对数学教科书中一个杠杆问题的商榷

王伟民

新版人教社九年级数学教科书下册的第二十六章是“反比例函数”，在本章的第二节“26.2实际问题与反比例函数”中，教科书设置了多个反比例函数在实际问题中的应用（大部分内容是反比例函数在物理问题中的应用），其中一个是物理学里的杠杆问题。反比例函数在此问题中应用的理论依据是物理学中杠杆的平衡条件，又叫杠杆原理。为引入杠杆原理，教科书在13面这样叙述，“公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为‘杠杆原理’。通俗地说，杠杆原理为：动力×动力臂=阻力×阻力臂”[1]。为便于学生理解，提高学生的学习兴趣，课本在本页还插入了杠杆示意图，以及阿基米德的那句非常著名的名言——“给我一个支点，我可以撬动地球！”[1]。

笔者以为，这段内容之中，存在两点不妥之处。

图1

一、杠杆原理内容叙述欠妥

数学教科书将物理学中的“杠杆原理”内容叙述为“若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡”，这与“杠杆原理”内涵有很大的出入。

对杠杆而言，除作用线通过支点的力之外，若杠杆只受两个力的作用，则这两个力需要满足一定的条件杠杆方能平衡，该条件便是杠杆原理，其内容是我们上面所提的、数学教科书所谓的“通俗地说——动力×动力臂=阻力×阻力臂”。实际上，“通俗地说”之说就有点不合适，该等式是杠杆原理最为科学、严谨的表述，而且非常的精炼，若换一种叙述方式，则为“受两个力作用时，如果力与力臂成反比，则杠杆平衡”。杠杆原理既可以通过大量实验来总结，也可以运用功的原理通过推理进行逻辑论证。杠杆原理中牵扯两个物理量，力和力臂，其中力臂的物理学定义是——支点到力的作用线的垂直距离，叫做力臂。很显然，从数学的角度来看，力臂是点到直线的距离：“点”是指“支点”，“线”指的是“力的作用线（是过力的作用点沿力的方向画出的直线）”，而非两点之间的距离。在物理课学习中，学生最容易犯的错误是，将力的作用点与支点间的距离误判为力臂。而数学教科书恰恰犯了学生们易犯的错误——“若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡”，这一说法就误将力的作用点与支点间的线段长误判为力臂了，这种观点在力与直杠杆垂直时正确，否则，如果力的作用线与经过支点和力的作用点的直线不垂直，该观点将是错误的。

如图1，设弯曲轻质杠杆AOB，OA=2OB，∠AOB=120°，从O点将其吊起，并让OB保持水平，在A、B两端分别放重力为G1和G2的两物体，且G2=2G1，则，根据数学教科书中所谓的“杠杆原理”，杠杆应该是平衡的——因为两物体的重量与它们到支点的距离成反比；而实际上，杠杆B端所受压力G2的力臂是杠杆中OB的长度，但A端所受压力G1的力臂却不是杠杆OA的长度，而是图1中支点O到力G1作用线的距离OC的长度，由条件易知，OC=OB，所以，图1中的杠杆应是一个等臂杠杆，只有在G2=G1的条件下才能平衡，若G2=2G1，则杠杆将会失去平衡而绕O点按顺时针方向旋转。

为保证杠杆原理内容的正确性，防止对学生产生科学性误导，课本中的这段叙述可改为如下形式——“若两物体的重力相对于支点的力臂与其重力大小成反比，则杠杆平衡，即，动力×动力臂=阻力×阻力臂”（注：杠杆原理学生在八年级物理课中已经学习，力臂、力的作用线等概念的含义学生已经掌握）。

二、引入的名言欠妥

应该说，“给我一个支点，我可以撬动地球！”是一句流传很广、众人皆知的名言，但该语句至少从科学性上看存在问题。

“给我一个支点，我可以撬动地球！”所蕴含的科学道理是：对于杠杆，如果动力臂与阻力臂的比值足够大，我们可以用较小的力获得任意大的力。这样看来，如果运用杠杆在地球上撬物体的话，只要杠杆足够长，而且足够结实，我们可以仅凭借一个人的力量用它来撬动任意重量的物体，比如，撬动石块，撬动高楼，乃至撬动一座大山。那么，我们可否无止境地推广下去，用该杠杆去“撬动地球”呢？答案显然是否定的。上面我们所提的石块、高楼、大山这些物体，之所以需要“撬”才会“动”，是因为它们有重力，我们运用杠杆的目的就是为了克服这些物体的重力，而重力是由于地球的吸引而使物体所受的力。在茫茫宇宙之中研究地球，已无重力可言，既然没有了重力，杠杆显然也就失去了“表演”的舞台，况且由于受到太阳的吸引，地球在“飞快”地绕太阳公转（平均速度达30km/s，是声速的近百倍！），哪能是需要“撬”才会“动”？当然，如果这里的“动”指的是改变地球原有的运动速度的话，我们也没有必要去劳神费心地寻找那么长的杠杆（因为用杠杆来撬动地球，需要在宇宙中先确定一个离地球较近的星球作为支点，人站在更远的星球上来施力“撬动地球”，可以想象，这样的杠杆该需要多长！），一个人只须站在地球上往任意方向一跳，便可轻而易举的改变地球的运动速度——这是因为人向一个方向跳起时，会给地球一个反方向的作用力，就像我们站在小船上往前跳，船会相对于水面向后“跑”一样。当然，由于地球的质量太大了（与人的质量相比），地球运动速度的改变量微乎其微，但，这与一个人站在别的星球上用长杠杆来撬动地球将是等效的——欲动地球何须“撬”。

这样看来，用名言“给我一个支点，我可以撬动地球！”来引入杠杆问题，仅从科学性来讲，有点不太合适。

参考文献

[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学（九年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2014.【责任编辑 郭振玲】