线圈高频损耗解析算法改进及在无线电能传输磁系统设计的应用

黄晓生 陈 为

线圈高频损耗解析算法改进及在无线电能传输磁系统设计的应用

黄晓生 陈 为

（福州大学电气工程与自动化学院 福州 350116）

圆导体环形线圈在磁耦合谐振式无线电能传输系统中应用广泛，线圈高频损耗对磁耦合系统的分析设计和效率至关重要。针对目前解析计算方法在计算邻近效应损耗时的不足以及有限元仿真的局限性，本文以螺旋型线圈为例，深入分析了圆导体线圈的趋肤效应与邻近效应，提出了多匝圆导体线圈高频损耗的通用解析计算方法。该方法适用于任意形状（如螺旋型、涡状）的漆包线以及多股绞线线圈，比目前其他解析计算方法具有更高的精度和适用范围，且计算速度快。本文进一步将该方法应用于线圈Q值的优化，并通过实测验证了所提出的解析计算方法的计算高效性和模型准确性。

无线电能传输 线圈 高频损耗 邻近效应 品质因数

1 引言

磁耦合谐振式无线电能传输技术在医疗、工业和移动终端等领域的研究与应用越来越引起关注，其系统涉及高频逆变、阻抗匹配、磁耦合系统、高频整流调压以及控制等多种技术的融合，其中磁耦合系统是重点和难点之一[1-11]。

系统的工作频率及线圈的交流电阻对磁耦合系统的可传输功率有关键影响，尤其对于较远距离的WPT应用，工作频率高达兆赫级。可以用耦合线圈的耦合系数k与线圈的品质因数Q的乘积值kQ来表征磁耦合系统的性能。kQ 值越高，系统的传输效率越高[12-13]。在 WPT应用中，耦合线圈常采用各种环形结构，由于无线电能的传输距离一般为线圈尺寸的几倍且频率较高，使用高磁导率的磁心对于k值的提升作用不大，且还会产生额外的磁心损耗，因此一般采用空心线圈。对于空心线圈，其电感值和k值的计算较为简单，而线圈的交流电阻Rac，即线圈的高频损耗计算则比较困难。

高频载流导体的损耗包括趋肤效应和邻近效应的损耗。随着频率的提高，导体趋肤深度越来越小，如果采用有限元仿真，为了保证精度，网格尺度需要很小，计算规模将变得十分庞大，一般的计算机工作站难以胜任，而且数值仿真不便于进行理论分析和优化设计，因此研究相应的解析计算方法十分重要。随着频率及匝数的提高，邻近效应所造成的损耗比例越来越大，而现有文献计算Rac时，通常使用简单的近似公式或者有限元仿真[14-17]。文献[18-19]对薄壁管状导体线圈的高频损耗进行了分析，并考虑了趋肤效应及邻近效应的影响。文献中薄壁导体的厚度与趋肤深度是可比的或者小于趋肤深度，并忽略导体电流密度沿径向的变化，仅适用于薄壁管状导体构成的线圈，不能应用于实心圆导体线圈。

本文首先以螺旋型线圈为研究平台，对现有高频损耗解析计算方法作了改进，提高了多匝线圈邻近效应损耗的计算精度。然后进一步结合电感值的解析计算得到线圈的Q值，分析了线圈Q值的优化，将模型应用于各种线圈结构，如涡状线圈、多层线圈和多股绞线（利兹线）线圈的高频损耗计算。最后进行了实验验证与结果分析。

2 现有高频损耗解析计算方法

2.1 线圈几何建模

为了便于分析，以常用的螺旋型线圈为例，建立几何模型。在一般应用中，线圈的直径较大，一个多匝螺旋型线圈可以简化为多个圆环型线圈，图 1中阴影部分为在 rz坐标系（即圆柱坐标系的 rz平面）下的模型，设导体圆截面半径为R0，线圈环半径为R，匝间距为λ。

图1 螺旋型线圈的二维模型Fig.1 2D model for helix coil

线圈总损耗 Pcoil是各匝损耗Pturn的总和，其计算式为

式中，上标n表示第n匝导体，下同。

当单匝导体上载有正弦电流（用相量 I表示）时，由于轴对称结构，外部磁场HN垂直于圆导体，但HN不包含该匝导体自身电流产生的场强。由于导线一般很细，可以认为HN是均匀的。这样，单匝导体的损耗计算模型如图 2所示。

图2 线圈单匝导体的电磁场模型Fig.2 The electromagnetic model of single-turn coil conductor

2.2 高频导体损耗的分解

将图2所示的电磁场分解为趋肤效应场与邻近效应场，本文将其简称为E场和N场，如图3所示。其中，E场仅由线圈的励磁电流产生，且不存在其他电流源产生的外部场强；而N场仅有外部交变磁场HN及其作用下的圆导体。图3中用“×”和“.”分别表示矢量垂直指向纸面内和外，下同。根据电磁场的叠加原理和唯一性定理，E场与 N场的电流密度分布叠加后会与原来的电磁场电流密度分布相同；另一方面，由于 N场的电流密度分布是奇对称的，而E场的电流密度分部是偶对称的，因此，N场与E场的损耗具有正交性，也是可以叠加[20]。

图3 二维涡流场的分解Fig.3 Decompose of 2D eddy current field

分别求解E场的趋肤效应损耗与N场的邻近效应损耗，并将损耗进行叠加，即可得到单匝线圈导体的损耗为

式中，PE、PN分别表示趋肤效应和邻近效应的导体单位长度损耗。

3 趋肤效应与邻近效应的计算与改进

3.1 趋肤效应损耗

在现有的计算方法中，趋肤效应（E场）损耗的计算具有精确的解析计算公式。沿圆导体中心建立局部柱坐标系，可得其电流密度 z轴分量 JE的分布与导体单位长度损耗PE的表达式[21]为

式中，f为正弦电流I的频率；ρ为导体的电导率；μ0为真空磁导率；bei与ber为 Kelvin函数；J1与 J0为第一类Bessel函数。

3.2 邻近效应损耗

为了计算单根导体在外部场强作用下的邻近效应（N场）损耗，如图4所示。建立局部柱坐标系，其中以圆导体截面中心点为极点，HN方向为极轴正方向，θ为角坐标，r为径向坐标，z轴垂直指向纸面外，R0为导体截面半径。先假设 HN为已知的边界条件。

图4 邻近效应的场强与电流密度分布Fig.4 Magnetic field & current density of proximity effect field

上述 N场的电流密度求解过程较为烦琐[22]，经推导其计算式为

式中，JN为电流密度JN的 z轴分量。

电流密度J与导体单位长度损耗P的关系为

将式（8）代入式（9）中可得邻近效应场作用下的导体单位长度损耗为

3.3 导体外部场强 HN的改进计算方法

现有的解析计算方法都是假设某一导体的外部场强 HN是由集中于其他各匝导体中心的电流决定的，因此可以根据毕奥-萨伐尔定律计算HN。但实际上，当线圈导体间距离较近时，不能将导体截面的电流密度近似为集中的，即上述的假设并不精确成立，这造成 HN以及邻近效应损耗部分的计算误差。本文采用如下的改进计算方法来计算外部场强HN，从而提高多匝线圈高频总损耗的计算精度。

HN近似为场域内所有源电流在导体中心点处产生的场强总和。HN的组成可分为以下两部分：

第一部分是由其他导体的励磁电流（即正弦电流I）产生的场强，称为HI，其计算式为

其中上标t表示第t匝源电流导体。式中，er，ez分别表示rz坐标系 r轴方向和 z轴方向的单位向量；HIr与 HIz表示源电流在场点所产生磁场的 r轴分量和 z轴分量的大小；zI表示不同匝导体在z轴方向上的相对位置。

不难看出，HI的计算可归结为rz坐标系下，载流环形导体的磁场计算问题。

第二部分是由除导体自身外的所有N场电流密度JN在导体上产生的附加邻近效应场强 Hadd，即

当匝间距较大时，Hadd对导体的影响很小。但是当线圈导体绕制的较为紧密时，这部分场强的影响就需要考虑[23]。

从上述分析可知，Hadd与HN是互为变量的。因此，本文假设 Hadd的形成是一个渐进的过程并利用图5所示的迭代方法来计算 Hadd。

图5 HN与Hadd计算流程Fig.5 Flow chart of HNand Hadd

在流程图中上标 i表示迭代次数，imax为最大迭代数，当迭代次数大于 imax时，所得到的 HN计算结果几乎不变。在每次迭代循环中，n都从1计算至N并记录结果，然后再进入下一迭代进程。

将|HNn,i|代入式（8）即可得到JNn,I，如图4所示。JN在导体中的分布类似于一个载流导体环。因此，为了简化分析，在计算 Hadd(n)i前，本文先将 JN(n)i转换为二维下的环形电流源，即两个大小相同方向相反的点电流源。如图6所示，在的作用下，导体内产生两个大小相同方向相反的点电流源，其电流值用表示。导体截面中心点指向点电流源所在位置的偏移相量

图6 邻近效应场下的等效点电流源Fig.6 Equivalent point current sources of proximity effect field

其中ci计算式为

通过式（20）与式（21）的计算，已经可以得到点电流值及其所在位置，这样，的计算式为

通过上述外部场强改进计算方法，解决了现有解析计算方法在计算邻近效应损耗时存在的不足，从而使得解析计算多匝线圈高频损耗时的精度得以提高。

4 耦合线圈的Q值计算与优化方法

4.1 Q值的计算

高Q值是谐振式无线电能传输系统实现高效传输的必要条件之一[12-13]。因此，使 Q值在给定条件下最大化，是耦合线圈优化的主要目的。Q值计算式为

式中，L为线圈的自感；Rac为线圈交流电阻。改进后的线圈损耗解析计算方法保证了Q值计算的精度。

使用文献[24]的近似公式计算 L，其计算公式基于分段拟合函数且相对误差较小，适用于各种长度半径比情况下的单层圆筒形线圈电感计算。对于其他形状（如多层或者涡状）的轴对称线圈，则需要应用不同的公式来计算电感值。将文献[24]中的电感计算公式整理为式（30）与式（31），即

当2R≤b时

当2R＞b时

式中，b为线圈的长度，其值由线圈的匝数 N、匝间距λ以及导体截面半径R0共同决定。

设线圈通入幅值为 1A的电流，Rac计算式为

4.2 给定条件下的 Q值最大化

电导率 ρ及工作频率 f一般由具体应用的电路和传输距离决定，因此本文 f与 ρ不作为优化变量[25]。本文将以表 1中的初始线圈参数为例，归纳圆导体多匝线圈的Q值优化方法。

表1 初始线圈参数Tab.1 Initial parameters of coils

R与Nλ决定了线圈的尺寸，而尺寸限制是线圈设计过程中经常遇到的问题。因此，研究耦合线圈在该限制条件下的Q值优化具有实际意义。当线圈的体积固定下来时，剩下的就是选择合适的匝数与线径。绘制不同导体截面半径 R0下线圈 Q值随匝数N变化的曲线，从而得到最佳的线圈设计参数，如图7所示。

图7 不同N、R0下的Q值Fig.7 Quality factor with variation of R0and N

从图7中的曲线可知，如果仅仅要求Q值最大，而对于匝数N没有限制，则当N=10，R0=0.675mm时的 Q值最大，约为 300。而在本文的算例中，N为固定的值15，线圈的最佳R0值为0.45mm，对应的线圈Q值为270。优化后的Q值相比于表1中初始参数的Q值提高45.9%，铜导线质量减少55.6%。因此，选择合适R0与N对于线圈Q值的优化极为重要。在一定的线圈半径及匝间距情况下，匝数 N直接决定了线圈的自感值。为了兼顾传输效率、电容耐压和阻抗匹配等因素，耦合线圈的自感通常要限制在一定的范围内。因此，线圈必须在允许的导体半径R0及一定的匝数范围内（也包含匝数固定的情况）寻找最大Q值，并获其对应的最佳导体半径R0optm及匝数Noptm。

根据上述的例子归纳耦合线圈 Q 值的优化流程，如图8所示。其中上标m代表不同线径规格下的导体截面半径R0，下标optm代表对应R0下的局部最优值，下标max代表相应参数的最大值。在寻找时，限制 N的值域即可实现特定匝数范围内的Q值优化。

图8 线圈Q值优化流程Fig.8 Flow chart for quality factor optimization

在不同的应用场景中，线圈匝数的允许范围各不相同。图8中的优化方法是否可行，仅取决于线圈损耗与Q值计算是否准确。为了便于验证优化效果及实验对比，算例中的待优化线圈匝数N值仅为单一数值。随着线圈匝数的增加，线圈导体间的邻近效应增强，λ对Q值的影响更加明显。增加初始线圈的N值并将对比结果列于表2，可见，随着匝数的增加，Q值的优化效果仍然十分明显。

表2 优化前后的线圈参数对比Tab.2 Parameters of coils with and without optimization

5 其他圆导体线圈的计算方法

5.1 涡状线圈与多层线圈

虽然前面的分析是基于螺旋型线圈的，但是其基本的高频损耗原理及其解析计算方法适用于任意的圆导体线圈。在本节中，将进一步说明如何将所提出的计算方法用于其他形状圆导体线圈的高频损耗计算。

涡状线是常用的线圈形状，只需要改变场源点的坐标表达式（即式（12）中函数 HIz与HIr的坐标参数）并更改相应的电感计算公式，便可以将前面建立的计算模型用于涡状线圈的分析中。此外，多层桶状线圈及其他线圈的扩展也与前述扩展方法类似，在此不再敷述。

在图 9中，涡状线内径为 R，匝间距为 λ，导体的截面半径为R0。涡状线圈仍然可以在 rz坐标系下进行建模，因此上述的损耗计算方法仍然适用。修改线圈匝的对应坐标，利用式（35）即可计算线圈的交流电阻。以R=42mm、λ=1.5mm、N=6为例，分别计算R0为0.295mm、0.45mm及0.675mm情况下的线圈交流电阻，并将结果与有限元仿真（Finite Element Analysis，FEA）值进行对比，如图10所示。

图9 涡状线圈的二维模型Fig.9 2D model of spiral coil

图10 涡状线圈交流电阻的解析计算与有限元仿真对比Fig.10 Calculated and FEA values of Racin spiral coil

由图 10可知，利用改进后的解析计算方法所得到的交流电阻值与有限元仿真值十分接近，其最大相对误差不超过4%。

5.2 多股绞线（利兹线）线圈

单股圆导体构成的耦合线圈结构简单且成本相对较低。在一些应用场合，为了进一步降低耦合线圈损耗并提高线圈Q值，单股导体无法满足要求，因此需要使用多股绞线、管状线等结构更为复杂的导线。

多股绞线结构如图11所示，由于多股绞线的股数非常多，即使是二维有限元仿真，其计算量也非常大，一般的计算机工作站实际上无法计算。因此，将本文所提出的解析计算方法用于多股绞线线圈的设计具有实际意义。

图11 多股绞线Fig.11 Litz wire

多股绞线的股间距离要远小于线圈的匝间距λ，因此仅需要考虑多股绞线单股导体间的邻近效应。假设多股绞线的半径为 RLitz，股数为 n，单股导体截面半径为 R0，则多股绞线的截面填充率p为

在半径r处的邻近效应场强 HLitz为

式中，I表示多股绞线的总电流。

则多股绞线的导体单位长度损耗PLizt为

其线圈的总损耗PLizt_tol为

式中，lcoil为多股绞线的长度。

6 实验与分析

本文对现有的线圈高频损耗解析计算方法进行了改进，并应用于线圈Q值的计算与优化。对于各种形状的圆导体环形线圈，其高频损耗的机理都是相同的，因此，在本节中，仅利用实测螺旋型线圈对计算方法的准确性进行验证。

绕制不同R0规格的线圈，如图12所示，线圈的其他参数见表 1。利用式（31）所计算的电感值（27μH）与实测值（26μH）相对误差仅为 3.8%，因此，该电感计算公式适用于文本的计算与分析。

图12 测试线圈Fig.12 Test coils

使用传统解析方法计算各线圈的 Rac，将计算结果与高精度阻抗分析仪的测量值进行对比，如图13所示。传统的解析计算方法仅考虑到导体的趋肤效应损耗[13]，而忽略了邻近效应损耗。

图13 传统计算方法下的Rac计算值与实测值对比Fig.13 Calculated by conventional method and experimental values of Rac

由图13可知，随着频率的提高，传统的解析计算方法误差越来越大。在 1.5MHz下的最大相对误差值高达87%，因此无法满足高频情况下的线圈损耗计算精度要求。

利用式（35）计算线圈的 Rac，将结果与高精度阻抗分析仪的测量值进行对比，如图 14所示。R0= 0.675mm且频率为1.5MHz时，R0与趋肤深度的比值高达12.5。

图14 Rac的实验值与计算值对比Fig.14 Calculated and experimental values of Rac

对比线圈 Rac的计算值与实测值：在 1MHz以内，Rac的计算误差不超过 6%；在 1.5MHz以内，Rac的计算误差不超过 8%。在线圈绕制及测量过程中，不可避免的存在实验参数与理想设计参数的误差。因此，由图14可以看出，本文所提出的解析计算方法与实验结果是相符的。

线圈电感及Q值的计算值与实测值对比见表3，其频率为 1MHz。Q值计算的最大相对误差小于10%，因此，本文对线圈损耗解析计算方法的改进能够保证Q值计算的精度，并可用于线圈Q值的优化分析。

表3 1MHz下的线圈参数实测值与计算值对比Tab.3 Calculated and experimental parameters of coils under 1MHz

7 结论

本文通过引入并提高线圈邻近效应损耗的解析计算精度，对圆导体线圈高频损耗的解析计算方法进行了改进。通过将该方法用于WPT磁系统线圈Q值的计算及优化，得到如下结论：

（1）利用循环迭代以及点电流源等效方法可以准确的计算出作用于导体上的邻近效应场强，解决了现有解析计算方法的不足。

（2）实验验证了所提出的计算方法在线径与趋肤深度之比高达 25时仍然可以保证计算精度。因此，该方法具有很宽的频率适用范围。

（3）本文所提出的线圈 Q值优化方法可以很好的满足线圈优化需求。在匝数为15的线圈案例中，优化后的线圈Q值相比于优化前提高了45.9%。随着线圈匝数的增多，Q值的优化效果更为明显。

（4）所提出的计算方法可扩展适用于圆柱坐标系下建模的圆导体线圈损耗计算，如涡状线圈与多股绞线线圈。对无线电能传输磁系统设计具有较高的实用价值和指导意义。

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Improved Analytical Calculation Model of High-Frequency Coil Losses and Its Usage in WPT Magnetic System

Huang Xiaosheng Chen Wei

（College of Electrical Engineering and Automation, Fuzhou University Fuzhou 350116 China）

Circular coil made from cylindrical solid conductor has been wildly used in magnetic resonance wireless power transfer(WPT) system. As key components of system, high frequency losses of coupling coils affects the system efficiency more directly when the operation frequency increase. The existing analytical methods can't meet the requirement of precision. Moreover, numerical calculation method such as finite element method(FEM) can be used for calculating high frequency losses of multi-turn coil, however, it’s time-consuming and high cost. After fully analyzed skin effect and proximity effect of helix coil, this paper presents a new analytic method for evaluating high frequency losses of multi-turn cylindrical solid coil. It is fix all cylindrical solid or Litz wire coil which is shaped as helix, spiral or multi-layer, and so on. Quality factor optimization by using the analytic method has been done and proved high precision and much better computation efficiency compared with existing methods. Finally, experiment for verification is done and the conclusions have been got.

Wireless power transfer, coil, high frequency losses, proximity effect, quality factor

TM15

黄晓生 男，1986年生，博士研究生，研究方向为无线电能传输技术和电力电子高频磁技术。

2014-04-28 改稿日期 2014-09-25

陈 为 男，1958年生，博士，教授，研究方向为电力电子功率变换、高频磁技术、电磁兼容诊断与滤波器、电磁场分析与应用和电磁检测等。