具有时变时滞离散系统稳定性的新准则

康 卫，程向阳，钟守铭

(1.阜阳师范学院信息工程学院，安徽阜阳 236041;2.电子科技大学数学科学学院，四川成都611731;3.阜阳师范学院商学院，安徽阜阳 236041)

1 引言

时滞经常发生在各种各样的工程、物理系统中，比如生物系统、神经网络、网络控制系统等。众所周知，时滞的出现往往会破坏系统的稳定性，甚至产生震荡、混沌现象，从而给系统在实际应用过程中带来许多困难。因此，对时滞系统的稳定性研究成为当前的一个热点问题，得到了很多重要的结果[1-8，15，16]。鉴于此，人们采用很多方法来减少系统的保守性，如自由矩阵的方法[2]，Jensen 不等式方法[6]，Reciprocally Convex 方法[3]，Wirtinger-based 积分不等式方法[4]。

值得注意的是，基于计算机计算技术的快速发展，一方面由于离散系统更加适用于计算实验、仿真等过程，另一方面因为离散系统稳定性和控制与连续时间系统有着较大的区别。所以，近年来对于离散系统的稳定性研究得到更多的关注[9-14]。文献[11]作者利用自有矩阵技术给出了离散系统稳定的条件。文献[14]作者利用Reciprocally Convex方法进一步分析了时变时滞神经网络的全局指数稳定性条件。由于在减少系统保守性方面，还有很大的研究空间。因此本文研究离散系统稳定性问题，采用时滞分割方法和新的积分不等式以及Reciprocally Convex 方法，得到了系统稳定性的一个新的充分条件。最后，数值算例表明了新结果的可行性和有效性。

2 预备工作

考虑如下的时滞离散系统:

其中，x(k) 是系统的状态变量，A = (aij)n×n，B = (bij)n×n是常数矩阵; 时滞τ(k) 满足τm≤τ(k) ≤τM;且τm，τM为正整数。

下面的引理和定义对于本文主要结论的证明是非常有用。

引理1[1，16]给定常数矩阵，Ω1，Ω2，Ω3且Ω1若

其中η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

证明 事实上，

因此很容易可以得到

证毕。

引理3[3]对任意的向量ξ1，ξ2，给定矩阵T，N，参数α ＞0，β ＞0 且则

定义1[12，13，14]如果，则系统(1)是均方渐进稳定的。

3 主要结论

规定τ0∈ (τm，τM)，τ0m= τ0－τm，τM0= τM－τ0，η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

定理1 给定整数τm，τM，系统(1) 是渐进稳定的，如果存在矩阵

及任意的矩阵N1，N2，下面线性矩阵不等式成立:

证明 首先定义如下的李雅普诺夫泛函

情形1:当变时滞τ( k) ∈ [τm，τ]0 时，计算差分算子可以得到

又因为

利用引理2 可得:

当τ( k )∈ (τm，τ0)时，由Jensen 不等式得到:

根据引理3 可以得到:

其中

τ( k) = τm或τ( k) = τ0，则有α1( k) = 0 或者α2( k) = 0 ，结论(7)显然也是成立的。

利用Jensen 不等式，则有

由上面的计算，很显然有

根据定理的条件T1－ X33≥0 和引理1

情形2:当变时滞τ( k )∈ [τ0+1，τM]时

与情形1 相似的分析方法和处理技巧，可以得到

综上所述，由(8)和(9)，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统(1)是渐进稳定的。证毕

注2 在处理时变时滞τ( k )∈ [τm，τM]，利用时滞分割的方法，把时滞区间 [τm，τM]分割成两部分 [τm，τ0]和 [τ0，τM]，这样的好处是可以利用更多的系统参数信息x (k － τ0)，同时也能够减少系统的保守性。

注3 本文引用了Reciprocally Convex 方法和处理用Reciprocally Convex 方法的好处是在计算的结果中我们在矩阵的主对角线上引入了自由矩阵N1，N2，很明显这样可以有效地减少系统的保守性。

4 数值实例

例1 设系统(1)的参数如下

当τm=2 时，文献[11，12，13，14]中τM的最大上界分别是7，8，9，9 ，而根据定理1，可以得到τM的最大上界为11 。因此很明显的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的结果相比于文献[11，12，13，14]。表1 进一步的展示了当τm取不同值得时候τM的最大上界，通过表1 更能直观的看到本文定理1 的结果比文献[11，12，13，14]的结果好，保守性更弱。

表1 τm 取不同的值τM 的最大上界

例2 设系统(1)的参数如下

当τm=2 时，文献[11，12，13，14]中τM的最大上界分别是13，14，17，17 ，而根据定理1，可以得到τM的最大上界为18 。因此很明显的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的结果相比于文献[11，12，13，14]。表2 进一步的展现了当τm取不同值得时候τM的最大上界，通过表2 更能直观的看到本文定理1 的结果比文献[11，12，13，14]的结果好，保守性更弱。

6 结束语

本文运用新的积分不等式、时滞分割方法及Reciprocally Convex 方法，研究了一类具有时变时滞离散系统渐进稳定性问题，得到了一个新的充分条件。新判据较以往文献有更广的应用范围，因此可以将本文的方法推广到具有离散神经网络系统的稳定性研究，可以得到其鲁棒稳定的新的判定条件。

表2 τm 取不同的值τM 的最大上界

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