+∞，

由勒贝格控制收敛定理可得：

|φ-1p（∫+∞0a（τ）f（τ，xn，x′n）dτ-φ-1p（∫+∞0a（τ）f（τ，x，x′）dτ）|→0，n→+∞，

于是有：

‖（Txn）-（Tx）‖1=supt∈[0，+∞）（Txn）（t）-（Tx）（t）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）11+tn-1∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）（1+tn-1）（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+

（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds→0，n→+∞，

‖（Txn）′-（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）（Txn）′（t）-（Tx）′（t）1+tn-2=

supt∈[0，+∞）1（n-3）！（1+tn-2）∫t0（t-s）n-3（φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ））ds≤

supt∈[0，+∞）1（n-3）！（1+t-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds→0，n→+∞。

综上所述，当n→+∞时，‖（Txn）-（Tx）‖→0，所以T是连续的。

其次，证明算子T将有界集映为相对紧集。

设Ω是P的任意有界集，则存在r>0，使得x∈Ω，‖x‖

‖（Tx）‖1=supt∈[0，+∞）（Tx）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）11+tn-1∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

α（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）dsφ-1p（Br），

且

‖（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）（Tx）′1+tn-2=

supt∈[0，+∞）1（n-3）！（1+tn-2）∫t0（t-s）n-3（φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ））ds≤

supt∈[0，+∞）tn-3（n-3）！（1+tn-2）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）Brdτ）ds≤

1（n-3）！（∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）dsφ-1p（Br），取

M=max{α（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1），1（n-3）！}∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds，

則有‖TX‖≤Mφ-1p（Br）。于是TΩ有界。

下证x∈Ω，TΩ是等度连续的。

L∈（0，+∞），且t1，t2∈[0，L]，因为∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds<+∞，且函数G（t，s）1+tn-1连续，所以有：

（Tx）（t1）1+tn-11-（Tx）（t2）1+tn-12=11+tn-11∫+∞0G（t1，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds-

11+tn-12∫+∞0G（t2，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds=

φ-1p（Br）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）G（t1，s）1+tn-11-G（t2，s）1+tn-12ds→0，t1→t2，

同理可得：

（Tx）′（t1）1+tn-21-（Tx）′（t2）1+tn-22=1（n-3）！∫t10（t1-s）n-31+tn-21φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds-

1（n-3）！∫t20（t2-s）n-31+tn-22φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

φ-1p（Br）（n-3）！∫t10φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）（t1-s）n-31+tn-21-（t2-s）n-31+tn-22ds+

φ-1p（Br）（n-3）！∫t2t1φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）（t2-s）n-31+tn-22ds→0，t1→t2，

所以对x∈Ω，TΩ是等度连续的。

最后，证明TΩ是一致收敛的。对于x∈Ω，有：

limt→+∞（Tx）（t）1+tn-1=limt→+∞11+tn-1∫+∞sG（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds·φ-1p（Br）=0，

且

limt→+∞（Tx）′（t）1+tn-2=limt→+∞1（n-3）！（1+tn-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞1（n-3）！（1+tn-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds·φ-1p（Br）=0。

所以TΩ是一致收斂的，由引理1得TΩ是相对紧集，即T是紧算子，因此，T：P→P是全连续的，证毕。

3主要结论及证明

定理2 设条件H1）—条件H4）成立，且假设条件H3）中的函数ω和θ满足：

H5）ρ>0使得：

Lω（ρ）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds>1，

则边值问题（1）至少有1个正解x（t），且

0

其中：

L=minρ（n-2）！（1-∫+∞ηg（τ）dτ）α（∫+∞ηg（τ）（τn-2-1）dτ+1），ρ（n-3）！。

证明考虑边值问题：

（φp（x（n-1）））′（t）+λa（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0，（7）

其中0<λ<1，求解式（7）等价于求解不动点问题x=λTx。

令U={x∈X，‖x‖≤ρ}，断言对于x∈U，λ∈（0，1），x≠λTx。假使不然，设存在x∈U，λ∈（0，1），使得x=λTx，则

‖x‖1=‖λTx‖1=supt∈[0，+∞）λ（Tx）（t）1+tn-1≤supt∈[0，+∞）（Tx）（t）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）∫+∞0G（t，s）1+tn-1φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-1，x′（τ））dτ）ds≤

α（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）φp（ω（|x（τ）|1+τn-1））a（τ）dτ）ds≤

αω（ρ）（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds，

所以

ρ≤αω（ρ）（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds，

即

ρ（n-2）！（1-∫+∞ηg（τ）dτ）αω（ρ）（∫+∞ηg（τ）（τn-2-1）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds≤1。

同理，有：

‖x′‖1=‖λ（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）λ（Tx）′（t）1+tn-2≤supt∈[0，+∞）（Tx）′（t）1+tn-2=

supt∈[0，+∞）∫+∞0（t-s）n-3（1+tn-2）（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds=

supt∈[0，+∞）∫+∞0（t-s）n-3（1+tn-2）（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-2，x′（τ））dτ）ds≤

1（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-2，x′（τ））dτ）ds≤

1（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）φ-1p（ω（|x（τ）|1+tn-2））a（τ）dτ）ds≤

ω（ρ）（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds，

所以

ρ≤ω（ρ）（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds，

即

ρ（n-3）！ω（ρ）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds≤1，

这与条件H5）矛盾，由定理1和引理4可得边值问题（1）至少有1个正解x（t），且‖x（t）‖<ρ。

参考文献/References：

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