吴燃+罗增儒
本刊文[1]是谈三视图问题“潜在假设”的,不料,文章的例6也存在“潜在假设”的漏洞,本文对此进行了认真的自我剖析,并从中获取积极的成果,盼广大读者批评指正.
1反思一个漏洞
1.1两个“潜在假设”需要澄清
图1在文[1]的例6中,笔者曾考虑过三视图(如图1)所示的几何体的体积.
解:图1中三视图均为四分之一的全等扇形,半径r=1,从而,几何体为单位球在第一卦限部分,体积为
V=18V球=18×43πr3=π6.
文[1]认为解法存在两个“潜在假设”:
(1)“潜在假设”每一视图均为四分之一的全等扇形.
其实,对球面x2+y2+z2=1.0012,过点0.002001,0.002001,0.002001分别作三个平行于坐标平面的截面,取所截得的第一个卦限部分(记为几何体V),则由
x2+y2=1.0012-0.0020012=1,
x2+z2=1.0012-0.0020012=1,
y2+z2=1.0012-0.0020012=1,
知几何体V的三视图形如图1,但体积不是单位球在第一卦限部分.
(2)其二,“潜在假设”三视图(如图1所示)均为四分之一全等扇形的几何体必为单位球在第一卦限部分.
其实,曲面x2+y2+z2+x2y2z2=1①
所围成的几何体不是单位球,但它“x≤1,y≤1,z≤1同时成立”,分别取x=0,y=0,z=0都得出单位圆,并且对任意的0 可见,对图1的两个“潜在假设”确实需要澄清. 1.2反思进一步思考的漏洞 在文[1]中,笔者还进一步谈到“球的三视图是三个等圆,但三视图是三个等圆的几何体未必是球”,主要论据是给出曲面 x2+y2+z2+xyz=1② 所围成的几何体,并认为它在坐标平面上的投影均为单位圆(分别取x=0,y=0,z=0都得出单位圆),但这个几何体不是球.其实,当时也有两个“潜在假设”,其一,潜在假设x≤1,y≤1,z≤1同时成立;其二,当用平行于坐标平面的平面去截曲面②时(如z=α,0<α<1),得到的截线是椭圆 x212-2α22+α+y212-2α22-α=1,(0<α<1).③ “潜在假设”这个椭圆的投影不会超出正方形及其内切单位圆. 最近,经过自我反思,发现这里面有不少漏洞. 反思1分别取x=0,y=0,z=0都得出单位圆,不能推出曲面②在坐标平面上的投影均为单位圆. 因为分别取x=0,y=0,z=0得出的是截面,虽然它与投影面并非毫无关系,但毕竟是两个概念,投影面还要考虑曲面②的其余部分在坐标平面上的投影会不会超出单位圆;即使曲面②的其余部分在坐标平面上的投影不超出单位圆,也还要考虑其在单位圆内会不会留下投影线(实线或虚线).总之,在逻辑上不能由截面是单位圆,推出投影面也为单位圆. 那么,能不能对曲面②作出严格的证明,从而弥补这个逻辑漏洞呢?这涉及下面的两个反思. 反思2椭圆③的长半轴可以大于1,其在坐标平面上的投影可以超出单位圆. 当时,默认“x≤1,y≤1,z≤1”,从而当0<α<1时,椭圆③上的点不会超出正方形及其内切单位圆,其实,椭圆③上的点x1,y1已经作了旋转变换 x=22x1-y1, y=22x1+y1, 椭圆的对称轴已位于正方形的对角线上,其长半轴可以大于1,点x1,y1在坐标平面上的投影也可以超出单位圆.比如,当α=2-3时(这个α值的来由参见下面的问题2),椭圆③的长半轴为 a=2-2α22-α=2-22-322-2-3=6-2>1.03,其顶点在坐标平面xOy上的投影超出单位圆(参见图2).就是说,图2曲面②上存在这样的点(1-3,3-1,2-3),它到0,0,2-3的距离d=1-32+1-32+02=6-2>1,因而,点1-3,3-1,2-3在坐标平面xOy上的投影超出单位圆. 反思3用截面z=α去截曲面②所得的截线还可以为双曲线. 上面说截线x212-2α22+α+y212-2α22-α=1为椭圆是有0<α<1做前提的,但由②不能推出“x≤1,y≤1,z≤1同时成立”,z=α>2可以存在.比如,点22,-22,3,1+3,-1-3,2+3就有z>2且满足曲面②(更多的点参见下面的问题3),它在坐标平面xOy上的投影就超出单位圆.一般地,当z=α而α>2时,截线 x212-2α22+α+y212-2α22-α=1,(α>2)④ 满足2-2α22+α2-2α22-α=2-2α224-α2<0,为双曲线,它有无穷多个点在坐标平面xOy上的投影超出单位圆. 综合所述,说明曲面②存在不可弥补的漏洞,我们期待读者寻找新的曲面(诸如曲面①之类),证实或否定“三视图是三个等圆的几何体未必是球”. 2获得两组题目 关注习题编拟是文[1]写作的一个背景,虽然以曲面②为基础的讨论没有获得预期的成功,但所经历的过程却可获得一批题目,结合文[1]已经提出的问题一共有两组,特与读者分享如下: 2.1第一组题目 这组题目仅涉及曲面②,但结合中学实际避开空间曲面,落脚在平面曲线上. 问题1就实数k的不同取值,讨论平面曲线x2+y2+kxy+k2-1=0的形状. 解由对称性,可对k分5种情况讨论如下.
(1)当k=0时,曲线为x2+y2=1,形状为单位圆.
(2)当0
再作变换x=22x1-y1,
y=22x1+y1,即y+x=2x1,
y-x=2y1,
有1+k2x21+1-k2y21=1-k2,
得x212-2k22+k+y212-2k22-k=1,0 其中,2-2k22-k>2-2k22+k>0(0 (3)当k=1时,曲线可变为x2+y2±xy=0, 配方x±y22+34y2=0,得y2=0, x±y22=0,有x=y=0,形状为原点0,0. (4)当1 (5)当k>2时,曲线可变为x2+y2+kxy=1-k2<0,作配方变形12+k4y+x2+12-k4y-x2=1-k2,再作变换x=22x1-y1, y=22x1+y1,即y+x=2x1, y-x=2y1,有1+k2x21+1-k2y21=1-k2,得x212-2k22+k+y212-2k22-k=1,k>2,其中,2-2k22+k2-2k22-k=2-2k224-k2<0(k>2),形状为双曲线. 说明如果考虑到现行中学教材没有讲正交变换,也可以先作变换,把问题1改写为:就实数k的不同取值,讨论平面曲线1+k2x2+1-k2y2=1-k2的形状.同理,下面的问题2、问题3也可以作相应处理. 问题2对0 (1)求证,对任意的x,y∈M,均有x<1,y<1; (2)判断点集M的形状; (3)求Ax,y∈M,使点A到原点的距离取最大值,并求出这个最大值. 解(1)将点集M的表达式变为1-k2-y2=x2+kxy,配方(或直接对M的表达式用判别式)有1-k2-y2+k2y24=x+ky22≥0,但0 (2)参见问题1第(2)种情况,曲线的形状为椭圆(不赘). (3)点集M的表达式可变形并用基本不等式,有1-k2=x2+y2+kxy≥x2+y2-kxy(当kxy≤0时取等号)≥x2+y2-kx2+y22(当x=y时取等号). 对0 这里,又用了基本不等式,当2-k=32-kk=2-3时取等号. 取k=2-3且x=-y时,有kxy≤0且x=y,则上述各不等式同时取等号,由x=-y, x2+y2=6-2,可解得A13-1,1-3∈M,A21-3,3-1∈M,使点A到原点的距离取最大值6-2. 同样,取k=3-2且x=y时,有kxy≤0且x=y,得A33-1,3-1∈M,A41-3,1-3∈M,使点A到原点的距离取最大值6-2. 所以,存在M中的4个点A1,A2,A3,A4,使点Ak(1≤k≤4)到原点的距离取最大值6-2. 说明第(3)问也可以用第(2)问的结论,由点A到原点的距离不超过椭圆的长半轴来求解. 问题3对k>2,给出点集M=x,yx2+y2+kxy+k2-1=0. (1)求证,对任意的x,y∈M,均有x>2,y>2; (2)判断点集M的形状; (3)求Ax,y∈M,使点A到原点的距离取最小值,并求出这个最小值. 解(1)将点集M的表达式变为k2-1+y2=-x2-kxy,配方(或直接对M的表达式用判别式)有k2-1+y2-k2y24=-x+ky22≤0,但k>2,得y2≥4k2-1k2-4=4+12k2-4>4,即y>2.同理得x>2. (2)参见问题1第(5)种情况,曲线的形状为双曲线(不赘). (3)点集M的表达式可变形并用基本不等式,有1-k2=x2+y2+kxy≥x2+y2-kxy(当kxy≤0时取等号)≥x2+y2-kx2+y22(当x=y时取等号). 对k>2,得x2+y2≥2k2-2k-2=8+2k-2+3k-2≥8+43=6+22, 这里,也用了基本不等式,当k-2=3k-2k=2+3时取等号. 取k=2+3且x=-y时,有kxy≤0且x=y,则上述不等式同时取等号,由x=-y, x2+y2=6+2,可解得A1(1+3,-1-3)∈M,A2-1-3,1+3∈M,使点A到原点的距离取最小值6+2. 同样,取k=-2-3且x=y时,有kxy≤0且x=y,得A31+3,1+3∈M,A4-1-3,-1-3∈M,使点A到原点的距离取最小值6+2. 所以,存在M中的4个点A1,A2,A3,A4,使点Ak(1≤k≤4)到原点的距离取最小值6+2. 说明第(3)问也可以用第(2)问的结论,由点A到原点的距离不小于双曲线的实半轴来求解.其实,对曲线③、④中的fα=2-2α22-α求导,由f′α=0可求得两个极值点:α1=2-3对应问题2的最大值,α2=2+3对应问题3的最小值. 2.2第二组题目 结合文[1],可就三视图的概念及相关情况提出如下问题: 问题1三棱锥的三视图轮廓“形状都相同,大小均相等”,这样的的三视图有几种情况? 问题2证明“三视图是三个全等正三角形”的三棱锥不存在? 问题3三视图轮廓为“三个全等的等腰直角三角形”的三棱锥到底有几种情况? 问题4证实或否定“三视图是三个等圆的几何体未必是球”. 问题5如何给出几何体三视图的代数定义?怎样推出一个曲面Fx,y,z=0所围成几何体的三视图? 参考文献 [1]吴燃,罗增儒.三视图问题要防止消极的“潜在假设”[J].中学数学杂志,2014(9).