对一道意料之外的高考难题的研究

●梅磊(黄陂区第六中学湖北武汉430300)

对一道意料之外的高考难题的研究

●梅磊(黄陂区第六中学湖北武汉430300)

1)求函数f(x)的最小正周期;

此题是该高考卷解答题的第1题，命题者的本意是设计一道相对简单的试题，使文科考生易于得分，从而增加继续考试的信心.但出乎命题人意料的是，此题满分12分，平均得分为4.73分，实测难度系数为0.39，成为难题.在133 069名文科考生中，有49 799人得0分.

1 试题的立意研究

本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，倍角公式，函数的对称性、周期性和值域等基础知识，同时考查推理论证能力和运算求解能力.

作为考查三角知识的解答题，力求较全面地体现三角函数的对称性、周期性、单调性等基本知识和三角变换常用的变角、变名、降次等基本技能，在此基础上对考生“如何预测变换目标、如何选择变换公式、如何设计变换途经”等方面进行考查.

作为解答题的第1题，试题由文科考生相对熟悉的形式给出，给考生一种似曾相识的感觉，使考生易于得分，从而增加继续考试的信心.

2 试题的背景研究

问渠那得清如许，为有源头活水来!可以看出试题是由人教版课本必修4的多个习题综合、改编而成的.

题源1已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosxsin4x.

1)求f(x)的最小正周期;

(人教版教材第147页A组第10题)

题源2容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有，对称中心的坐标是什么?另外，正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是什么?

(人教版教材第46页A组第11题)

你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.

题源3若函数在区间上的最大值为6，求常数m的值及当x∈R时f(x)的最小值，并求相应x的取值集合.

(人教版教材第147页B组第6题)

不难看出，原题设计的函数与题源1类似，其三角变换方法也与之完全相同，原题的第1)小题与题源1的第1)小题也一样，原题“图像关于直线x=π对称”的条件正是题源2研究的问题，原题第2)小题利用“图像经过点”求出λ，进而求出函数的值域，与题源3的利用“f(x)在区间上的最大值为6求出m，进而求出当x∈R时f(x)的最小值及相应x的取值集合”设计类似.

事实上，课本是高考试题的重要来源.课本，一课之本，是教师的上课之本，是学生的学习之本，更是高考的命题之本!

此外，原题设计的形式是一个文科考生相对熟知的形式，在2006年、2008年和2010年的湖北省数学高考文科试卷中多次出现，因此原题也可以看成是由以下3道高考题自然发展而成的.

题源4设向量a=(sinx，cosx)，b=(cosx，cosx)，其中x∈R，函数f(x)=a·(a+b).

1)求函数f(x)的最大值与最小正周期;

(2006年湖北省数学高考文科试题第16题)

题源5已知函数

1)求函数f(x)化简成Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0，ω＞0，φ∈［0，2π))的形式，并指出f(x)的周期;

(2008年湖北省数学高考文科试题第16题)

题源6已知函数，.

1)函数f(x)的图像可由函数g(x)的图像经过怎样的变化得出?

2)求函数h(x)=f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合.

(2010年湖北省数学高考文科试题第16题)

不难看出，原题函数给出的方式与题源5相同，原题函数三角变换目标形式就是题源2第1)小题的形式，原题第2)小题求函数在定义域上的值域问题，与题源6第2)小题类似.

事实上，往届高考试题是新高考试题的重要来源.高考命题强调稳定，也就是承认命题是一种自然的发展，不会有突变，不能割断历史.

3 试题的解法研究

思路第1)小题首先根据三角函数的表达式进行三角变换，然后利用“图像关于直线x=π对称”求出ω，进而求出函数的周期.第2)小题利用“图像经过点”求出λ，进而求出函数的值域.

解1)因为

4 试题的错解剖析

尽管原题源于课本，且在湖北省数学高考中多次考查，是文科考生相对熟知的形式，但实测难度系数仅为0.39，意外成为难题.考生思维受阻与典型错误主要反映在以下3个方面:

1)在进行三角变换时出错，或不清楚三角变换的目标形式，或记错公式(如将正负号弄错)，或系数弄丢，或遗漏λ，导致后续解题出错;

2)对三角函数的对称性等基本性质未掌握，不能将题干“图像关于直线x=π对称”转化为正确的代数式，误认为当x=π时，f(x)取最大值;

从上面的分析可以看出，考生出现问题最多的地方都是由于对基础知识理解不透、掌握不牢、运用不当造成的，因此数学学习和复习的重点应放在理解课本上.高考数学考什么?考的是对数学课本的熟悉、对数学知识的理解、对数学能力的强化、对数学思想的领会、对数学方法的掌握.

5 试题的价值研究

一个问题的价值并不在于它的深奥，而在于它的示范作用;一道试题的编制并不在于它的精巧，而在于它的检测功能.原题的价值是什么?要回答这个问题，首先要搞清楚三角变换的实质和学习三角变换的目的.

人教A版教材必修4“三角恒等变换”一章的引言告诉我们:三角变换是只变其形不变其质的，它可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们简化三角函数式，从而使研究更加方便、有效.三角变换包括变换的对象、变换的目标、以及变换的依据和方法等要素.两角和与差的正弦、余弦和正切公式就是三角变换的基本依据.通过对这些公式的探求，以及利用这些公式进行三角变换，在“怎样预测变换目标，怎样选择变换公式，怎样设计变换途经”等方面作出思考，这些都将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力.