基于卷积因子修正的敏度过滤方法

周利明，傅晓锦,2

(1.上海理工大学 机械工程学院，上海 200093)

(2.上海电机学院 机械学院，上海 200245)

基于卷积因子修正的敏度过滤方法

周利明1，傅晓锦1,2

(1.上海理工大学 机械工程学院，上海 200093)

(2.上海电机学院 机械学院，上海 200245)

在变密度法拓扑优化中，敏度过滤是常用的消除数值不稳定的方法之一，但是敏度过滤容易引起模糊边界的产生，为此提出了一种基于卷积因子修正的敏度过滤方法，这种方法通过加强中间单元敏度、减少周边单元敏度的手段，抑制了模糊边界的产生。利用柔度最小化的算例，讨论了这种方法对优化结果的影响，结果证实，此方法可以克服边界模糊和消除棋盘格现象。

敏度过滤；插值模型；模糊边界；权重因子

拓扑优化是指如何在一个固定的设计域内，控制材料的分布来获得最好的结构，这种方法首先被人们应用在机械设计中，但之后很快被拓展到很多与物理息息相关的领域里，如流体、电子等领域。该方法建立在不断地分析和设计步骤更新的基础之上。根据优化对象的不同，拓扑优化可以分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化。然而在连续体拓扑优化过程中，往往伴随着数值不稳定现象，如存在网格依赖性、发生棋盘格现象或出现局部极值等。在拓扑优化理论的研究进程中，寻找解决数值不稳定现象的办法一直是重要的研究方向，不少学者给出了解决数值不稳定性的方法，归纳起来可以粗略地分为3类：(1)网格过滤方法，通过构建敏度过滤来实现，如敏度过滤[1]、密度过滤方法[2]。(2)添加约束的方法，常见的方法有周长约束方法[3]、整体梯度控制法[4]、局部梯度方法[5]等。(3)其他方法，如微波参数控制方法[6]、水平集方法[7]等。网格过滤方法是当前研究中最流行的方法，因为其编程容易实现、效率高。

敏度过滤方法的原理是：在设计域内，目标函数的敏度值按照距离加权的方式来改变，就会使得敏度值较低的单元在距离加权后，敏度值变小，这样保证了部分区域内的密度值不会剧烈变化，达到了解决数值不稳定的目的。但这种方法的优化结果极易出现大量的灰度单元，造成边界模糊现象。

为了克服敏度过滤方法带来的边界扩散问题，本文提出了一种基于卷积因子修正的敏度过滤方法，通过引入非线性的卷积因子，加强中间单元敏度权重，减小周边单元敏度权重，抑制了模糊边界的产生，同时有效地消除棋盘格现象，得到了较为清晰的优化结果，并通过数值算例验证了基于卷积因子修正的敏度过滤方法的正确性。

1 连续体结构拓扑优化建模

1.1材料插值模型的选取

变密度法是从均匀化方法[8]演变而来，将(0,1)之间的密度值作为设计变量，然后利用插值函数定义弹性模量与密度之间的函数关系，这样可以将结构优化问题转化成材料的分布问题。其本质是将拓扑变量附着在单元密度值上，从而把离散变量问题转化成连续变量优化问题。变密度法优点在于易于编程，设计变量少，因而其在工程中得到了很好的应用。工程中常用到的是固体各向同性惩罚微结构模型，其数学表达式如式(1)，本文将基于固体各向同性惩罚微结构模型，开展后续的研究。

(1)

式中：E0为材料的刚度；ρi为设计区域内第i个单元的密度；Emin为指定给空洞区域的一个非常小的刚度矩阵；p为惩罚因子，其作用是为了避免刚度矩阵奇异。

总刚度矩阵及敏度表达式分别为：

(2)

(3)

1.2连续体拓扑优化模型的建立

结构柔顺度最小(或刚度最大化)问题的优化数学模型为：

(4)

在实际工程应用中，工程人员为了得到理想的拓扑优化结构，在选择合适插值模型的同时，还需要使用恰当的求解算法。拓扑优化求解算法一般分为数学规划法与优化准则法，本文将采用优化准则法来求解拓扑优化模型。

2 基于卷积因子修正的敏度过滤方法

敏度过滤方法最早是由比利时列日大学的Sigmund[1]提出的，其表达式为：

Sigmund敏度过滤方法的不足是：该方法中，卷积因子的类型是二元一次线性函数，在一定的过滤半径内，单元敏度权重差值的变化幅度是比较小的，随着过滤半径的增加，这种单元间的敏度权重的差值就会越来越接近，所以在较大半径下的拓扑优化结果，就会出现很多灰度单元，导致边界模糊。

本文提出的基于卷积因子修正的敏度过滤方法，在原有Sigmund敏度过滤方法基础之上，通过引入不同类型的卷积因子，在一定的过滤半径范围内，控制单元敏度权重差值的变化幅度，使中间单元的敏度权重明显大于周边单元的敏度权重。本文引进两类非线性的卷积因子来控制单元的敏度权重，这两类因子分别为指数型因子与反正切型因子，见表1。表达式中，x,y是控制因子，通常取x=1，y=2。

这里引入的两类不同类型的卷积因子的原理是：因为这两种类型的卷积因子的函数形式是二元一次非线性函数，所以在一定的过滤半径之内，单元敏度权重差值的变化幅度是相对比较大的，这样一来，就使得中间单元的敏度权重明显大于周边单元的敏度权重，不仅如此，这种卷积因子函数类型上的改变，在过滤半径不断加大的情况下，拓扑优化结果的灰度单元分散现象也有很大的改善。由于弱化了周边单元的敏度过滤效果，可得到具有较好边界的拓扑优化结果。

不同类型的卷积因子对单元敏度分布的影响见表2，表中的中间单元和周边单元的位置关系是水平展开的。

从表2可以分析得出不同情况下的单元敏度权重分布，2种新型卷积因子的单元敏度权重与原有的敏度过滤方法相比，在中间单元敏度权重固定的情况下，随着周边单元距离的递增而减少。可以清晰地看到，指数型卷积因子下，单元敏度权重不受过滤半径的影响；反正切型卷积因子下，单元敏度权重差值的变化幅度会随着过滤半径的增加而变大。相比较于原有的敏度过滤方法，在过滤半径增加的同时，反正切型卷积因子下的单元敏度权重差值的变化幅度比较大，从而避免了在大半径下拓扑优化结果的边界模糊现象。

3 二维拓扑优化数值算例与讨论

采用MBB梁结构的拓扑优化算例，运用MATLAB软件验证本文提出的基于卷积因子修正的敏度过滤方法。

如图1所示，MBB梁结构的设计区域为60mm×30mm×1mm。其左下端受到全约束限制，右端下角受到竖直方向上的限制，在结构上端面中点处受到竖直向下的载荷作用。由于优化问题中结构和载荷具有对称性，釆用1/2模型进行结构分析和优化计算。建立以体积为约束、柔顺度最小为目标函数的拓扑优化模型。过滤半径分别为1.5mm、3.0mm、5.0mm。分别采用原Sigmund敏度过滤方法和2中提到的2种新型卷积因子下的敏度过滤方法进行优化，得到的拓扑优化结果图如图2所示。

从图2可以看出，2种不同类型卷积因子下的敏度修正过滤方法均未出现网格依赖和棋盘格现象，在过滤半径较小的情况下，新的敏度修正过滤方法过滤效果要比原有的敏度过滤方法好，优化结果没有出现细小杆；随着过滤半径的增加，原有的敏度过滤方法出现灰度单元现象，造成了边界模糊，而新的敏度修正过滤方法表现出稳定的优化结果。这也证明了上文关于不同卷积因子理论的正确性。

为了比较上述3种类型卷积因子下的拓扑优化计算效率和准确性，将拓扑优化的迭代次数和柔度列于表3。

由表3可以看出，在任意半径下，本文提出的卷积因子下的优化迭代效率都明显优于原有的敏度过滤方法，当过滤半径较小时，本文方法与原有敏度过滤方法的优化柔度值比较接近；但是当过滤半径较大时，本文所提方法的优势就体现出来，柔度值的变化幅度不会有很大变化，这就是2种类型卷积因子下拓扑优化结果清晰的内在原因。

4 结束语

本文提出了基于新型的卷积因子修正的敏度过滤方法，从实验数值的角度看，新型的卷积因子修正的敏度过滤方法，在抑制网格依赖性的同时，避免了在大半径下原有敏度过滤方法的边界模糊现象，在不同的过滤半径下，有稳定的拓扑优化结果；从计算效率的角度上看，新的敏度修正方法明显比原有敏度过滤方法快；从结果的清晰角度上看，新的敏度修正方法同样可以获得清晰的边界。

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Sensitivity filter based on different convolution factors methods

ZHOU Liming1, FU Xiaojin1,2

(1.School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai, 200093, China)

(2.School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai, 200245, China)

In the topology optimization of variable density method, sensitivity filter is a common one of the ways to eliminate the numerical instability, But the optimization's result of sensitivity filter is easy to cause the fuzzy boundary, In order to prevent this kind of phenomenon of fuzzy boundary, this paper proposes a sensitivity filter based on different convolution factors. This method is to strengthen the middle unit's sensitivity value, reduce the peripheral unit's sensitivity value, suppress the fuzzy boundary. Using the minimum compliance of the example, it obtains optimization results. The results prove that the method can prevent and alleviate checkerboards, mesh-dependency and fuzzy boundary.

sensitivity filter; interpolation scheme; weighting factor; fuzzy boundary

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.04.006

2015-03-20

国家自然科学基金资助项目(11202078)；上海市教委科研创新重点项目(13ZZ145)；上海市自然科学基金资助项目(11ZR1413800)

周利明(1988—)，男，黑龙江通河人，上海理工大学硕士研究生，主要研究方向为连续体结构优化方法、CAE技术及应用等。

O343.1

A

2095-509X(2015)04-0023-04