对一道试题的商榷及命题建议

☉南通大学附属中学 尤荣勇

对一道试题的商榷及命题建议

☉南通大学附属中学 尤荣勇

一、试题再现

上学期我校高二年级期末试卷是请兄弟学校的老师命的题，其中第15题（解答题第1题，共计6个解答题）是这样的：

题目已知p：1＜2x＜8，q：不等式x2-mx+4≥0恒成立，若﹁p是﹁q的必要条件，求实数m的取值范围.

参考解答：由1＜2x＜8，得0＜x＜3，即p：0＜x＜3.

二、教者争议

我们高二数学备课组老师在做该试题时，大家意见却出现了分歧.部分老师有如下答案：

解法1：与参考答案类似.

解法2：p：0＜x＜3，﹁p是﹁q的必要条件，即p是q的充分条件，则x2-mx+4≥0对任意x∈（0，3）恒成立.令f（x）=x2-

综上（1）、（2）、（3）所述，m∈（-∞，4］.

解法3：设集合A=｛x|x∈p｝，集合B=｛x|x∈q｝，由条件﹁p是﹁q的必要条件，则A⊆B.显然：A=（0，3）.

综上所述：m∈（-∞，4］.

我们组也有部分老师对该题有不同意见，不妨把上述解法称为正方的解法，那么下面截然不同的意见则是反方的意见：语句q应该是一个独立的命题，不等式x2-mx+4≥0恒成立，那么该不等式是关于变量x还是变量m的不等式呢？不得而知！若不等式是关于m的不等式，设g（m）=-xm+x2+4，则依题意x=0，因为语句p：0＜x＜3，显然p不是q的充分条件，﹁p不是﹁q的必要条件.显然该不等式只能是关于x的不等式恒成立，此时Δ= m2-16≤0，即-4≤m≤4时，x∈R，此时p：0＜x＜3是q：x∈R的充分条件，即﹁p是﹁q的必要条件.综上m的范围为-4≤m≤4.

正反双方各执一词，各自认为自己的意见是对的，争议的焦点是：正方认为，语句p是语句q的充分条件，当然q中的不等式是关于x的不等式，且在p成立的条件下恒成立，而反方认为，语句q中没有说明是关于哪个变量的不等式，即便是关于x的不等式，我们说不等式x2-mx+ 4≥0恒成立，一般就是x2-mx+4≥0对一切x∈R均成立的意思，显然这样正方的答案有失科学性.但评卷时，还是尊重参考答案，按照正方的标准评分.我们不妨再来看看学生的答题情况.

三、学生解答及问卷调查

本小题满分14分，我校理科8个班共有308人，年级理科均分5.77分，笔者随机抽样了30份试卷.将其答案、得分大致分类如下表：

试卷份数解答情况1 p：1＜x＜3，…属于完全解错型，得0分. 4 p：0＜x＜3，﹁p：（-∞，0］∪［3，+∞），q：Δ=m2-16≤0.属于以下空白型，得3分. 5﹁p：（-∞，0］∪［3，+∞），﹁q：Δ=m2-16＞0，m∈（-∞，-4）∪（4，+∞），﹁p是﹁q的必要条件，﹁q⇒﹁p，即m∈（-∞，-4）∪（4，+∞）.得3分. 11﹁p是﹁q的必要条件，则p是q的充分条件，由p：0＜x＜3，q：Δ=m2-16≤0，即-4≤m≤4，x∈R，此时符合题意，则-4≤m≤4.得3分. 3解答类似正方解法1.得14分. 4解答类似正方解法2，其中2人结果错误.2人14分，2人得12分. 2解答类似正方解法3，其中1人无理不等式解错.1人14分，1人得5分.

针对本题学生的解答、得分情况，笔者对抽样试卷对应的30名同学又进行了一次问卷调查：

问卷调查中的问题多次阅读，还有读不懂题意的感觉你认为本题为容易题已将﹁p是﹁q的必要条件转化为p是q的充分条件或转化为语句p构成的集合是语句q构成集合的子集你看过参考答案后，你对本题题目仍然有异议由于本题解答没把握，较大影响了你后续解答题的求解人数占调查总人数的比例28 93.3% 2 6.6% 24 80% 10 33.3% 23 76.6%

四、对该试题的几点商榷

该试题学生反映读不懂题意，即便是老师，解答本题也颇有争议，那么本题是否存在科学性问题呢？笔者认为，试题表述确有值得商榷之处.

商榷1：语句p中的x就是语句q中的x吗？正方的解答都是默认了语句p中的x就是语句q中的x，这个值得我们推敲.例如A=｛y|y=x2-1｝，B=｛x|x＞0｝，能说集合A，B中的x是同一个x吗？显然不能.如果语句q中的x未必是语句p中的x，那么在p是q的充分条件下，不等式x2-mx+4≥0对任意x∈（0，3）恒成立也就无从说起，当然参考答案（包括正方答案）也站不住脚了.

商榷2：即便语句p中的x就是语句q中的x，那么语句q中的不等式x2-mx+4≥0恒成立，正如反方的意见，这个不等式是关于x的还是关于m的不等式呢？提供的参考答案及正方答案，都是将其看成是x的不等式，为什么要看成关于x的不等式？是否有点牵强？不能因为问题是求m的范围，就把它视为关于x的不等式.

商榷3：这道题的重点不仅考查了充分条件、必要条件的判断，还考查了一元二次不等式在某区间上恒成立问题，但题意表述上人为“挖坑”痕迹明显，似乎有故意将学生往“死路”上引，极不自然，难以让人认同，应该不算一个好题.不妨将该试题修正为：已知p：1＜2x＜8，q：关于x的不等式x2-mx+4≥0的解，若﹁p是﹁q的必要条件，求实数m的取值范围.这样不容易引起歧义，学生也容易读得懂，下得了手.

五、命题建议

1.别让试题的表述成为学生解答的路障

以检查学生学业情况的一份试卷只有确保每一道试题本身科学无误，才能使考查产生最基本的可信度，这也是命题的最基本要求，同时我们命制试题也不能过分追求“新”、“异”，而落入“偏”且“怪”的境地，而该题的命题意图是追求题意简洁还是为了“难”而“刁难”学生呢？我们反对拖沓冗长地表述题意，但题意表述应该在保证内容正确的前提下清楚、简洁、严谨、科学，尽量做到无懈可击，不能过分追求简洁而失去逻辑性与严谨性，试题中不能出现知识性的错误及有争议的地方，一道题，学生读了多次也没有读得懂，甚至连教师理解题意都有困难与分歧，让学生怎么去求解呢？

2.基础年级阶段性试卷难度不宜过高

从问卷调查结果可知，学生对充分条件、必要条件的判断这个知识点已经基本掌握，但仍然丢了分.即使是理解了命题者意图的9名学生中仍然有3人丢了分.其实“简易逻辑”这部分内容重在充分条件、必要条件的判断，但本题命题意图除了判断充分、必要条件外，又着重考查了基本不等式、一元二次方程根的分布、恒成立，甚至还用到含参不等式的解法等问题，这些当然是高考要求，但不是本学期的学习重点，学生的能力也还没有达到，若修正一下如商榷3的表述，放在高三测试，的确是一道好题.但放在基础年级测试，则对教师教学的导向性不好，容易使老师平时上课盲目拔高.在阶段性考试中，有时我们命题下手比较重，160分的试卷学生平均分在80分左右，6道解答题从第一道就开始难，这样不但起不到激励学生学习的作用，反而让学生心理受到打击，也许学生就因这一次考试而失去学习数学的兴趣.事实上，基础年级阶段性考试有别于升学选拨考试，不是高考，是对平时教学情况的一次反馈，是一次过程性检查，目的是让学生达到巩固、理解阶段性基础知识，因此命题标准要符合相应教学要求和新课程标准的要求，而有别于高考要求，千万不能一提到考试就往高考要求上靠，这样得不偿失！

1.南通大学附属中学2014-2015学年第一学期期末试题高二数学（理科）.

2.任志瑜.别让高考题的表述成为“路障”［J］.数学通报，2014（4）.F