在反例中求正解——谈初中数学教学中对反例的应用

仲崇猛

（江苏省连云港市赣榆区教师发展中心，江苏 连云港222100）

在反例中求正解
——谈初中数学教学中对反例的应用

仲崇猛

（江苏省连云港市赣榆区教师发展中心，江苏 连云港222100）

初中数学是锻炼学生的抽象逻辑思维的主要阶段，教师应根据学生的年龄特点在这一阶段着重培养学生的抽象逻辑思维。课堂教学是初中数学教学的基本途径，为了有效的进行教学，教师应充分利用课堂尽可能的激发学生对数学学习的兴趣，从而提高学生对数学的应用以及对数学的掌握程度。从反例中求解，不仅可以解决学生的疑惑，还能让学生更好的在数学的长河中尽情的游荡。

初中数学；反例；应用；抽象逻辑思维

反例教学在初中数学教学中起着很重要的作用，反例可有效的巩固所学的概念和定理，同时还能增强学生对数学知识的兴趣，更能对学生的抽象逻辑思维的训练得到很大的帮助。对于教学而言，反例能有效的提升教学质量，还能从例子中深刻的理解知识点。对解决数学问题而言，利用反例无疑是掌握数学学习最有效，最能加深学生印象的一种教学方法。

在生活中，我们有时会能遇到一些问题，使我们百思不得其解，这个时候就要发挥人大脑思维的作用了，如果我们从正面想不通，为何不试一试从反面去解决那，也许真的会有意外的收获。反例能激发的学生思维，使学生愿意去尝试、去思考。人的思维还具有灵活性，它能判断或选择一种最直接最简捷的方法去解决问题，在初中数学教学中，教师不仅要培养学生这种用反例去解决实际问题的能力，还应锻炼学生对反例的充分运用。反例还能培养学生的逆向思维。

一、中学数学中反例的作用及应用

在学习中学数学时，我们有时会遇到许许多多的数学问题，有的答案较多，有的给出没用的条件，还有的需要判断命题的真假，这些题往往是学生头疼的问题，那么是否能举出一个恰当的反例来证明是解决问题的关键点。在一些数学考试中，我们能看出现在的题型大多是开放性的，有些题型是需要学生用反例去证明它，或是只有举出反例才更容易理解，那么当学生再遇到相似的数学问题时，才懂得如何思考，找到解题的入口点。

运用反例能提高课堂效率，正确而充分的反例可以对解决问题起到事半功倍的效果，教师在数学教学过程中，运用反例增强课堂的互动性，让学生在快乐的课堂学习环境下，充分发挥学生学习的自主性、积极性，使学生愿意思考，乐于挑战，从而增强学生对中学数学学习的兴趣。运动反例优化学生的解决问题能力，数学解题的过程实质上是一种技巧，这种技巧可以提升学生的解题效率，还能有效的发展学生的发散性思维。

针对一个问题，学生在解决问题之前，应充分进行假设，思考和尝试，这样才能有效的锻炼学生解决数学问题的能力，和增强数学素养。运用反例培养学生的思维。一个数学问题的解决方法也有多种，在解决问题的这一阶段中，是对学生思维创造性、思维灵活性及逆向思维的锻炼。一节好数学课，不是教师教给你多少概念，而是教师会把焦点放到如何拓展学生的思维和激发学生学习兴趣上。

二、加强对学生反例学习的训练和培养

初中数学反例学习可以有效的培养和锻炼学生的抽象逻辑思维能力和创新能力。反例需要学生的推理，假设，证明和验证，不断地在尝试错误从而达到真正的理解。学生反例学习的训练和培养主要有一下几种方法：

（一）反例学习，培养学生的思维的严密性。我们经常说学习数学的人，思维很缜密。确实，数学的学习的确要求我们严谨。在考试中，我们也会发现有很多题我们都会做，但是却没有拿到分数，归根到底是我们马虎不严谨。那么我们在考虑问题时也是一样。看问题要全面而且严密。这是学好数学的关键。反例学习要求我们的思维严密，所以看待问题要从多个角

度出发。

（二）反例学习辩证真假。当我们遇到一个问题从正面很难解时，不妨试一试反例，看有没有收获。有很多数学问题利用反例解决反而更能让我们的思维变得灵活。反例学习能快速的辨别真假命题，例如：要证明“两个无理数的积仍是无理数”这一命题是否为真命题时，为无理数，则此命题为真。面对这样的问题，我们应尝试着举出反例，若为有理数，此命题为假命题。像这样我们只需举一个反例就能验证真假就很容易解决问题了。

（三）反例学习培养学生对概念的掌握。数学概念是学习数学的基础，大多数数学概念都很抽象，学生不容易记忆。但是通过举反例的方式，就会印象深刻并能加深对数学概念的理解。例如：要“证明两个三角形全等时”，我们可以利用给的条件来证明三角形是否全等。反之，我们可以运用三角形全等的条件来反例证明，更有利于学生对全等三角形概念的掌握。

三、运用反例增强学生数学知识的运用

数学的学习是为了更好的去解决实际生活中的问题，适当的运用反例能刺激学生对数学知识的运用。教师可以根据学生对反例运动的程度来判断他们数学知识的掌握程度，从而进行因材施教。对于数学落后的学生给予专门的训练。判断学生数学能力的基础和前提是学生对学过的知识是否能有效的运用，是否能举一反三，而不受到思维的定势。反例的运用主要有否定命题，有些数学问题，我们做题的切入点是将命题否定，从否定的方向来进行知识的迁移。例如：我们在学习一元一次方程时，判断一个式子是不是一元一次方程，我们首先要考虑的是，这个式子是否满足一元一次方程的条件。这个时候教师来举几个反例，让学生来判断。通过这种反例，可以很好的了解到学生对所学知识的巩固情况，同时也能让教师发现教师在课堂中的存在的不足。这样的练习不仅有效的促进学生对一元一次方程的认识，更是一个很好的理解对知识消化的过程，也将为以后学方程做了一个很好的铺垫。

四、数学反例促进教师的专业技能及反例应注意的问题

数学反例对教师的帮助也是显而易见的，一名成功的教师，最基本的是充分掌握专业知识，对自身的业务能力严格要求，不断的探索、发现和分析问题。教师最重要的是传道授业解惑，教会学生基本概念，让学生去解决问题。教师在教的过程中也是一个很好的学习过程，不仅能够重新理解知识，还能从交的过程中发现一些问题，更有利于教师的成长。课堂上，教师能针对一个正面难解问题，给出恰当的数学反例，这无疑是给自己增添了许多个人魅力。同时这也是一名教师正确充分驾驭课堂的表现。一名成功的数学教师，她有着良好的数学素养，他专注于数学问题中的每个细节，不断地学习，不断地积累经验。教师在数学教学中，运用反例应注意以下几点：

（一）对反例的举例不能盲目和毫无目的。这样反例就没有意义可言。反例要有针对性，针对课本中的教学内容做出合理的教学设计。针对问题的难易程度，知识的重点难点有计划的运用。

（二）运用反例的时间，什么时候运用反例，运用反例的基础是什么，这一点是教师在运用反例教学之前应思考的问题。教学中运用反例目的是达到画龙点睛的效果。所以，教师在数学教学中要认清，反例的运用是一种辅助手段，而不是唯一手段。

（三）运用反例时师生要互动。现代教育提倡以学生为主，教师为辅。教师的辅助作用主要体现在引导方面，有效的引导帮助学生自主求知。关于反例的运用，好处多多，可以以另一种视角审视证明数学知识的正误与否。但是那种单单只由教师来举，学生来听的反例教学已经不符合现代教育对学生自主能力培养的初衷，所以教师应该在做辅助之后，将课堂让给学生，让学生在讨论中来提出自己所举出的反例。

（四）运用反例时避免喧宾夺主。反例是作为证明所学数学知识而出现的例证，但是在反例和正例的共同比对中，如果稍加不注意，学生就会将反例作为知识重点，强加记忆，这不利于今后数学的学习，可能造成错误知识对正确知识的挤兑，继而使反例存留在大脑中，很难被矫正。所以，在运用反例教学时，教师要避免喧宾夺主。

总之，在数学教学过程中，适当的运用反例所取得的效果不可小觑。从某种程度来说，反例教学在课堂上起着引导、调节的作用，教师对反例的有效应用，直接影响着学生对数学问题的理解和对知识的掌握，同时，反例教学能够有效的培养学生的创造性、灵活性。所以，教师在数学教学过程中，应充分利用反例，将其植入在教学中，激发学生对数学学习的求知欲望，发展学生，提高课堂质量。

［1］张爱国，浅谈反例在数学教学中的作用［J］．湖南工程学院学报（自然科学版），1996，（01）．

［2］陈尔彬．反例与中学数学教学［J］．课程教材教学研究：中教研究，2010（Z1）．

［3］人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（必修）［M］．北京:人民教育出版社．2004．

编辑∕高伟

仲崇猛（1975-），男，江苏赣榆人，一级教师，研究方向：初中数学教学研究。