不定积分性质求法分析

李满成

（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434000）

不定积分性质求法分析

李满成

（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434000）

随着人类社会的不断发展，科学技术的不断进步，数学作为一门基础学科，早已经渗透到各个科学研究的领域。文章通过简单系统的分析，总结了数学分析中不定积分的几种基本计算方法，及其性质应用。

数学分析;微积分;不定积分性质应用

不定积分是数学分析中微分学的重要内容之一，不定积分的性质理解与应用计算也是高等数学中教学的重中之重。主要是因为在数学分析中，不定积分的求解方法丰富多变、技巧性强、灵活性也很大。因此如果掌握了不定积分，不仅能够开拓我们的思路，还能培养我们灵活的思维，更能够让我们更好的理解和应用微积分，真正了解运用微积分解决各种数学、科学中的难题。

本文先简单的介绍一下微积分学的历史发展由来，然后再依次从不定积分的原理性质、求解方法和应用进行系统的归类分析总结。

1 微积分的创立

1.1 产生背景

微积分是微分学和积分学的简称。微积分的创立是数学史上最重要的事件之一，其基本思想源于古希腊的求积术，但直接原因是17世纪的科技发展的需要。且在微积分史上，积分概念先于微分概念产生，积分是与某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中发展起来的。而微分则是后来数学家们对曲线作切线问题和函数的极大值、极小值问题的研究时才产生了微分。再到后来人们又注意到，积分和微分彼此为互为逆运算因而才慢慢相互关联起来。

1635年，意大利数学家卡瓦列里建立了不可分原理。其原理为：“两同高得立体，若在等高处的截面积恒相等，则它们的体积相等；如果截面积成定比，则它们的体积之比等于截面积之比。”基于此理论上，他用巧妙的几何方法求出若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积及体积公式等，极大程度上启发了微积分的创立。

1637年法国费马给出一种求切线的方法，与现代方法基本一致。费马还在文中讲述了求最大值和最小值的方法，确立了多项式方程代表的曲线上的极大点、极小点和拐点。他还将这一方法用在了如物体的重心、曲线的长度及旋转面的面积等各类问题的求法，并应用于光学问题研究，其工作被认为是“微积分新计算的第一发明人”。

1670年，英国数学家巴罗应用几何方法对曲线进行计算，在求切线时提出了“微分三角形”概念。巴罗还使用了与费马同样的方法求曲线的切线，并且可能当时认识到了微分法是积分法的逆运算，是第一个如此认为的数学家。

1.2 微积分创立

随着时代的进步，虽然微积分的知识大量被积累起来，但这些知识往往沉湎于细节，而且多用几何方法寻求严密的推理，忽略了新发展的解析几何，而往往没什么进展。直到17世纪中后期，英国的牛顿与德国的莱布尼茨最终完成了微积分的创造，历时上对于谁先创造了微积分是有很大的争议，现在数学史统一认为两位数学家都是微积分的创作者。

牛顿。据牛顿自述，他于1665年发明正流数术（即微分法），1666年建立反流数术（即积分法），1666年写出第一篇微积分论文《流数简述》，其中以速度形式引进了流数，使用无穷小瞬概念，建立了“微积分基本定理”,并讨论了正、反微分运算的各种应用。但到了1687年，牛顿的《自然哲学之数学原理》在伦敦出版，这才是他第一次公开表述了微积分方法。

莱布尼茨。1673年阐述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通过积分变换，得到平面曲线的面积公式。1675年10月，他使用了不定积分符号，用不定积分表示面积，还得到分部积分公式。1675-1676年他得到微积分基本定理，后来后来这一原理被称为“牛顿－莱布尼茨公式”。1677年他明确定义了为函数的微分，给出了的演算规则。1684年，莱布尼茨发表第一篇微积分论文。

2 不定积分的原理性质

（1）不定积分的概率。定义：函数f(x)在区间I有定义，设F(x)是f(x)在I的一个原函数，则称F(x)+c为的f(x)不定积分，记作∫f(x)=F(x)+c

其中∫称为积分符号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，C称为积分常数。再这里要特别注意，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

几何意义：函数f(x)的原函数图形成为f(x)的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，f(x)为积分曲线的斜率。

（2）基本性质。性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即：

∫[f(x+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即：

∫kf(x)dx=k∫f(xdx)（k是常数，k≠0）

3 求解不定积分的思想方法

3.1 定义法

根据不定积分的定义，我们可知，只要能找出f(x)的一个原函数，就能求出它的不定积分。而且由定义，我们还知道，求积与求导是互为逆运算，所以还可以利用这些关系来求不定积分。

利用定义法来求不定积分关键在于能否找到f(x)的一个原函数。

3.2 直接积分法

用直接积分法来求不定积分就是要经过适当的恒等变行，然后将被积函数转化为基本积分公式中的几个被积函数的代数和，再利用基本积分公式和不定积分的性质来求不定积分。

利用直接积分法的关键在于，要确保在转化过程中的恒等变换不出错，更要熟练地掌握基本积分公式与不定积分的性质。

3.3 第一类换元积分法（凑微分法）

当被积函数是一个因式时，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分，凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。

被积函数有两个因式时，先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式，余下一个因式与dx结合凑微分，同理可由积分基本公式和性质求出积分结果。

利用第一换元积分法（凑微分法）关键就是要把被积式子中的某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式。

3.4 第二类换元积分法

第二类换元积分法主要是通过x=φ(t)对所求积分进行化简，其主要形式有以下三类：

（3）倒数代换：当积分表达式分母中自变量的幂较高于分子时，我们x=可以采用进行化简求解积分。

利用第二类换元积分法的关键就是要恰当的选取积分变量作为新积分变量的一个函数，并且具有反函数。

3.5 分部积分法

分部积分法是运用公式∫udv=uv-∫vdu进行求解不定积分，通常适用于两类不同函数相乘的积分。此法的主要是u，dv的选择。通常来讲，先选定dv，使选定的v′dx能容易的凑出微分dv且积分后不是很复杂，求导后变简单，一次分部积分后，未积出的部分∫vdu要比原来的积分∫vdv简单。如果被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数中任意两类函数的乘积，那么，我们可以考虑按照反、对、幂、三、指的顺序来选取u，另一个函数想办法凑成dv进行分部积分。

利用分部积分法的关键就是要降低多项式部分的系数和简化被积函数的类型。

4 结语

不定积分是微积分中重要的组成部分，不定积分的概念，性质，求法，以及应用在数学分析中有着至关重要的位置，也是微积分中的基础部分，所以掌握不定积分的求法是学习微积分的基础。

不定积分的求法各种各样，本文在这里主要讨论了如何利用定义法、直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分步积分法五种最基本的方法，也是最常用的方法来求解不定积分。当遇到不定积分的题目时，我们应当先分析题目结构，然后灵活选择最方便最简洁的求解方法。

由于本人能力有限，本文只分析了不定积分的基本性质和不定积分基本的五种求解方法，并未对不定积分进行深入的研究探索，但是本文所论述的知识，乃是学习数学分析的基础知识，只有掌握了这些基础知识，将才能在微积分学的研究上有更大的进步发展空间。而且随着数学知识大量的应用到科学技术发展中，

能够掌握不定积分的基本知识，将对我们的工作和教育也有着重要意义。

[1]崔玮.浅谈高等数学中不定积分的求法[J].科技信息，2010，（11）：1-2.

[2]方秋金.数学学习论选讲[M].北京：北京师范大学出版社,1992.

An Analysis of Solving Method based on the Properties of Indefinite Integral

LI Man-cheng
(Department of Information and Mathematics,Yangtze University,Jingzhou,Hubei434000,China).

With the continuous development of human society and the constant progress in science and technology, mathematics,as a basic subject,has already penetrated into every field of scientific reserches.This paper made brief and systematic analysis,summarizes several basic calculation methods of indefinite integral in mathematical analysis and the application of its properties.

mathematical analysis;calculus;application of the properties of indefinite integral

O172.2

A

2095-980X（2015）04-0147-02

2015-02-15

李满成(1991-),男，湖南耒阳人，主要研究方向：数学与应用数学。