面向乘波体气动外形设计的代理模型特性分析及优化

季廷炜，王崯瞩，张继发，张 帅

(1．浙江大学 航空航天学院，杭州 310027；2. 浙江大学 工程与科学计算中心，杭州 310027)



面向乘波体气动外形设计的代理模型特性分析及优化

季廷炜1,2，王崯瞩1,2，张继发1,2，张 帅1,2

(1．浙江大学 航空航天学院，杭州 310027；2. 浙江大学 工程与科学计算中心，杭州 310027)

代理模型在气动布局优化设计得到了广泛应用，研究探讨分析各代理模型的特性分析是重要的基础问题。文中基于3种Kriging和二阶多项式响应面模型等4种代理模型，以升阻比和容积率为样本，研究分析了其在乘波体优化设计中的的拟合精度和结构特性。研究表明，在高超乘波体优化设计中，基于自然指数型评估函数的Kriging模型具有相对突出的拟合精度。最后，在乘波体升阻力系数和容积率代理模型的多目标优化中，对比了基于自然指数型评估函数的Kriging模型和常用的基于高斯函数的Kriging模型的优化结果，发现基于自然指数型评估函数的Kriging模型对于峰值的拟合效果更好。

代理模型；气动布局；乘波体构型；飞行器概念设计；多目标优化

0 引言

高超声速飞行器乘波体布局优化设计过程中，存在高维性、多峰性、全局性和仿真分析计算量大等问题。为了高效准确地进行高超声速气动布局优化，将代理模型方法引入高超声速飞行器布局优化设计，减少计算机高强度的仿真计算次数，降低设计空间搜索的计算量，消除数值噪声，提高全局寻优效率[1-5]。

当前，有关气动布局代理模型的分析和比较大部分针对机翼外形、飞行器和火箭等工程优化上的应用，其中所提出的代理模型的比较研究大多集中于二阶多项式响应面和Kriging代理模型、Kriging模型同多项式响应面模型和径向基RBF插值模型之间的比较研究[6-14]。在高超飞行器工程应用方面，Tsuchiya[15]、车竞[16]和陈万春等[17]国内外学者[18-27]都用代理模型构建了相应的学科的响应面模型进行优化设计，做出了突出的成果。其对应的研究主要针对响应面模型在高超声速飞行器优化中的构建，亟需深入研究适用于高超声速飞行器优化设计的代理模型特性。

目前，文献中高超声速飞行器优化设计中涉及的Kriging模型大多采用高斯模型(Gaussian)作为相关性评价函数，对于其他相关性评价函数的模型研究的开展较少。本文以乘波体升阻力和容积为样本，分别编写了二阶多项式响应面模型(QRS)、基于高斯相关评估函数的Kriging模型(GKG)、基于自然指数相关评估函数的Kriging模型(EKG)、基于一般指数相关评估函数的Kriging模型(XKG)等4种代理模型，探索适于乘波体气动布局概念设计的代理模型，分析对比各设计参数对设计响应的影响情况。最后，采用遗传多目标优化算法，以升阻比和容积率作为优化目标，应用代理模型技术解决高超声速乘波体气动布局优化设计。

1 基本理论及方法

1.1 代理模型方法

目前，工程上常用的代理模型有二阶多项式响应面模型和Kriging模型。

(1)二阶多项式响应面模型

多项式响应面模型利用样本数据拟合得出设计变量与性能响应间的多项式函数关系。多项式响应面计算量小，基本上能反映设计空间的非线性，一般采用二阶多项式响应面模型，即

(1)

式中y为响应；x为设计变量；β为多项式参数；ε为拟合误差；n为设计变量的维数。

(2)Kriging模型

Kriging模型是来源于地质学，结合了工程和统计的一种函数近似方法,具有相当的灵活性，但计算量较大。模型如下：

y(x)=f(x)+Z(x)

(2)

式中y(x)为待定响应；f(x)为多项式函数，是对设计空间的全局近似；Z(x)是均值为0、方差为σ2、协方差非0的随机过程，表示对全局近似的背离。

(3)

式中r(x)为输入x与各样本点{x,x2,…,xn}的相关系数；R为样本点相关矩阵。

r和R的基本元素为相关评估函数。最常用的是高斯相关评估函数。此外，还有自然指数相关评估函数和一般指数相关评估函数。

1.2 气动性能评估方法

由于双椭球模型在高超声速流动中呈现复杂的流场特性，存在三维弓形头激波、二次激波以及三维分离流动、分离激波，是一种具有代表性的高超声速算例，适于数值模拟程序的可靠性验证。

本文利用自研的CFD程序，对文献[28]提供的风洞实验双椭球标模开展数值计算验证。双椭球模型几何外形方程[28]如下：

(1)水平椭球

(2)垂直椭球

(3)上半柱形

(4)下半柱形

基座椭球在x、y、z方向上的半轴长分别为157.90、39.47、65.79 mm，两椭球中心重合，坐标原点设在椭球中心点O。

利用该实验工况马赫4.94、来流温度370 K作为计算来流条件，选用SSTκ-ε模型，对流项离散采用三阶MUSCL格式。图1(a)、(b)将CFD对称面的上表面和下表面的压力分布与文献的实验结果进行了对比。可见，压力变化与实验值接近，说明了自研程序的可靠性。

2 基于代理模型的优化设计

2.1 系统框架

基于常用的气动布局优化设计代理模型构建流程的基础上，本文将基于CFD气动特性分析，构造基于代理模型的气动布局优化流程，如图2所示。具体步骤如下：

(1)使用拉丁超立方抽样(Latin Hypercube Sampling, LHS)的实验设计策略产生一系列设计变量样本点；

(2)选择部分设计样本点，进行CFD计算，获得CFD计算结果；

(3)根据CFD计算结果，得到输入同输出响应集，构建对应的代理模型，并对该近似模型进行可信度验证后，执行优化设计；

(4)获得气动布局优化结果后，利用CFD对优化结果进行验证计算，如结果不能满足精度要求，将其结果用于样本集合和代理模型的优化修正；

(5)验证最优化点的精度，获得合适的外形气动布局结果。

(a)上表面压力

(b)下表面压力

2.2 实验设计

乘波体的设计过程详细生成过程见文献[2, 4]，设计马赫数Ma、长宽比LWR、激波半锥角θ、底部曲线夹角ψ以及二次项系数B，确定乘波体外形。不失一般性，本文将马赫数和长宽比设为固定值，分别为Ma=6和LWR=3，其他的初始设计参数为θ=3.948°，ψ=2.035°，B=0.771。为了获得覆盖较大的设计空间，将激波半锥角、底部曲线夹角、二次项系数将从区间值θ、ψ、B分别设为[0.05°，5°]、[0.05°，5°]、[0.05,0.5]。

为了探索样本集数对代理模型建立的影响，利用LHS方法[19]，分别选择了样本数31、64、91、126生成样本点，构建乘波外形，进行升阻力系数和容积评估。

CFD计算时，将飞行高度H=25 km的大气环境作为计算来流的初始条件，选择理想气体模型，静压为2 549.2 Pa，静温为221.5 K，马赫数为6。根据几何外形左右对称，采用一半计算域，基于结构网格，在靠近乘波体表面对网格进行加密。法向壁面网格y+在1左右。图3给出论文讨论的某典型乘波体外形及计算网格，其他计算网格与其类似。

图2 基于代理模型的优化设计流程Fig.2 Flowchart of surrogate based on the design optimization

(a)乘波体外形 (b)计算网格

3 代理模型评估

描述代理模型精度的方法有很多，本文首先采用均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)：

(4)

此外，为了描述代理模型和气动评估结果之间的相近程度，在本文利用皮尔氏相关系数r-correlation用于该项评估。

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

3.1 升阻比系数代理模型分析

3.1.1 升阻比代理模型精度和相关性评估

图4描述了样本空间中随着样本数的增加，升阻比代理模型的RMSE和r-correlation值的变化情况。其中，水平轴表示取样点数量，纵轴分别表示RMSE和r-correlation值。

由图4(a)可知，当样本数少时，XKG的RMSE值在这4种模型中最低，表示其拟合精度最好，而GKG效果最差；当样本点数量达到126时，EKG是4种代理模型中的RMSE值最接近0，表示其对实际值的拟合精度最高。

由图4(b)可知，与RMSE误差值类似，当样本点最少时，GKG模型的相关性评估是最差，而EKG模型的相关性最好；当样本点为126时，所构建代理模型r-correlation值最接近1的是EKG，表示了该模型和气动评估结果之间的相近程度越好。

由表2可看出，GKG、XKG和EKG的相关性函数系数没有随样本数的增加而明显变化，说明样本数的增加并没有对代理模型的结构产生很大的影响。

总之，针对升阻比系数的代理模型，根据RMSE值和r-correlation的分析，EKG相比与文献中常用的GKG代理模型具有更好的拟合效果，在同样的样本集中能够产生更好的拟合精度。

3.1.2 升阻比代理模型影响因素分析

表3列出了QRS随样本增加其各项系数的变化情况。可明显看出，激波半锥角(β2)系数值最大，说明升阻比代理模型受激波半锥角(β2)影响最大，次之为底部曲线的二次项系数。

为了验证其存在的影响程度，将EKG代理模型的预测值由图5所示。可明显发现，随着激波半锥角的变化，其多峰性明显，表明乘波体升阻性能受激波半锥角的影响波动性强。

总之，由表3和图5可共同发现，乘波体升阻比代理模型的性能明显受激波半锥角的影响，对于该类飞行器的设计有重要影响。

(a)RMSE

(b)r-correlation

表2 升阻比Kriging代理模型系数Table 2 Values of Kriging parameters for lift-to-drag ratio

表3 升阻比二次多项式响应面模型系数Table3 Values of quadratic polynomial regression parameters for lift-to-drag ratio

(a)31 样本 (b)64样本

(c)91样本 (d)126样本

3.2 容积率代理模型

3.2.1 容积率代理模型精度和相关性评估

图6描述随着样本集合中样本数的增加，容积代理模型的RMSE和r-correlation值的变化，同样的水平轴表示样本数，纵轴表示RMSE和r-correlation值。同升阻比代理模型一样，两者的精度是比较接近的，即代理模型用于升阻比和容积两者之间的精确程度类似，两者之间的变化影响程度相当。

由图6(a)可知，同样可发现，当样本点数量少时，GKG性能最差，而EKG和XKG性能较好，RMSE误差值下降很快，但存在波动比较大的问题。同样的当样本点数量达到126时， EKG是4种代理模型中的RMSE值最接近0，其对实际值的拟合精度最高。

如图6(b)所示，当样本点少时，QRS代理模型相比于其他3类具有明显优势，当样本数量增加时，EKG和XKG性能提高很快，但同样存在波动较大的问题。当样本点数量达到126时，EKG相比与其他代理模型具有更好的计算精度，与气动评估值相关性最好。

由表4的系数变化情况，同样可说明样本数的增加并没有对代理模型的结构产生很大的影响。

(a)RMSE

(b)r-correlation

总之，针对容积率代理模型，同样地从RMSE值和r-correlation来看，EKG相比与其他代理模型具有更好的拟合精度。

3.2.2 容积率代理模型影响因素分析

由表5列出了QRS随样本数增加其各项系数的变化情况。可明显看出，激波半锥角(β2)系数值最大，说明容积率代理模型同样受激波半锥角(β2)影响。

图7描述的是GKG代理模型的预测值的变化情况。与升阻比代理模型相比，容积率代理模型受设计参数的影响程度上少一个数量级，但同样可发现，其激波半锥角峰值变化剧烈，表明乘波体容积同样容易受激波半锥角的影响，其对升阻比影响程度更大。

表4 容积率Kriging代理模型系数Table4 Values of Kriging parameters for volumetric efficiency

表5 容积率二次多项式响应面模型系数Table5 Values of quadratic polynomial regression parameters for volumetric efficiency

(a)31样本 (b)64样本

(c)91样本 (d)126样本

4 优化结果和讨论

本文基于上述代理模型的研究结果，采用126个样本点所构建的升阻比、容积率的EKG和GKG代理模型分别作为优化设计的目标函数，选用多目标遗传算法进行优化，优化结果如表6所示。

采用不同的代理模型作为优化目标，可得到当126个样本点生成的EKG模型作为优化目标时，优化升阻比和容积分别为3.122 6与0.848，相比于初始设计结果升阻比2.669和0.278，升阻比提高了16.99%，容积率提高了205.03%；当126个样本点生成的GKG模型作为优化目标时，优化升阻比和容积分别为2.998 3与0.748， 相比于初始设计值，升阻比提高了12.33%，容积率提高了127.33%。

在同样的构建样本下，采用一样的优化算法，初始参数也相同的情况下，EKG模型得出优化结果比GKG的好。由此也可说明，在乘波体优化设计中，EKG代理模型对峰值的拟合上，相比于文献中常用的GKG模型精度上更高。

表6 优化设计结果Table6 Optimization results

5 结论

(1)在乘波体优化设计过程中，EKG相比于QRS、GKG和XKG的拟合精度较高，能够产生了更佳的拟合效果。

(2)随着样本数的增加，4种代理模型的拟合精度也越好，但其对乘波体升阻力和容积率代理模型结构影响较小。

(3)基于本文研究结论，采用EKG模型，实现基于代理模型的多目标气动布局优化方法，优化结果与初始设计升阻比提高16.99%，容积率提高了205%。

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(编辑：吕耀辉)

Surrogate models characteristic analysis and optimization for waverider aerodynamic design

JI Ting-wei1,2，WANG Yin-zhu1,2，ZHANG Ji-fa1,2，ZHANG Shuai1,2

(1.School of Aeronautics and Astronautics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China；2.Center for Engineering and Scientific Computation, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

The surrogate modes have been wildly implemented in aerodynamic shape optimization. It is a fundamental problem to analyze the characteristic of surrogate modes for aerodynamic shape optimization. Four different surrogate models including a quadratic response surface and three Kriging surrogates were constructed based on the values of lift-to-drag ratio and volumetric efficiency responses. The structure of the various surrogate modes was investigated and the main differences were addressed. The Kriging surrogate based on exponential correlations produced a relatively better overall performance. The multi-object evolutionary genetic algorithm was applied to obtain the optimum design based on the surrogates for these two objectives. The two Kriging surrogate based on Exponential correlations and Gaussian correlations were selected and used in the optimization process. The results shows that the Kriging surrogate based on exponential correlations produces a better result for peak value.

surrogate mode；aerodynamic shape optimization；waverider configuration；aircraft conceptual design；multi-objective optimization

2015-01-21；

：2015-03-07。

国家自然科学基金(11102184)。

季廷炜(1982—)，男，助理研究员，主要从事飞行器优化设计方法研究。E-mail:zjjtw@zju.edu.cn

张帅，男， 副教授。E-mial: shuaizhang@zju.edu.cn

V211.5

A

1006-2793(2015)04-0451-07

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.04.001