正方体中三棱锥的三视图研究

1 问题背景

三视图问题是新课改后高考必考内容，试题的类型也在不断的变化和创新.正方体和三棱锥是关于三视图试题中的两个重要的模型，结合这两个模型构造、设计出了很多新颖别致的试题.比如：（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若画该四面体的三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）.

通过对该试题的解答，会产生哪些启发和联想呢？

2 问题解答

首先，根据题意在空间直角坐标系中构造出四面体A-B1D1C的的图形;

其次，为了便于研究这个四面体的三视图，将四面体的图形进行补充，补充出如图1所示的四面体的各个顶点都在正方体

ABCD-A1B1C1D1的顶点;

图1 图2

第三，做该四面体三视图中的正视图时，以平面zOx为投影面，做出四面体A-B1D1C在正方体的正视图为ADD1A1.如图2所示，答案A.

感悟：当我们将四面体A-B1D1C放在正方体ABCD-A1B1C1D1中时，以平面zOx为投影面的正视图ADD1A1很容易被找到，之所以容易就是因为找到了正方体这个模型，结合这个模型再找它的三视图就变得容易了.结合这个模型还会得到哪些三视图的结论呢？

3 问题模型

3.1 提出问题

以正方体的顶点为三棱锥的顶点构成的三棱锥的三视图会是什么样的图形？

为了研究问题的方便，以下的涉及三视图的问题都是在满足：平面zOy为正视图的投影面，平面xOy为俯视图的投影面，平面zOx为左视图的投影面的条件下进行的.

3.2 分类解答

类型1 正方体中相交于同一点的三条棱构成的三棱锥.

如图3所示，在正方体中，相交于同一点的三条棱构成的三棱锥因为顶点的位置的不同应该有8个.在这8个三棱锥中，每个三棱锥的三视图（如图4所示）都是三个全等的等腰直角三角形.

图3 图4

类型2 正方体中成异面直线的两条棱的四个端点构成的三棱锥.

在正方体中，由成异面直线的两条棱的四个端点构成的三棱锥共有16个.这16个三棱锥的三视图也是全等的等腰直角三角形.例如，由成异面直线的棱AD，A1B1的顶点构成的三棱锥如图5所示，与成异面直线的棱D1D，A1B1的顶点构成的三棱锥，如图7所示，具有完全相同的三视图.如图6、8所示.

图5 图6图7 图8

类型3 正方体中成异面直线的一条棱与正方体的一条面对角线构成的三棱锥.

在正方体中，成异面直线的一条棱与一条面对角线构成的三棱锥有两类：一类是和棱相交的侧面的对角线与棱构成的三棱锥.例如，如图9所示，A1B1，BC1四个顶点构成的三棱锥.此类三棱锥与类型1中的由同一顶点出发的三条棱构成的棱锥完全相同.如图10所示，此类三棱锥的三视图为三个全等的等腰直角三角形.

图9 图10图11 图12

另一类是和棱平行的平面内的对角线与棱构成的三棱锥.例如，如图11所示，A1B1，AC四个顶点构成的三棱锥.如图12所示，此类三棱锥的三视图中有一个正方形和两个全等的等腰直角三角形.

类型4 正方体中成异面直线的一条棱与正方体的一条体对角线构成的三棱锥.

在正方体中，成异面直线的一条棱与正方体的一条体对角线构成的三棱锥共有24个.

图13 图14

例如，如图13所示，棱A1B1和体对角线AC1的顶点构成的三棱锥的三视图为三个全等的等腰直角三角形，如图14所示.同样其他的三棱锥构成的三视图也是三个全等的等腰直角三角形.

类型5 正方体中成异面直线的两条面对角线构成的三棱锥.

在正方体中，成异面直线的两条面对角线构成的三棱锥分成两类：

一类是两个面对角线在相交的两个面中，如图15所示，此类的面对角线的顶点构成的三棱锥和一条棱与一条面对角线构成的棱锥是一样的.如图16所示，此类三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形.

图15 图16图17 图18

另一类是两个面对角线在两个互相平行的平面中，如图17所示，此时构成的三棱锥的三视图是三个全等的正方形，如图18所示.特别要注意三视图中正方形内部两条对角线的虚实.

类型6：正方体中成异面直线的面对角线和体对角线的顶点构成的三棱锥.

图19 图20

在正方体中，成异面直线的面对角线和体对角线的顶点构成的三棱锥一共有24个，如图19所示.如图20所示，这样的三棱锥的三视图是两个全等的等腰直角三角形和一个正方形.这种三棱锥构成的三视图是唯一一种既有直角三角形，又有正方形的三视图.

3.3 规律总结

通过以上各类不同三棱锥的三视图发现，由正方体的顶点为顶点的各种不同类型的三棱锥的三视图具有下列特点：

第一，构成三视图的图形为等腰直角三角形或正方形.

第二，构成三视图的等腰直角三角形都全等.

第三，构成三视图的正方形的两条对角线都存在，且一个虚线，一个实线.

第四，构成三视图的等腰直角三角形或正方形的边长都相同.

第五，只有以面对角线和体对角线端点为顶点构成的三棱锥的三视图才能使等腰直角三角形和正方形同时存在.

第六，只有互相平行的面对角线构成的三棱锥的三视图才都是正方形.

4 问题拓展

拓展1：在棱长为1的正六棱柱中，若以棱柱的四个顶点为顶点构造三棱锥，则三棱锥的三视图有哪些图形？这些图形之间有什么关系？

拓展2：如果将棱长为1的正四面体水平放在xOy所在的平面内，且水平旋转正四面体，使底面的棱与y轴分别成0，π6，π4，π3，π2角时，那么正四面体在zOy所在的平面的投影面的正视图是什么图形？

综上所述，研究三棱锥的三视图问题往往需要找到三棱锥所在的几何模型，而正方体恰恰是高中数学中立体几何教学的一个重要的模型，很多问题通过正方体模型进行研究都会有事半功倍的效果.通过研究在正方体中三棱锥的三视图具有的特点，可以发现其三视图具有的变化规律.同样研究其他基本的几何体中的三视图问题会发现新的特征.因为关于三视图的很多问题通过正方体模型研究后会变得轻松容易，所以进一步拓展其他几何模型中的三视图问题会有效拓展学生思维的空间.因为三视图问题是立体几何中一个重要的概念，在历年高考中关于三视图的试题都有体现，所以将正方体中的三棱锥模型化可以有效地培养学生的空间想象能力，提高学生解答高考试题的能力.同样，通过将三视图具有的特征和原几何模型对照研究会有效地提高学生分析问题、解决问题的能力.通过对不同类型的分类处理，可以有效培养学生的逻辑推理能力.

作者简介 王恩宾，男，1963年生，辽宁沈阳人，硕士，中学高级教师，沈阳市骨干教师，沈阳市名师（学科带头人），沈阳市教师资格认定组组长，沈阳市高中数学教研员.主要从事高中数学的教学研究、数学考试评价研究.