数列求和：山不过来，我过去

☉江苏省南京市大厂高级中学 余建国

数列求和：山不过来，我过去

☉江苏省南京市大厂高级中学 余建国

“山不过来，我过去”是《古兰经》中的一个经典故事.故事寓意：这个世界本来就没有移山之术，唯一可以将山移过来的方法就是——山不过来，我过去.在平时的教学工作中，每个老师都会遇到“移山”一样的教学难点，但囿于多年教学形成的固有思维模式，多数老师总是沿着固有模式一届又一届地教学下去，难点仍然是难点，收效甚微.与其一厢情愿地继续“唤山”，不如主动“走过去”.关于数列求和方法中的错位相减法，我校数学教研组就此开展了“我过去”式的一次校本教研，活动给笔者留下了很多需要反思的东西，在此与读者一起分享.

一、效果不好已成心结

错位相减法是对一类特殊数列的求和方法，即如果数列｛an｝满足：an＝bn·cn，其中｛bn｝与｛cn｝一个是等差数列，另一个是等比数列，那么求数列｛an｝的前n项和Sn，就可以用错位相减法.例如，课本（苏教版必修5）上就有习题：求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1.每年的高考题中，此法常派上用场，也正因为如此，无论在新课教学，还是在高考复习中，学生和老师都非常重视这个方法.

平心而论，发现这个方法很困难，但学会这个方法很容易：列和式，记为①→乘以q，记为②并错位写→两式相减，即①－②→化简，解题步骤清晰，一成不变，几乎就是一个解题“程序”了.然而，多年的教学经历表明，学生解此类题的正确率并不高，我们以数和为例，困难体现在这样几个方面：一是学生自己“偷工减料”，和式中的项写得太少，两式相减后根本就观察不出规律；二是两式相减后，常把②式中的最后一项三是减后求和时，第一项能否带上一起求和，直接影响到求和的项数是n－1还是n；四是最困难的一点，求和后的化简.

笔者在一所中等偏下层次生源的学校任教，学生对于错位相减法好学却用不好的现象届届发生，苦无良策，“把方法教会了，能不能算对是你自己的事，”有时也就这样安慰自己.

二、年轻教师请缨尝试

果不其然，年轻的程老师第一轮高中教学也感受到同样的教学困惑，因为教的是平行班，这种感受更强烈.高三复习又到了错位相减——数列求和，程老师向教研组长毛遂自荐，“我来上一节研究课，试试这类数列不用错位相减，而用裂项求和，看看效果如何？”在集体备课期间，程老师在自己的班级教学“数列求和（高三复习课）”，全组老师听课、观摩.

五分钟后，所有学生做好了前两题，大部分学生做到了第（3）题.通过提问反馈，学生对所用方法、适用类型非常清楚，如第（1）题用裂项相消法，第（2）题用分组求和法，第（3）题用错位相减法，这也是高考所要求掌握的三种方法.但不出意料，第（3）题的答案五花八门，仅用n＝1就可以否定几乎所有已得到的答案.

师：第（3）题我们先放一放，请同学们看讲义上的问题1.

第二环节：引入裂项

问题1：在数列｛an｝中，数列｛an｝的前n项和Sn.

学生一看到减号，立即尝试累加相消.

师：怎么样？这个题好做吧.

众生低头称是.忽然有学生惊呼：“这就是刚才错位相减的那道题.”

师：同学们，大家讨论一下，通过问题1的求解，你发现什么问题？

学生反馈两点：第一，这个方法对所有能用错位相减求和的数列都适用吗？第二，如果是，这类数列怎么裂项呢？

第三环节：模仿裂项

师：老师也不知道是否通用（显然，老师是在“卖关子”），要不我们再来一题如何？

问题2：在数列｛an｝中，若an＝n·2n-1，你能否将它分裂成一个新数列的相邻两项差的形式？如果能，你就顺便求一下数列｛an｝的前n项和Sn.

学生跃跃欲试.五分钟后，有学生示意做好了.程老师用实物投影仪展示了学生的解题.

生：因为an＝n·2n-1＝（n－1）·2n－（n－2）·2n-1，所以Sn＝a1＋ a2＋a3＋…＋an＝［0·21－（－1）·20）］＋（1·22－0·21）＋（2·23－1·22）＋…＋［（n－1）·2n－（n－2）·2n-1］＝（n－1）·2n－（－1）·20＝（n－1）· 2n＋1.

师：同学们可以先用n＝1初步验证他的结果的准确性（得到肯定），那么请问你是怎么想到这么裂项的呢？

生：模仿前面一题.应该有2n，2n-1这样的项，前面再凑凑系数，因为一定是“两个一次式相减”.

师：你能说得再详细点吗？我还没听明白（真能“装”）.

生：因为两项相减嘛，前一项的“系数”比后一项的“系数”多个倍数2，但差的结果是等差数列通项，即一次多项式，所以，前后两个“系数”都是一次式，凑凑就出来了.

师：这下老师听明白了.你的意思是：设an＝n·2n-1＝

（an＋b）·2n－［a（n－1）＋b］·2n-1＝2n-1［2（an＋b）－a（n－1）－b］＝（an＋a＋b）·2n-1，由“对应项系数相等”，

全班响起来了热烈的掌声.

第四环节：形成方法

师：通过刚才的练习，我们可以肯定这个方法对所有能用错位相减求和的数列都适用；而如何裂项也有其内在规律.只要多加练习，必能悟出方法.先对数列

师：这个方法同学们学得很快，我们用高考真题练练手.

例1（2014全国卷文科第17题）已知｛an｝是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.

（1）求｛an｝的通项公式；

数列｛an｝的通项公式为a老师课堂上做了统计，五分钟之内做对的有7人；又过了3分钟，做对的增加到22人，已达到60%的正确率，这对一个平行班（该班几乎没有所谓的“指标”）来说相当可观了.后面学生越做越顺.

三、评评议议道理更明

课后，教研组长陈老师召集全组老师一起来评评议议这节课.

程老师自己先发言：我在一本杂志上看到这种方法，［1］原文作者也认为错位相减法虽然容易学会，但计算比较繁，正确率不高，所以自己就尝试向学生介绍这种求和方法，毕竟学生有“裂项相消”的方法基础，只要教会他们这类数列裂项的方法，就可以简化运算，从而提高正确率.自己觉得，这节课学生还是能消化吸收的，预计作业的正确率会提高.

资深教师雷老师：不学习要落后啊！我是第一次看到这个方法，不仅是个好方法，经过程老师的精心设计，这节课更是“润物细无声”.他首先让学生尝到甜头——顺利地解决问题1，当学生发现它就是前面绝大部分同学做错的基础训练第（3）题时，立即来了兴致：什么方法如此神奇？学生自然而然地产生探究的需求.其次，他并没有和盘托出这个方法的一切奥妙，而是“装一装”——“我也不知道是否通用”，“你说得再详细点，我还没听明白”等，把课堂的时间和空间还给学生，将教学的节奏慢下来，学生悟一悟，老师听一听，从而让学生想明白、说明白、做明白.最后，也是他最令我称道的是对这节课的要求把握得很好.这个方法肯定能总结成一个公式，但对于一个平行班，能学会这个方法就行，不需要记住这个公式.

青年骨干姚老师：我见过这个方法，而且还可以进一步地探究：如果数列｛an｝满足：an=bn·cn，其中｛bn｝是n的二次多项式，｛cn｝是等比数列，那么求数列｛an｝的前n项和Sn，就可以用裂项法.举个例子，如an=n2·2n，设bn=（an2+bn+ c）·2n，由an=bn-bn-1，得n2·2n=（an2+bn+c）·2n-［a（n-1）2+b（n-1）

不过，对于高考来说，bn是n的二次多项式的情形肯定用不上了.与错位相减法比较，错位相减法难在后面的化简，这里的裂项法难在前面的裂项，方法各有千秋，但对“系数”是一次式的情形，裂项法占优.

笔者的发言：程老师大胆探索教学方法变革的勇气可嘉，在高三数学复习课教学中，任何有针对性、有层次性、有效益的教学方法都值得尝试.个人认为，学生习得的任何数学方法都与他们的认知发展过程相关，错位相减法怎么出来的？那还是高一必修课学习等比数列时推导其前n项和Sn公式的“副产品”，如果不讲错位相减而直接训练这样的“裂项相消”，好像也说不通、理不顺.用错位相减法求和为什么正确率不高，关键还是学生的运算求解能力不强，当遇到前面那个“等差数列系数”复杂点，或者后面那个“等比数列公比”是略微复杂点时，错误率就上去了.

……

教研组长陈老师：我建议，下届教高一时，用两个同层次班级做个对比，用数据说话.

虽然文1喊出“让错位相减法‘退出’数列求和的舞台”，不免有“博眼球”之嫌，但是程老师通过自己的学习，再精心设计本节课的教学，非常准确地把握住教学要求，取得了预期的教学效益，值得全组老师借鉴.在高三数学复习乃至整个数学教学过程中，如何提高学生的运算求解能力，一直是所有老师孜孜以求的目标，但不少老师都在原地“唤山”，山是唤不来的，而年青的程老师自己走了过去，他所做的尝试给了我们不少的启示.首先，要有不断研究、终身学习的观念，死抱着错位相减法一成不变，学生算不对就怨天尤人是不负责任的.其次，在碰到教学中的“死结”时要勇于变革、尝试，退一步海阔天空，重新去研究课本.仔细研读，笔者发现，其实这不正是“裂项相消”吗？所以说，错位相减与这种裂项相消本质是一样的.再次，正如弗赖登塔尔所说：“首先，知识和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更具有实用性.第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的.第三，它促进了将数学作为一种人类的活动来体验的观念的形成.”［2］将错位相减改造为裂项相消，这样的教学活动也必须精心设计，把发现的机会留给学生，充分发挥学生的主体性，这样学生习得的方法才牢靠.

1.陈世明.让错位相减法“退出”数列求和的舞台［J］.中学数学研究（上），2014（7）.

2.［荷］弗赖登塔尔，箸.数学教育再探——在中国的讲学［M］.刘意竹，杨刚，译.上海：上海教育出版社，1999.

3.俞登超.关于数列｛nxn｝（x≠0，x≠1）的前n项求和方法的再思考［J］.中学数学（上），2010（3）.F