分类讨论思想
2015-04-16 13:29方志平
数学教学通讯·初中版 2015年3期
方志平
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类.分类讨论时，应该从所研究的具体问题出发，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，科学地分类，把它们不重不漏地划分为若干类别，再逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，最后综合给出结论
分类是人类认识世界、改造世界的科学行为. 分类形成一种数学思想，在数学活动中，分类讨论的思想好比指南针，它给我们指明了方向.
分类讨论的基本原则：①对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”；②在同层次讨论中只能按所确定的一个标准进行；③对多级讨论，应逐级进行，不能越级.
下面列举数例谈谈分类讨论的解题策略，从中体悟分类讨论的解题思想，供大家参考.
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由概念内涵引起的分类讨论
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所有数学概念都有其明确的内涵，在解决问题的过程中，凡是涉及相关的概念问题，当不能直接解答时，一般都应以所定义的概念来进行分类讨论，讨论时要注意概念所受的限制条件.
例1 函数y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大 ，则a的值是________.
思路点拨 欲求指数函数y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值，需要先确定底数a与1的大小，所以需要分a>1和0 破解 当a>1时，y=ax在[1，2]上递增，故a2-a= ，得a= ； 当0 故a= 或a= . 例2 设k为实常数，问：方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）·（k-4）表示的曲线是何种曲线？ 思路点拨 很显然，k的取值决定了方程的形式，进而影响了方程所表示的曲线，故需对k进行分类讨论. 破解 方程表示何种曲线主要取决于k的取值，可对k分以下三种情形讨论： （1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示y轴. （2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示x轴. （3）当k≠4且k≠8时，方程变为 + =1，又有以下五种情形： ①当k<4时，方程表示中心在原点，焦点在y轴上的双曲线； ②当4 ③当k=6时，方程表示圆心在原点，半径为 的圆； ④当6 ⑤当k>8时，方程表示中心在原点，焦点在x轴上的双曲线. 1. 设命题p：函数f（x）=a- 是R上的减函数；命题q：函数f（x）=x2-4x+3在[0，a]上的值域为[-1，3]. 若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围. 2.已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E，F，G分别在BC，CD，DA上移动，且 = = ，P为GE与OF的交点（如图1），是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 图1 ------------------ 由公式限制引起的分类讨论 --------------------- 有些定理、公式、运算法则在不同的条件下有不同的形式，如数列通项及其前n项和公式、方根性质等，因此在解题时一般要分类讨论. 例3 数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}是各项均为正数的等比数列，试比较 与an+1的大小，并证明你的结论. 思路点拨 由于等比数列{Sn}的通项形式受到公比q的影响，于是第一层需对主要变量q分类讨论，即分q=1和q>0且q≠1讨论；由于数列{an}的通项公式是分段的，于是第二层需对n分类讨论，即分n=1和n≥2讨论；在q>0且q≠1，同时n≥2的情况下， 与an+1差值的正、负与q有关，于是第三层需对q进一步分类讨论，即分q>1和0 破解 设Sn=S1qn-1（其中S1>0，q>0），则可得an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，即an=S1，n=1，S1（q-1）qn-2，n≥2？摇. （1）当q=1时，a2=a3=…=an=0（n≥2），①当n=1时， >an+1；②当n≥2时， =an+1. （2）当q>0且q≠1时， ①当n=1时，由已知得 -a2= -S1（q-1）= S1·q- + >0，所以 >a2. ②当n≥2时，由已知得 -an+1= [S1·（q-1）qn-2+S1（q-1）qn]-S1（q-1）qn-1= S1qn-2（q-1）3，若q>1，则 >an+1；若0 1. 求数列{（2n-1）an}的前n项和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an. 2. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，n为奇数，2n，n为偶数，且数列{an}的前n项和为Sn，求S11，并求Sn的表达式. ------------------ 由参数变化引起的分类讨论 --------------------- 数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而需要对参数进行分类讨论.
例4 设a<1，集合A={x∈Rx>0}，B={x∈R2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B.
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点.
思路点拨 求解第（1）问的关键是求出集合B中的不等式，因其含有参数，在用判别式法时需对参数进行分类讨论；第（2）问的求解思路同第（1）问如出一辙，同样需要对参数进行分类讨论.
破解 （1）考虑不等式2x2-3（1+a）x+6a>0的解，因为Δ=[-3（1+a）2]-4×2×6a=3（a-3）（3a-1），且a<1，所以可分以下三种情况：
（i）当 （ii）当a= 时，Δ=0，此时B={xx≠1}，D=（0，1）∪（1，+∞）. （iii）当a< 时，Δ>0，此时2x2-3（1+a）x+6a=0有两根，设为x1，x2，且x1 ①当0 ②当a≤0时，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2>0，此时D=（x2，+∞）. 综上，当 x1= ，x2= . （2）f ′（x）=6x2-6（1+a）x+6a. 令f ′（x）=0可得6（x-a）（x-1）=0. 因为a<1，所以f ′（x）=0有两根m1=a和m2=1，且m1 ①当 所以f（x）在D内有极小值点1，极大值点a. ②当a= 时，D=（0，1）∪（1，+∞），此时f ′（x）=0在D内只有一根m1=a= ，列表可得： 所以f（x）在D内只有极大值点a，没有极小值点. ③当0 所以f（x）在D内只有极大值点a，没有极小值点. ④当a≤0时，D=（x2，+∞），此时x >1，于是f ′（x）在D内恒大于0， f（x）在D内没有极值点. 综上，当 1. 解不等式 >0a为常数，a≠- . 2. 已知函数f（x）=ax3- x2+1（x∈R），其中a>0. （1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （2）若在区间- ， 上， f（x）>0恒成立，求a的取值范围. ------------------ 由图形不定引起的分类讨论 --------------------- 当图形的位置或形状不确定时，需要进行分类讨论，例如某些函数在不同的区间上有不同的图象特征，某些立体几何不同的展开方式，圆锥曲线的类型或焦点位置不确定，点、线、面的位置不确定等. 解决此类问题时，一定要分析所有可能的位置关系，避免漏解. 例5 如图2，四边形ABCD为矩形，且AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面ABCD，问：BC边上是否存在一点Q，使得PQ⊥QD？说明理由. 图2 思路点拨 BC边的长短影响几何图形的形状，从而影响PQ与QD的位置关系，对BC边长a取值的分类讨论，体现了转化与化归思想，把点的个数问题化归为一元二次方程根的讨论问题. 破解 连结AQ，由于PA⊥平面ABCD，若PQ⊥QD，则AQ⊥QD. 设BQ=x，则QC=a-x，AQ= ，DQ= . 在Rt△AQD中，x2+1+1+（a-x）2=a2，整理得x2-ax+1=0. 因为a>0，又Δ=a2-4. （1）当a2-4=0，即a=2时，BC边上有且只有一点，满足PQ⊥QD，此时BQ=1，即Q为BC的中点. （2）当a2-4>0，即a>2时，BC边上存在两点，使得PQ⊥QD，此时BQ= . （3）当a2-4<0，即0 1. 已知线段AB在平面α外，A，B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为_______. 2. 求圆锥曲线 + =1的焦距，其中m≠0，m≠1. ------------------ 由题设条件引起的分类讨论 --------------------- 问题中的条件是分类给出的，在求解过程中由于受题设条件的限制，统一表达不方便，而变换需要突破这些限制条件时，常引起分类讨论. 例6 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
（1）求第n年初M的价值的表达式；
（2）设An= ，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新，证明：需在第9年初对M更新.
思路点拨 本题限制条件明显，而且条件是分类给出的，因此对变量n的分类讨论是自然合理的，也是必要的.
破解 （1）当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为10的等差数列，an=120-10（n-1）=130-10n.
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为 的等比数列，又a6=70，所以an=70× .
因此，第n年初，M的价值an的表达式为an=130-10n，n≤6，70× ？摇 ，n≥7？摇.
（2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得：
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n；当n≥7时，Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+ =780-210× ，An= .
显然{An}是递减数列，又
A8= =82 >80，A9= =76 <80，
所以需在第9年初对M更新.
1. 有4个标号为1，2，3，4的红球和4个标号为1，2，3，4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排. 若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是________.
2. 2010年云南遭受历史罕见的旱灾后，本省各市纷纷采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量a m3时，只付基本费8元和每户每月定额排污费c元；若用水量超过a m3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每立方米付b元的超额费. 已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
根据以上规定，解决如下问题：
（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x m3的函数关系式；
（2）试分析该家庭一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求a，b，c的值.
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参考答案
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1 由概念内涵引起的分类讨论
1. 若p为真，则0 综上可得，实数a的取值范围是 2. 设 = = =k（0≤k≤1），则E（2，4ak），G（-2，4a-4ak），F（2-4k，4a），直线GE：y-4ak=（2ak-a）（x-2），直线OF：y= x.令P（x，y），则由直线OF与GE的方程消去参数k，得点P的坐标满足方程 + =1. 由于出现参数a，下面加以讨论： 当a2= 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当a2≠ 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长， 当a2< 时，点P到椭圆两个焦点- ，a， ，a的距离之和为定值 ； 当a2> 时，点P到椭圆两个焦点0，a- ，0，a+ 的距离之和为定值2a. 2 由公式限制引起的分类讨论 1. 若a=0，则Sn=0. 若a=1，则Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2. 若a≠0且a≠1时，Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an ①； 两边同时乘以a，得：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）a ②. 将①式减去②式可得：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-（2n-1）a = -（2n-1）a -a. 所以Sn= - . 综上可得，当a=0时，Sn=0；当a=1时，Sn=n2；当a≠0且a≠1时，Sn= - . 即Sn=n2，a=1， - ，a≠1. 2. 因为an=2n+1，n为奇数，2n，n为偶数，所以S11=3+22+7+24…+（2×9+1）+210+（2×11+1）=（3+7+…+23）+（22+24+…+210）= + =78+1364=1442. 由上面的求解可知，数列{an}的奇数项构成公差为4的等差数列，偶数项构成公比为4的等比数列. 所以当n为偶数时，Sn=（3+7+…+2n-1）+（22+24+…+2n）= + = + ；当n为奇数时，Sn=（3+7+…+2n+1）+（22+24+…+2 ）= + = + . 综上可得：Sn= + ，n为奇数， + ，n为偶数. 3 由参数变化引起的分类讨论 1. 当2a+1>0时，a>- ；当-4a<6a时，a>0. 所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，（x+4a）（x-6a）>0，解得x<-4a或x>6a； 当a=0时，x2>0，解得x≠0； 当- 当a<- 时，（x+4a）（x-6a）<0，解得6a 综上所述，当a>0时，x<-4a或x>6a；当a=0时，x≠0；当-
2. （1）当a=1时， f（x）=x3- x2+1，所以f（2）=3且f ′（x）=3x2-3x，所以f ′（2）=6，所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3= 6（x-2），即y=6x-9.
（2）f ′（x）=3ax2-3x=3axx- ，令f ′（x）=0，解得x=0或x= . 以下分两种情况讨论：
①若0 当x∈- ， 时， f（x）>0等价于 f- >0， f >0，解不等式组得-5 ②若a>2，则0< < ，当x变化时， f ′（x）， f（x）的变化情况如下表： 当x∈- ， 时， f（x）>0等价于 f- >0， f >0，解不等式组得 综合①和②，可知a的取值范围为0 4 由图形不定引起的分类讨论 1. 分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案为1或2. 2. 当m<0时，方程表示双曲线 - =1，其中a2=m2，b2=-m，所以c2=m2-m. 故该圆锥曲线的焦距为2 . 当m>0时，该圆锥曲线表示椭圆，但有的同学直接就认为焦点在x轴上了，这其实是错误的. 因为m2和m的大小还没有确定，所以焦点到底在哪个轴也不能确定，因此我们还得比较m2和m的大小，才能下结论. 当m>0且m≠1时，方程表示椭圆. 若m2 5 由题设条件引起的分类讨论 1. 若取出的球的标号为1，2，3， 4，则共有C12C12C12C12A44=384种不同的排法；若取出的球的标号为1，1，4， 4，则共有A44=24种不同的排法；若取出的球的标号为2，2，3，3，则共有A44=24种不同的排法. 由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384+24+24=432. 2. （1）根据题意可知水费与用水量是一个分段函数的关系式，设每月用水量为x m3，支付费用为y元，则y=8+c，0≤x≤a，8+b（x-a）+c，x>a. （2）由题意知0
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