关于等幂和一个不等式的注记

宋志敏　尹枥

文[1]作者介绍了等幂和的一些背景与结果，特别介绍了紧密联系数论的一些结果.文[2]利用贝努里不等式及数学归纳法证明了关于等幂和的一个猜想.即对于任意的λ∈N*，则有

nλ+1λ+1<1λ+2λ+…+nλ<（n+1）λ+1λ+1.

文[3]作者采用定积分估计的方法重新证明了上述不等式.本文通过等幂和的一个等式证明并改进了上述不等式的右边，并且也给出了等幂和的一个下界.最后把主要结果推广到更一般的情况.

引理1对任意的λ∈N*，成立

∑ni=1iλ=（n+1）λ+1λ+1-1λ+1+∑λ-1k=0Ckλ+1λ+1∑ni=1ik.

证明利用二项式定理易知（p+1）λ+1=C0λ+1p0+C1λ+1p1+C2λ+1p2+…+Cλ+1λ+1pλ+1.

令p=1，2，…，n，并依次相加，消去同类项可得

（n+1）λ+1=1+C0λ+1∑ni=11+C1λ+1∑ni=1i1+…+Cλλ+1∑ni=1iλ.所以Cλλ+1∑ni=1iλ=（n+1）λ+1-1+C0λ+1∑ni=11+C1λ+1∑ni=1i1+…+Cλ-1λ+1∑ni=1iλ-1.

整理化简即证明了引理1.

引理2[4]（Cp不等式）对任意的ak，bk∈R，k=1，2，…，n，p>0，成立∑nk=1akp≤Cp∑nk=1akp，其中Cp=1，0

np-1，p≥1.

定理1对任意的λ∈N*，有n（n+1）λ2λ<1λ+2λ+…+nλ<（n+1）λ+1-1λ+1.

证明利用引理1，右边不等式显然成立.对于左边不等式，利用引理2可得

∑nk=1iλ≥1nλ-1∑nk=1iλ=n（n+1）λ2λ.

注1显然（n+1）λ+1-1λ+1<（n+1）λ+1λ+1，所以定理1中右边不等式改进了文[1]中不等式的右边.

注2定理1中左边不等式与文[1]中不等式左边不能相互包含.

下面考虑更广泛的问题.即aλ1+aλ2+…+aλn的上下界.其中{an}为正项等差数列，首项设为a1，公差为d≠0.类似的，利用二项式定理可得

（ap+d）λ+1=C0λ+1dλ+1+C1λ+1a1pdλ+…+Cλ+1λ+1aλ+1p.

令p=1，2，…，n，并依次相加，消去同类项可得

（an+d）λ+1=ndλ+1+C1λ+1dλ∑ni=1a1i+…+Cλλ+1d∑ni=1aλi+aλ+11.

整理化简可得

∑ni=1aλi=（a1+nd）λ+1（λ+1）d-aλ+11（λ+1）d-∑λ-1k=0Ckλ+1dλ+1-k（λ+1）d∑ni=1aki.

另一方面，利用引理2可得

∑nk=1aλi≥1nλ-1∑nk=1aiλ=（2na1+n（n-1）d）λ2λnλ-1.

综合上面的分析可以得到如下定理：

定理2对任意的λ∈N*以及{an}为正项等差数列，首项设为a1，公差为d≠0，则有

（2na1+n（n-1）d）λ2λnλ-1

注3若定理2中a1=1，公差为d=1，则定理2中不等式即为定理1中不等式.

参考文献

[1]陈景润，王天泽.关于等幂和中的一些问题[J].中学数学杂志，2013（5）.

[2]王伯龙.自然数等幂和的一个不等式[J].数学通讯，2013（7）.

[3]阮灵东.一个有趣不等式的另证与推广[J].数学通讯，2014（1）.

[4]匡继昌.常用不等式[M].济南山东科学技术出版社，2010（第四版）.

作者简介宋志敏，女，1979年7月生，山东滨州人，中学一级教师，滨州市学术培养人，获得2013年滨州市教育先进个人称号，获得滨州市优秀自然学术成果奖二等奖一项，三等奖一项.发表论文20余篇.