使用几何画板找出双曲线的中心和抛物线的顶点

文[1]介绍了如何使用几何画板找出已知椭圆的中心，受该文启发，笔者利用几何画板进行探究，找到了已知双曲线的中心和已知抛物线的顶点，总结成文，作为文[1]的补充.

1找出已知双曲线的中心

步骤如下：

图11.在给定的双曲线某支上任意作出两条平行弦AB、CD；

2.将AB、CD的中点连接，得到直线l1；

3.在双曲线某支上作出另外两条平行弦EF、GH；

4.将EF、GH的中点连接，得到直线l2；

5.直线l1与l2的交点O就是双曲线的中心.（图1所示）

备注其中第二次作出的平行弦和第一次所作的平行弦不能平行.

该作法的证明与文[1]对椭圆所作的证明类似，此处不再累赘.

2找出已知抛物线的顶点

步骤如下：

1.在给定的抛物线上任意作出两条平行弦AB、CD；

2.将AB、CD的中点连接，得到直线l1；

图23.在直线l1上任取一点E，过E点作l1的垂线，交抛物线于FG；

4.取FG中点M，过M点作l1的平行线，得到直线l2；

5.直线l2与抛物线的交点O就是抛物线的顶点.（图2所示）

备注当平行弦AB、CD垂直于抛物线的对称轴的时候，所得的直线l1就是对称轴，此时点M就在抛物线的对称轴上，l1与抛物线的交点就是抛物线的顶点.

下面给出该作法的证明.

证明：不妨设该抛物线的方程为y2=2px（p>0）.

（1）当AB、CD的斜率不存在的时候，显然它们的中点连线就是x轴，此时点M就是点E，在x轴上，直线l2是x轴，所以其与抛物线的交点O就是抛物线的顶点.

（2）当AB、CD的斜率存在的时候，显然其斜率不为0.设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）.直线AB的方程为x-x1=m（y-y1），联立方程组x-x1=m（y-y1），

y2=2px，消去x，整理可得y2-2pmy+2pmy1-2px1=0，由韦达定理可得y1+y2=2pm，于是弦AB中点的纵坐标为pm.同理，弦CD中点的纵坐标也为pm.于是直线l1平行于抛物线的对称轴.

因为FG⊥l1，所以FG⊥抛物线的对称轴，而M是FG的中点，所以点M在抛物线的对称轴上，直线l2过点M且与l1平行，所以l2就是抛物线的对称轴，所以l2与抛物线的交点O就是抛物线的顶点.

参考文献

[1]张伟.使用几何画板如何找出已知椭圆的中心[J].中学数学杂志，2014（7）：23.

作者简介黄伟亮，男，广东肇庆人，学士，广东省佛山市南海区石门中学数学一级教师，发表文章50多篇.