基于混杂自动机的准谐振变换器建模及分析

唐春森 沈 昊 李小飞

基于混杂自动机的准谐振变换器建模及分析

唐春森 沈 昊 李小飞

（重庆大学自动化学院 重庆 400044）

准谐振变换器作为一个高阶、强耦合、多工作模态的非线性系统，其连续时间变量与离散状态量相互作用，因此是一个混杂系统。本文运用混杂系统相关理论建立了四阶准谐振变换器在连续工作模式下的混杂自动机模型，并根据其开关工作状态及输出电压稳定条件，设计了一种基于 PI调节器的 PFM控制策略。基于 Matlab/Simulink的Stateflow工具包搭建了仿真平台，分析了在不同负载参数下系统的输出响应特性。最终通过仿真和实验验证了所提出的建模方法的有效性。

混杂自动机 准谐振变换器 Matlab/Simulink PI调节器

1 引言

准谐振变换器（Quasi-Resonant Converter，QRC）由传统的脉宽调制（Pulse Width Modulation，PWM）型变换器演变而来，是一种比较成熟的谐振软开关电路。该变换器能有效地解决开关强度、开关损耗以及电磁干扰等问题，可使变换器在不降低效率的前提下工作于很高的开关频率，推动了开关电源向高频化发展 [1-3]。

目前，针对软开关电路建模的方法主要有开关状态空间平均方法[4]、电路平均方法[5]、大信号平均模型[6]以及广义状态空间平均方法[7]等，这些方法大都采用近似等效、线性化的处理，对各个开关工作模态作时域上的平均处理，忽略了其非线性部分，不能得到变换器的精确模型。

所谓混杂系统，是由离散动态事件系统与连续时间动态系统相互混杂、相互作用而形成的统一动态系统[8-9]。混杂系统模型具有以下特点：①系统模型中存在连续时间及离散状态两种性质不同的变量；②系统模型未对其离散模型作任何近似处理，能够精确地描述变换器的动态行为；③当连续状态量达到阈值时将触发相应的离散事件状态量。准谐振变换器作为一个高阶、强耦合、多工作模态的非线性系统，其连续时间变量与离散状态量相互作用，因此是一个典型的混杂系统。

近年来，基于混杂系统理论的建模研究发展十分迅速，主要集中在汽车的计算机控制系统、飞机的平稳控制系统、蒸汽锅炉系统和化工生产系统等领域中[10]，其理论基础和应用研究在电力电子系统中尚处于开拓阶段。文献[11]运用混杂系统理论建立了二阶DC-DC变换器在连续工作模式（CCM）下的混杂系统模型，并提出了一种新型的类滑模控制策略；文献[12]提出了一种利用有限状态机（FSM）概念对混杂系统进行建模的方法，并通过Matlab/Simulink工具对Boost和零电流变换器进行了开环仿真分析。为了更全面地分析准谐振变换器的稳定性，更好地获得其控制参数及控制策略，需要对其进行精确建模。因此，将混杂系统理论引入到准谐振变换器的建模研究与控制设计当中显得十分必要。

本文在前人研究的基础上对四阶零电压准谐振变换器在CCM模式下建立混杂自动机模型，并根据其开关工作状态模式及输出电压稳定条件提出一种基于 PI调节器的PFM 控制策略，最后通过Matlab/ Simulink仿真和实验验证该建模及控制方法的有效性。

2 准谐振变换器的混杂自动机模型

零电压准谐振变换器（ZVSQRC）的拓扑如图1所示。整个电路是在 Buck电路的基础上添加了一个 LC辅助谐振单元。S为主功率开关，控制整个电路的导通与关断，VD1为反并联二极管。电感 Lr和电容Cr构成串联谐振网络，利用谐振使得开关管S在电容Cr的电压过零时进行切换，从而实现零电压开通。VD为续流二极管。电感L和电容C构成了滤波电路。为了简化分析，这里假设电感L足够大，其工作电流始终连续。根据混杂自动机原理，CCM下的准谐振变换器混杂自动机模型可描述为

图1 零电压准谐振变换器拓扑Fig.1 The circuit topology of ZVS-QRC

（1）模态 1 (q=q1)。该模态下开关管 S断开，二极管VD反向截止。该模态的电路如图2a所示，状态空间方程为

其中，

（2）模态 2（q=q2）。该模态下开关管 S关断，二极管VD正向导通，电路如图2b所示。直流电源Ui、电容 Cr和电感 Lr构成谐振回路。状态空间方程为

（3）模态3（q=q3）。该模态下开关管S开通，二极管VD正向导通，电路如图2c所示。直流电源

图2 各模态下的电路结构Fig.2 The circuit topologies under 4 modes

Ui为电感Lr充电，谐振电流ir线性上升。状态空间方程为

（4）模态4（q=q4）。该模态下开关管S开通，二极管VD关断，电路图如图2d所示。状态空间方程为

由式（2）～式（5）可得

由上式可知，不同的离散状态变量q和连续状态空间x之间通过函数映射 f存在着一一对应的关系。各离散状态量之间的转换关系如图 3所示。

图3 连续状态变量和离散状态变量转换关系Fig.3 Schematic representation of a hybrid automaton with four discrete states of the Buck converter operating in CCM

3 混杂控制策略

变换器混杂自动机模型的建立，使得其控制问题简化为通过控制系统连续时间状态变量 x(t)在保证系统的稳定性和各种性能指标的前提下边界转换条件Guard(qi,j)(i,j=1,2,3,4)的选择问题。CCM 模式下，变换器电路理想波形如图 4所示。

图4 电路理想波形图Fig.4 The ideal waveforms of the ZVS-QRC circuit

设参考电压为uref，切换控制策略如下：

（1）模态 1切模态 2（q1→q2）。由图 2a可知，当系统处于模态1时，开关S关断，二极管 VD关断，直流电源Ui为电容Cr充电直到电压ur＝Ui，如图 4中 q1段所示，之后谐振电压 ur＞Ui，二极管VD导通，系统进入模态2。此模态的不变集合及边界转换条件为

（2）模态 2切模态 3（q2→q3）。由图 2b可知，当系统处于模态2时，直流电源Ui、电容Cr和电感Lr谐振如图 4中q2段所示，电容电压ur呈正弦波规律下降直到ur＝0，控制S开通，则开关管实现了零电压开通的软开关条件。系统进入模态 3。此模态的不变集合及边界转换条件为

（3）模态 3切模态 4（q3→q4）。当系统处于模态3时，直流电源 Ui为电感Lr充电，电流ir线性上升。同时，续流二极管 VD中的电流快速减小，如图 4中q3段所示，当 ir＝iL时，二极管 VD关断，系统进入模态 4。此模态的不变集合及边界转换条件为

（4）模态 4切模态 1（q4→q1）。当系统处于模态4时，直流电源Ui同时为电感Lr、电感L、电容C以及负载RL供电，电压ur=0，电流ir、iL线性上升，如图4中q4段所示。此模态的持续时间相当于开关 S的开通时间 ton，通过控制 ton的大小来达到输出电压调节效果。由输出电压 uo和参考电压 uref可得误差信号 e(t)为

对开通时间ton的控制采用 PI控制，即

式中，KP为比例系数；TI为积分系数。当模态4的运行时间大于等于 ton时，控制开关管 S关断，系统进入模态 1。此模态的不变集合及边界转换条件为

式中，td为模态4持续的时间。

由上述分析可知，与常规 PWM-PI调节器的控制策略通过控制占空比来调节输出电压不同，本文基于PI调节器的混杂控制策略通过控制模态4（开通时间ton）来调节输出电压，软开关功能通过其系统内部模态之间的自然切换（q2→q3）实现，其本质上属于 PFM控制，更适用于准谐振变换器的控制。

4 仿真和实验验证及分析

为了验证上述建模及控制方法的有效性，这里利用Matlab/Simulink工具箱建立了模型，如图5所示，其中，A1、A2、A3、A4分别代表式（2）～（5）中的系数矩阵 Aq1、Aq2、Aq3、Aq4；B1、B2分别代表式（2）、式（5）中的输入矩阵 Bq1、Bq4及式（3）、式（4）中的输入矩阵Bq2、Bq3。K为连续状态变量选择矩阵。

图5 系统仿真模型Fig.5 Simulation model of the system

图 5中的 Stateflow模块根据式（6）～（8）、式（10）所提出的控制策略建立了混杂自动机的控制逻辑，如图 6所示。

图6 混杂自动机控制逻辑Fig.6 Control logic of hybrid automata

系统参数取值如表所示，稳态波形仿真结果如图 7a～图7d所示。输出电流 io和输出电压uo的相轨迹如图8所示。

表 系统参数表Tab. System parameters

图7 仿真结果Fig.7 Simulation results

图8 输出电流io与输出电压uo的相轨迹Fig.8 Phase trajectory of output current ioand output voltage uo

由图7可知，本文基于混杂自动机所建立的准谐振变换器模型在一个控制周期内，系统模态根据开关状态及控制策略依次按 q1→q2→q3→q4进行切换，电压 ur和电流 ir、iL波形与图 4所示的变换器理想波形基本一致，表明本文所建立的基于混杂自动机的准谐振变换器模型的合理性。

由图8a可知，系统经过一段时间的动态调节最终收敛到所设定的30V上，表明本文所建立的闭环模型是稳定的。图 8b为稳态时系统输出电流 io和输出电压uo的相平面图，它是一个闭合的极限环，由图可知，系统的静差及纹波均很小。

为了观察系统在不同参数下的输出响应特性，本文设置了 3组不同的负载参数 RL(3Ω，4Ω，2Ω)来观察输出电压的变化情况。仿真结果如图9所示。

图9 不同负载RL下输出电压uo的响应Fig.9 Output voltage and output current evolutions with the variation of the load resistance

由图9可知，系统的负载RL=3Ω在t=20ms时切至 RL=4Ω，在t=50ms时切至 RL=2Ω，输出电压都稳定在了 30V。虽然动态过渡过程中存在小幅度的超调，但这可以在适当牺牲快速性的情况下，通过增大输出滤波电容或者调节 PI控制器参数的方式进行抑制。

为了验证理论分析及仿真结果的正确性，制作了准谐振变换器的实验电路。主电路选用型号IRF460的MOSFET开关管和型号MUR15120的二极管，控制器采用STC系列单片机，检测电路采用高速比较器LM311，并采用高速光耦6N137对主电路和控制电路进行隔离，实验时所采用参数与仿真一致。

图 10所示为准谐振变换器的谐振电压 ur和谐振电流 ir的实验波形，该实验波形与图 7b、图 7c所示的仿真波形及图4所示的理想波形基本吻合，表明了本文建立的基于混杂自动机的准谐振变换器模型的有效性。

图10 谐振电压ur和谐振电流ir实验波形Fig.10 Experimental results of urand ir

图11 所示为负载干扰（切换点1和切换点2）下输出电压 uo的实验波形。实验结果在稳态时与仿真研究基本吻合，表明本文所建立的模型是一个稳定的闭环系统。在动态调节时与仿真研究存在误差，该误差产生的原因可能是由于实际电路中的开关管、二极管、电感及电容等均非理想元器件，及控制器存在一定的控制延迟等综合因素所导致。

图11 负载干扰实验波形Fig.11 Experimental result of load variation

5 结论

本文建立了四阶准谐振变换器在 CCM 工作模式下的混杂自动机模型，使其控制问题简化为通过控制系统连续时间状态变量在保证系统的稳定性和各种性能指标的前提下的混杂自动机边界转换条件的选择问题。根据系统开关工作状态及输出电压稳定条件，基于其混杂自动机模型设计了一种基于PI调节器的PFM控制策略，分析了所建系统仿真模型在不同负载参数下的输出响应特性，并进行了仿真和实验验证。与传统的平均状态建模方法相比，混杂系统理论更有利于描述电力电子系统的非线性动态行为，并为其系统分析及控制器设计提供了一种新的思路。

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Modeling and Analyzing of Quasi-Resonant Converter Based on Hybrid Automata

Tang Chunsen Shen Hao Li Xiaofei

（College of Automation Chongqing University Chongqing 400044 China）

Quasi-resonant converter(QRC) is a higher-order, tight-coupling and multi-operatingmode nonlinear system. And its continuous time variables mutually affect with discrete state variables, so it is a hybrid system. Utilizing hybrid system theory, a hybrid automata model is built for a fourth-order QRC operating under continuous currant mode(CCM). Based on the operating-state of switch and stable condition of output voltage, a PI based PFM control method is proposed. Both simulation and experiment results have verified the validation of the proposed method.

Hybrid automata, quasi-resonant converter, Matlab/Simulink, proportional-integral(PI) controller

TM46

唐春森 男，1980年生，博士，副教授，研究方向为无线电能传输技术与系统，电力电子系统建模及非线性行为分析与控制。

重庆市基础与前沿研究计划（cstc2013jcyjA0235）和国家自然科学基金（51477020）资助项目。

2014-07-14 改稿日期 2014-09-26

沈 昊 男，1991年生，硕士，研究方向为无线电能传输技术与系统，电力电子系统建模及非线性行为分析与控制。