一类代数问题的三角解法

●查正开(常熟市中学江苏常熟215500)

一类代数问题的三角解法

●查正开(常熟市中学江苏常熟215500)

文献［1］通过对一些数学奥林匹克不等式试题的分析，发现一些不等式的共同背景，即在“p，q，r为正实数，且p2+q2+r2+2pqr=1”的条件下证明某个不等式，得出了该条件下的5条性质，并应用这些结论来证明有关条件不等式.

性质设p，q，r为正实数，且p2+q2+r2+2pqr=1，则

由于这些性质形式差异较大，其证明方法也各不相同，加之证明技巧性很强，因此难以让学生理解和掌握.笔者受文献［2］的启发，通过思考探究出这类条件问题的几何本质，并由此得出这些性质的统一三角法证明，从而可“模式识别”，轻松自然地得到这类问题的一般解法.

一方面，在△ABC中，

这说明cosA，cosB，cosC满足其条件中的等式.

另一方面，若设p=cosA，q=cosB，r=cosC，因p，q，r是正实数，故不妨设，则条件等式变为cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1，即

因为A，π－B－C∈(0，π)，得A+B+C=π，所以A，B，C可作为某锐角三角形的3个内角.

综合上述2个方面可得如下定理:

定理正实数p，q，r若满足p2+q2+r2+2pqr=1，则它们分别对应于某锐角三角形的3个角的余弦.

由本定理我们得出“p，q，r为正实数，且p2+q2+r2+2pqr=1”的代数条件即为三角形问题的几何本质，从而文献［1］的性质可给出统一的三角证明:

由条件根据上述定理可设p=cosA，q=cosB，r=cosC，则性质1)所证不等式(1)即:在△ABC中，

在不等式(6)中令xy=cosA，yz=cosB，zx=cosC，立得式(1')成立.

性质2)即证明:在△ABC中，

因为在△ABC中，

性质3)即证明:在△ABC中，

利用熟知的不等式可得

性质4)即证明:在△ABC中，

根据抽屉原理知，在△ABC的3个角中必有2个角同时不大于或不小于，不妨设为A，B，则

性质5)即证明:在△ABC中，

故不等式(5')左边成立.又因为

故不等式(5')右边也成立.

由上述证明可知，文献［1］中所给出的“p，q，r为正实数，且p2+q2+r2+2pqr=1”条件下5个性质应用定理进行转化，运用三角知识均可得到简捷高效的证明.因此我们无需刻意来记住这些结论，若碰到这类条件下的问题直接抓住其几何本质，利用“三角”这把利器可迅速求解.

例1已知x＞0，y＞0，z＞0且x2+y2+z2+2xyz=1，求证:

(《学数学》2015年第1期数学贴吧问题)

分析根据题设条件可直接利用定理，将问题转化为一个简单的三角不等式.

证明设x=cosA，y=cosB，z=cosC，则由上述定理结论知A，B，C为锐角△ABC的3个内角，则

因此，原不等式成立.

例2设a≥1，b≥1，c≥1，且满足abc+2a2+2b2+2c2+ca－cb－4a+4b－c=28，求a+b+c的最大值.

(2011年全国高中数学联赛加试试题)

分析由已知变形得，令a－1=4p，b+1=4q，c=4r，则已知等式即为p2+q2+r2+2pqr=1.

解设p=cosA，q=cosB，r=cosC，则由定理知A，B，C为锐角△ABC的3个内角，利用熟知的不等式，得

说明对于不等式，除了性质2证明中的方法外，还可构造函数，由f(x)为凸函数，利用琴生不等式得到证明.

例3设正实数u，v，w满足，求证

(第48届中国国家集训队测试题)

分析由u，v，w为正实数可令u=4p2，v=4q2，w=4r2，其中p＞0，q＞0，r＞0，则条件等式即为p2+q2+ r2+2pqr=1.

证明设p=cosA，q=cosB，r=cosC，则由定理知A，B，C为锐角△ABC的3个内角，所证不等式即为

由于△ABC中有嵌入不等式(6)，令xy=cosA，yz=cosB，zx=cosC，代入(6)，立得式(7)成立.

例4设非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+xyz=4，证明:xy+yz+zx－xyz≤2.

(第30届美国数学奥林匹克竞赛试题)

分析当3个数中有1个或2个数取0时命题显然成立，故只需考虑正实数x，y，z的情形.

令x=2a，y=2b，z=2c，则命题转化为“正实数满足a2+b2+c2+2abc=1，求证:

证明由定理可设a=cosA，b=cosB，c=cosC，则命题即为:已知△ABC，求证:

由此可知，应用定理可将“p，q，r为正实数，且p2+q2+r2+2pqr=1”条件下的一类代数问题转化为三角问题，借助三角知识可以简捷处理.需要指出的是:这类条件问题的竞赛试题经过命题者精心包装和整合改编，其形式变幻莫测，外表众彩纷呈.解题者应通过变形转换，拨开它们的神秘面纱和虚假外壳，揭示并暴露其几何本质，模式识别地运用三角知识，给出简捷优美的解答.

最后笔者再提供几个经典试题，读者可采用上述方法自行加以解答，相信对这类问题会有更深入的理解和体会.

练习测试题:

(2007年美国国家集训队试题，2007年伊朗数学奥林匹克竞赛试题)

提示:将条件变形为x2y2+y2z2+z2x2+2x2y2z2=1，令xy=p，yz=q，zx=r，则问题转化为“正实数p，q，r满足p2+q2+r2+2pqr=1，求证:”.

2.设正实数x，y，z满足xy+yz+zx+xyz=4，求证:x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南数学奥林匹克竞赛试题)

提示:令xy=4p2，yz=4q2，zx=4r2，则已知条件即为p2+q2+r2+2pqr=1，待证式即为

(2011年中欧数学奥林匹克竞赛试题)

(2004年全国高中数学联赛河南省预选赛试题)

提示:作变换x=16p2，y=16q2，z=16r2(其中p＞0，q＞0，r＞0)，则问题转化为“已知正实数满足p2+ q2+r2+2pqr=1，求证:

5.已知a，b，c为正实数，a2+b2+c2+abc=4，求证:a+b+c≤3.

(第20届伊朗数学奥林匹克竞赛试题)

提示:设x=2p，y=2q，z=2r，则问题转化为“正实数满足p2+q2+r2+2pqr=1，求证:

［1］邹守文.一类不等式奥林匹克试题的共同背景［J］.中学教研(数学)，2012(9):43-46.

［2］程汉波.三角代换，巧证代数不等式［J］.中学数学研究，2014(3):38－39.