基于SEA柔性驱动的动力学模型频域特性研究*

□ 王存堂 □ 任 飞 □ 谢方伟 □ 张 兵

江苏大学机械工程学院 江苏镇江 212013

柔性驱动技术是目前机器人行业亟需解决的一个难题[1]。在康复机器人领域，国内外开发的传统驱动器主要以集成伺服电机的刚性驱动为主，整体柔性不足，在使用过程中极易造成二次伤害。将柔性驱动技术应用于康复机器人领域，可以满足机器人低能耗运动、柔顺化动作、自调整接触等仿人性要求。面对这些问题，MIT的Pratt[2]研发出利用弹簧特性来设计出一种具有仿肌特征的串联弹性驱动器（SEA）。基本SEA结构的特点就是在驱动源和负载之间串联一个弹簧，从而实现精确的力控制，该驱动器具有较低的力输出阻抗、摩擦因数和适当的控制带宽。哈尔滨工程大学的马洪文[3]等人在SEA弹性元件中加入阻尼环节，可以更好地模拟人体肌肉变刚度[4]的特性。

SEA作为一种具有仿生弹性驱动的力输出装置[5]，可以提高康复机器人对人类受损肢体的柔顺性和安全性，克服人机交互过程中的问题。SEA中弹性组件一方面可以抵抗高冲击载荷，实现储存和释放能量；另一方面可通过控制形变量来实现力输出。由于SEA具备上述优点，目前在康复、助力以及工业机器人上的应用日益广泛[5]。近年来，许多研究人员开始关注SEA，在对SEA的动力学模型方面做出了大量分析。但还存在以下两个问题：①忽略电器元件造成的一些因素，动力学模型太简化，对位置源控制方法探讨不足；②针对各种控制方法，在康复机器人方面，SEA的低阻抗特性要求和驱动带宽之间呈反向关系。

由于在SEA中驱动源伺服电机可以对速度、位置精度进行准确控制[5]，同时可以通过闭环反馈将电信号转化成转矩和转速以驱动控制对象。因此按目前控制方式分类，SEA动力学模型可分成两类：位置源或速度源和力源模型[2]，即将电机或液压缸看作理想的位置或速度、以及力输出源，来控制SEA输出端的速度或位移以及输出力。笔者分别建立基于位置源和力源的两种SEA动力学模型，比较其各自在稳定性、快速性和力输出带宽等方面的优缺点。

1 基于位置源控制的SEA动力学模型

基本的SEA模型如图1所示，该模型是在负载和驱动源间串联一组弹性元件[6]。

位置源控制法是指通过内部反馈控制电机的位移输出[7]，来控制输出端的位移、速度、输出力，如图2所示。由图2可知，简化位置源控制法中内部反馈PID控制环节，SEA位置源模型如图3所示。

图3中：fd为给定信号；fl为负载输出力信号；fe为偏差信号；xd为中间位移变量；ke为积分环节的比例增益；T为惯性环节的时间常数；xa为等效质量的位移；vs为相对位移速度；xl为负载位移；ks为弹簧刚度系数；cs为黏滞阻尼系数；ml为负载质量；PID控制参量分别为比例增益kp、积分因子ki、微分因子kd；s为拉普拉斯因子。

图1 基本SEA 模型

图2 位置源SEA动力学模型

▲图3 SEA位置源动力学简化模型

经 Laplace 变换后，由式（1）、（2）、（3）可得：

为方便分析，不妨先假定驱动器输出端位移为0，即Xl=0。系统开环传递函数为：

分析该系统的闭环传递函数，对于单位负反馈系统有：

经PID控制后驱动位移为：

经Laplace变换后，式（7）变成：

固定负载输出端，即Xl=0，该系统的闭环传递函数为：

式中：C3=kecskd；D3=kecskd+T；C2=ke（cskp+kskd）；D2=1+ke（cskP+kskd）；C1=ke（cski+kskP）；D1=ke（cski+kskP）；C0=kekski；D0=kekski。

1.1 基于位置源控制的开环频率特性下对闭环系统的分析

1.1.1 不同cs对系统稳定性的作用

设计参数：弹簧刚度ks=2 N/mm，积分环节放大增益ke=0.05，惯性环节时间常数T=2，当阻尼器的阻尼系数 cs分别取 0.01 N·s/mm、0.1 N·s/mm、1 N·s/mm、2 N·s/mm、5 N·s/mm 和 10 N·s/mm 时，分析系统稳定性的变化规律。

根据开环传递函数式（5），分别采用频域分析法中Nyquist判据和Bode判据[8]来分析系统的稳定性。而该系统方程的特征根为：s1=0，s2=-0.5。 该系统在[s]即为横、纵轴平面右半平面内无极点，为最小相位系统。绘制不同cs的Nyquist图和Bode图，如图4和图5所示。

▲图4 开环Nyquist图（位置源、cs）

▲图5 开环Bode图（位置源、cs）

由图4可知：①根据Nyquist判据可知，该闭环系统稳定；②该系统奈氏曲线与单位圆相交，均位于虚轴的右侧，幅值裕度均较大。

随着cs增大，各频率特性曲线越来越远离（-1，j0）点。所以稳定性越来越好，且相位裕度在增大。

由图5可知：①由Bode判据可知，该闭环系统是稳定的，与之前分析的奈氏曲线相一致；②在Bode图中，随着cs增大，相角曲线与-180°线无交点且距离越来越远。

该系统在不同cs下幅值裕度均趋于无穷大，相位裕度与cs成正比关系，当cs较大时，系统稳定性更好。

1.1.2 不同ks对系统稳定性的作用

设计参数：cs=0.1 N·s/mm，ke=0.05，T=2，当 ks分别取 0.05 N/mm、0.1 N/mm、1 N/mm、2 N/mm、5 N/mm 和10 N/mm时，分析系统稳定性的变化规律。

根据该系统方程特征根为：s1=0，s2=-0.5。绘制不同ks的Nyquist图和Bode图，如图6和图7所示。

▲图6 开环Nyquist图（位置源、ks）

▲图7 开环Bode图（位置源、ks）

由图6可知：①根据Nyquist判据可知，该闭环系统也是稳定的；②该奈氏曲线也都与单位圆相交，均位于虚轴的右侧，系统幅值裕度均较大。

但随着ks增大，各频率特性曲线越来越靠近（-1，j0）点。这说明系统稳定性变差，且相位裕度有减小的趋势。

由图7可知：①根据Bode判据可知，该闭环系统稳定，与图6相一致；②随着ks增大，相位曲线与-180°线无交点且距离越来越近。

因此，该系统在不同ks下幅值裕度均趋于无穷大，而相位裕度与ks成反比关系，即当ks较小时，系统具有更好的稳定裕度。

1.2 基于位置源控制的闭环频率特性指标分析

1.2.1 不同cs对系统稳定性的作用

设计参数：kP=25，ki=2，kd=0，其它变量不变。 当 cs分别取 0.01 N·s/mm、0.1 N·s/mm、1 N·s/mm、2 N·s/mm、5 N·s/mm和10 N·s/mm时，分析系统稳定性的变化规律。当cs不同时，该系统闭环频率特性的谐振峰值Mr、谐振频率 ωr及频宽 ωb见表 1。

表1 位置源闭环频率特性指标（cs）

由表 1 可知，该闭环系统的 Mr、ωr、ωb随 cs增大的变化规律为：①当该cs较小时，其Mr较小，对应于其时域指标则阶跃响应时基本无超调量，而当cs较大时，Mr均随cs的增大有略微减小的趋势；②随cs的增大，ωr几乎没有变化，而ωb都在不断增大，系统响应速度加快，输出复现精度也越高。

1.2.2 不同ks对系统稳定性的作用

设计参数：kP=25，ki=2，kd=0，其它参量不变。 当 ks分别取 0.05 N/mm、0.1 N/mm、1 N/mm、2 N/mm、5 N/mm和10 N/mm时，分析系统稳定性的变化规律。当ks不同时，该系统闭环频率特性的Mr、ωr及ωb见表2。

表2 闭环频率特性指标（ks）

由表 2 可知， 该闭环系统的 Mr、ωr、ωb随 ks的变化规律为：①当该系统ks较小时，其对数幅频特性曲线中出现相对较大的Mr；②随着ks的增大，其中ωb具有急剧增大的趋势，瞬态响应速度变快，过渡的上升时间越长，因此采用位置源控制法时应尽量去选择较小的ks。

综上所述，对于位置源控制法（其它变量不变），随着ks增大，系统稳定性下降，而响应速度变慢，输出复现精度变低，高频噪声信号被滤掉。随着cs增大，系统稳定性逐步增大，响应会越明显加快，输出复现精度越来越高。

2 基于力源控制的SEA动力学模型

图8中fa为PID输出力信号，m为传动装置等效质量，ca为电机等效阻尼，ml为负载质量，v为等效质量的速度，vl为负载速度，（其它变量与图3相同）。

经Laplace变换可得：

▲图8 SEA力源动力学简化模型

固定输出端负载，即Xl=0，则该系统的开环传递函数为：

同理基于位置源控制，考虑PID控制，该闭环传递函数为：

式 中 ：E3=kdcs；F3=kdcs+m；E2=kPcs+kdks；F2=cs+ca+kPcs+kdks；E1=kics+kskP；F1=kics+kskP+ks；E0=kiks；F0=kiks。

2.1 基于力源模型的开环频率稳定性下对闭环系统的分析

2.1.1 不同cs对系统稳定性的作用

设计参数：m=1.5 kg，ks=2 N/mm，ca=0.5 N·s/mm。当 cs分别取 0.01 N·s/mm、0.1 N·s/mm、1 N·s/mm、2 N·s/mm、5 N·s/mm 和 10 N·s/mm 时， 分析系统稳定性的变化规律，当该系统取不同cs时，其开环函数的特征根见表3。

表3 力源开环函数特征根（cs）

因此该系统的开环函数特征根均具有负实部，即在[s]右半平面内无极点存在。

绘制不同cs下该系统开环传递函数的Nyquist图和Bode图，如图9和图10所示。

由图9可知：①根据Nyquist判据可知，该闭环系统稳定；②不同cs的奈氏曲线均与负实轴没有交点，说明幅值裕度均趋于无穷大。

随cs增大，该系统开环奈氏曲线距离实轴上（-1，j0）点越来越远，说明稳定性逐渐增强。

由图10可知：①各对数相频曲线均与-180°线无交点，与在Nyquist图中分析得到的相一致，即幅值裕度较好；②随着cs增大，各相频曲线在低频段均越来越逼近0°线，说明相位裕度越来越好，而在高频段均呈现 -90°的相位滞后现象；③当cs较小时，对数幅频特性图中出现较为明显的Mr，所以cs较小时系统稳定性较差。

2.1.2 不同ks对系统稳定性的作用

设计参数：m=1.5 kg，ca=0.5 N·s/mm，cs=0.1 N·s/mm。 当 ks分别取 0.05 N/mm、0.1 N/mm、1 N/mm、2 N/mm、5 N/mm和10 N/mm时，分析系统稳定性的变化规律，当该系统取不同ks时，其开环特征根见表4。

表4 力源开环函数特征根（ks）

▲图9 开环Nyquist图（力源、cs）

▲图10 开环Bode图（力源、cs）

根据该开环特征根均具有负实部，则在[s]右半平面内无极点。绘制不同ks下系统开环传递函数的Nyquist图和Bode图，如图11和图12所示。

由图11可知：①根据Nyquist判据可知，该闭环系统稳定；②不同ks的奈氏曲线均与负实轴没有交点，这说明幅值裕度均趋于无穷大。

随着ks增大，该系统开环奈氏曲线距离实轴上（-1，j0）点越来越近，说明稳定性逐渐减弱，即ks大时系统稳定性较差。这说明ks和cs对系统稳定性的影响是反向的。

由图12可知：①由于在对数相频特性图中，各曲线均与-180°线没有交点，与在奈氏图中分析得到的相一致，即幅值裕度较好；②随ks增大，各相频特性曲线在低频段均越来越逼近0°线，说明相位裕度好，而在高频段均呈现-90°的相位滞后现象；③当ks较大时，对数幅频特性图中出现较为明显的Mr。

2.2 基于力源控制的闭环频域特性指标分析

2.2.1 不同cs对系统稳定性的作用

设计参数： m=1.5 kg，ks=2 N/mm，ca=0.5 N·s/mm，kP=25，ki=2，kd=0。 当 cs分别取 0.01 N·s/mm、0.1 N·s/mm、1 N·s/mm、2 N·s/mm、5 N·s/mm 和 10 N·s/mm 时，分析系统稳定性的变化规律。当cs不同时，该系统闭环频率特性的 Mr、ωr及 ωb见表 5。

▲图11 开环Nyquist图（力源、ks）

▲图12 开环Bode图（力源、ks）

表5 力源闭环频率特性指标（cs）

随着cs增大，该系统谐振峰值逐渐减小至几乎没有，说明稳定性逐渐增强。同时，频宽也越来越大，表明：系统的响应速度加快，高频信号也能保证较低的失真度，而谐振频率逐渐减小说明系统的瞬态响应速度变慢。

2.2.2 不同ks对系统稳定性的作用

设计参数： m=1.5 kg，cs=0.1 N·s/mm，ca=0.5 N·s/mm，kP=25， ki=2， kd=0。 当 ks分别取 0.05 N/mm、0.1 N/mm、1 N/mm、2 N/mm、5 N/mm 和 10 N/mm 时， 分析系统稳定性的变化规律。当ks不同时，该系统闭环频率特性的 Mr、ωr及 ωb见表 6。

表6 力源闭环频率特性指标（ks）

随着ks增大，该系统的Mr逐渐增大，说明稳定性逐渐减弱。同时，ωr和ωb也越来越大，表明：系统瞬态响应速度加快，高频信号也能保证较低的失真度。据上分析，对于力源模型而言，通过增加ks，系统稳定性减弱；但是响应速度和瞬态速度均加快，高频信号也能保证较低的失真度。

3 结论

基于SEA柔性驱动的动力学模型稳定性分析，对机器人的柔顺控制具有一定的实践指导意义。通过对比分析两种模型，得到结论如下。

（1）稳定性方面，力源＞位置源。

（2）ks和cs不仅会显著影响系统稳定性而且会影响其力输出带宽、幅相频率特性，同时为保证SEA的柔性，选择合适参数是非常重要的。

（3）与位置源控制法相比，力源控制法具有较大的力输出带宽。

（4）与力源控制法相比，位置源的幅值相位特性表现也不是很理想，主要原因是由于位置源模型是通过内部反馈来控制电机位移的，容易忽略等效质量对稳定性的影响，其固有模型误差较大。

总之，在合理条件下，SEA的控制方式应优先选择力源控制法。

[1]盖玉先，刘伟颖.助行腿膝关节的串联弹性驱动器系统设计[J].机械设计与制造，2014（9）：33-36.

[2]Pratt G A.Series Elastic Actuators [C].IEEE/RZJ International Conference on Intelligent Robot and System.USA，Pittsburgh，1995.

[3]赵朋.串联弹性驱动器动力学模型及其特性分析[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2012.

[4]马挺，郭险峰.外骨骼机器人柔性变刚度驱动器设计[J].科技资讯，2014（35）：65-69.

[5]何福本，梁延德，孙捷夫，等.基于SEA的机器人仿肌弹性驱动关节研究[J].中国机械工程，2014（7）：900-905.

[6]Lens T，von Styko O.Safety Properties and Collision Behavior of Robotic Arms with Elastic Tendon Actuation[C].7th German Conference on Robotics （ROBOTIK），Munich，2012

[7]殷跃红，尉忠信，朱剑英.机器人柔顺控制研究[J].机器人，1998，20（3）：73-81.

[8]彭瑞珍，董海棠.控制工程基础[M]，北京：高等教育出版社，2010.

（编辑 平 平）

不断创新，保持领先——山高刀具2015-2秋季新品闪亮发布

今年秋季，山高扩展了多个广受欢迎的产品系列，包括Combimaster、Jabro-Solid2、Minimaster Plus 新 小 魔 王 、Steadyline 刀 头 、Threadmaster 丝 锥 和Precimaster Plus。

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新一代Precimaster·Plus铰刀

山高推出的两种全新刀杆设计可提供浮动和可调性，从而实现充分优化的高精度铰削加工。作为Precimaster Plus转位刀头铰削系统的接长杆，全新的PMX-FL和PMX-AD刀杆大大改善了孔表面粗糙度，消除了跳动量并纠正了偏差，并且无需使用专用刀柄。山高全新的刀杆采用了适用于此类功能的紧凑内部系统，因而无需使用专用刀柄即可提供浮动和可调性功能。相比专用刀柄，新刀杆还可使铰刀更靠近机床主轴头，从而减少刀具悬伸量。

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