连续鞅论在期权定价中的应用研究

周一美，王志福，田俊杰，杨 影，刘佳瑞

(渤海大学数理学院，辽宁锦州 121013)



连续鞅论在期权定价中的应用研究

周一美，王志福，田俊杰，杨 影，刘佳瑞

(渤海大学数理学院，辽宁锦州 121013)

本文运用连续鞅论的相关知识对经典的期权定价公式——B-S公式进行推导。首先通过介绍B-S公式所需要的7种假设条件来得到无风险证券B(t)及普通股票S(t)的表达式，其次通过介绍Girsanov定理，并在鞅方法的运用中应用此定理，通过两步进行推导，最后得出含有正态分布的B-S公式。

布朗运动；Girsanov定理；标准正态分布；B-S公式

近年来，连续鞅论在期权中的应用得到广泛的关注。国内学者邵宇提出通过鞅方法可以推导出期权定价中的关系式，并提出在运用B-S公式时需要的假设条件和工具.在早些年前，国外的学者Harrison J.M.和D.M. Kreps也在多期市场的套利与鞅的问题上进行了分析.本文将二者的研究结论作进一步的结合和推导，最后通过已知方法得出B-S公式.

1 B-S公式的假设条件和Girsanov定理

B-S公式即Black-Scholes公式，是期权定价的核心理论.该理论的运作机制是通过求解Black-Scholes偏微分方程，从而导出定价公式.

Black-Scholes公式需要以下几种假设：(1)市场中允许卖空证券，没有交易费用、税收和保证金；(2)没有股利支付；(3)无风险利率r为常数且固定的，投资者可以此利率无限制的存款或贷款；(4)不存在无风险套利机会；(5)信息结构是由布朗运动产生的，Ft=σ(Os，s≤t)，t∈[0，T]；(6)证券高度可分，交易连续；(7)市场上长期存在两种证券，分别为无风险证券B(t)以及普通股票S(t).

B(t)的价值过程为

dB(t)=rB(t)dt，t∈[0，T].

(1)

S(t)的价值过程遵循几何布朗运动

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dO(t)，t∈[0，T].

(2)

其中，μ为平均收益率，σ为波动率，O(t)为标准布朗运动，T为期权到期时刻.

通过求解(1)，(2)得到

B(t)=ert.

定理1 (Girsanov定理)

2 利用鞅方法推导B-S公式

利用鞅方法推导B-S公式大致分为两个步骤.

2.1 步骤一，将贴现后的风险资产价格转变成鞅

将无风险证券B(t)作为标准化证券，令

或者

de-rtS(t)=e-rt(μ-r)S(t)dt+e-rtσS(t)dO(t).

设O(t)的分布函数为P，定义为

用它乘以密度函数得到新测度Q并满足：

定义一个Ft-适应的随机过程：

(3)

2.2 步骤二，在Q下计算贴现后的期权价格

根据定价原理，任意一有消费(或者有权益证券)的价格都是一个Q鞅，即

c(t)=e-r(T-t)EQ[c(T)|Ft] .

将c(T)=[S(T)-K]+=max(S(T)-K, 0) 代入上式，得到

c(t)=EQ{e-r(T-t)[S(T)-K]+|Ft}.

(5)

故(5)可以化为

(6)

式(6)可化为

令

则

其中，F(.)为标准正态分布函数，则

[1]邵宇.微观金融学及其数学基础[M].北京:清华大学出版社有限公司,2003:240-243.

[2]胡迪鹤.随机过程论[M].武汉:武汉大学出版社,2005:360-410.

[3]BlackF,ScholesM.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973(81):637-659.

[4]HarrisonJM,KrepsDM.MartingalesandArbitrageinMultiperiodSecuritiesMarkets[J].JournalofEconomicTheory,1979(20):381-408.

Continuous Martingale Research in Option Pricing

ZHOU Yi-mei，WANG Zhi-fu，TIAN Jun-jie，YANG Ying，LIU Jia-rui

(School of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou Liaoning 121013, China)

In this paper, we use the relevant knowledge of continuous time martingale theory of classical to derive B-S formula. First, through the introduction of B-S formula require 7 kinds of assumptions to get risk-free securitiesB(t) and common stockS(t) in the expression. Next, through the introduction of Girsanov theorem to apply this theorem in the application of martingale method. Through two steps, B-S formula with normal distribution is obtained.

Brown movement; Girsanov theorem; standard normal distribution; B-S formula

2015-07-04

国家自然科学基金(11671070)。

周一美(1990- )，女，辽宁兴城人，渤海大学数理学院硕士研究生，从事应用概率统计研究。

O211.9

A

2095-7602(2015)10-0017-03