基于数学史的《直线的倾斜角和斜率》教学

张哲

【摘 要】 数学史不仅让我们对过去的数学进行怀念，更重要的是让我们对数学充满希望和期盼，让数学史真正走进高中数学教育，关注数学抽象形式背后的数学本质及相关历史背景，关注数学知识发展演变过程中的重要思想方法，是我们数学教师要做的一件重要的事情。笔者将以《直线的倾斜角和斜率》的教学设计为例，浅谈如何在高中数学课堂中有机融入数学史，全面了解数学科学，大力倡导数学精神，注重对数学思想方法的认识，提高数学养成。

【关 键 词】 数学史；作用和意义；直线的倾斜角与斜率

一、教学内容与过程

（一）简介数学史，了解学科思想

采用直接运用数学史的方式进行导入，具体做法是：课前，我布置学生阅读第三章章头语，自主搜集有关解析几何资料思考。上课时，设计情境导入，学生史料学习展示3～4分钟。旨在介绍背景，揭示课题，教学片断如下：

【教学片断】

师：在数学史上，曾经有这么几位数学家，他们想创造一种能解决世界上一切问题的方法，法国著名的数学家笛卡尔就是其中的一位。他们的设想是这样的：“任何问题→数学问题→代数问题→方程问题→求解方程→得到结论”。因此，如何用代数的方法来解决几何问题是他们遇到的难题之一。

据说一天，当笛卡尔躺在床上休息时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，他突发奇想，假如在墙角的三根交线上分别标上刻度，不就能用有序数对来表示蜘蛛的位置了吗？这一想可了不得，使得代数学和几何学联系起来了，产生了解析几何学。笛卡尔的这种想法就是直角坐标系的雏形，有了直角坐标系，点就可以用数来表示，进而线与面也能用数来表示，从而使得用代数的方法来研究几何问题有了可能。

听了这个传说，同学们有什么想法？

生：数学的直觉来源于生活。

生：人们在苦思冥想后的灵感不是不可能的，但事实上，笛卡尔之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考的结果。

师：在平面几何的研究中，我们是直接通过几何图形中点、直线的关系来研究几何图形的性质。现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。

通过自学第三章章头语，结合大家课前收集的有关解析几何资料，请大家谈谈什么是坐标法？

生：坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。

生：坐标法是解析几何的核心思想方法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。

生：解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。

师：本课我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来，从中体会解析几何研究问题的基本方法和数学思想。

（二）探究1：倾斜角概念的形成，体会用坐标刻画倾斜角的方法

在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。

问题1：已知直线l经过点p，直线l的位置能确定吗？（自己动手画画）

【设计意图】 在探究倾斜角定义的形成过程中，主要研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化、全面化，同时得到倾斜角的意义。

问题2：如何刻画直线的倾斜程度？在直角坐标系中，倾斜程度可以用直线与坐标的关系来刻画，那么用什么具体概念来体现呢？

学生通过对在直角坐标系中直线位置的观察，发现“夹角”问题后，老师进一步提出下列问题。

问题3：一条直线与坐标系有四个的夹角，而且有的夹角相同，但直线倾斜状况也不一样，选定哪个角为倾斜角更合适呢？怎样定义？

【设计意图】 培养学生观察、思考、探究的学习能力，通过逐步的提出问题，引导学生对概念进行建构。

（三）探究2：斜率概念引入的坐标法思想

在师生得出了倾斜角的概念后，教师引导学生将角（几何）问题转化为斜率（代数）问题。提出以下问题：

问题4：倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中“数”能否表示直线的倾斜程度呢？

引导学生回顾日常生活中，我们用坡度的大小表示倾斜程度的量，坡度（比）=类比得出数学中斜率的定义。

【设计意图】 分析学生熟悉的例子，构建新旧知识联接的桥梁，符合学生的认知规律。通过生活上坡度的问题，引出数学中斜率的概念，培养学生观察、类比、探究的数学思维。

问题5：斜率和倾斜角的关系是怎样的呢？

试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

（1）当α=0°时，则k__________；

（2）当0°<α<90°时，则k__________；

（3）当α=90°时，则k__________；

（4）当90°<α<180°时，则k__________。

【设计意图】 进一步加深对倾斜角与斜率的关系的理解。

（四）探究3：过两点的直线的斜率公式

问题6：学习教材P83～P84，探究如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率。

给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），试求直线P1P2的斜率k。

【设计意图】 逐步实践坐标法。

追问：上述公式的适用范围是什么？与所取的点的坐标是否有关，与所取点的先后顺序是否有关？

【设计意图】 辨析公式。

数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。以上教学过程重视数学思想方法的挖掘和应用，使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，学习解析几何，就是要“以数解形”和“以形助数”，学会把握数形之间的内在联系。

问题7：教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？

引导学生讨论，学生代表发言：

1. 垂直于x轴的直线无斜率。

2. 斜率公式与直线上点的位置无关，学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，此处渗透了数形结合的思想。

师：辨析公式追问：上述公式的适用范围是什么？与所取点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？

公式的特点：（1）当x1=x2时，公式不适用，此时α=90°；（2）直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示；（3）与两点的顺序无关。

二、数学史在《直线的倾斜角与斜率》教学中的应用

（一）采用数学史进行情境教学，激发学生的数学学习动机

当代希腊的《数学教学纲要》指出，教材中使用历史材料的目的是“提高学生学习数学的兴趣，使他们热爱数学。”

在本节课的导入中，运用数学史进行情境教学，有机融入数学史。开课时，在指导学生阅读的基础上，通过整合章头图和开篇语，简介解析几何的发展历史，让学生初步了解解析几何的基本思想，感受科学家的发现过程和情绪体验，让学生融入科学家的思维情境和发明创造的氛围中，激发学生的创造意识和探索精神。正所谓“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。

在数学教学中，把数学史中经典的历史话题恰倒好处地引入到数学课堂中，可以事半功倍，帮助学生多角度认识数学，展示数学不断发展的生动有趣，会使学生感到造化安排数学之巧妙，数学家创造数学之深邃，数学学习领悟之欢快，从而可以大大激发学生学习数学的兴趣，学生真正感受到数学的美丽，被数学所吸引，从而喜欢数学，热爱数学。

（二）在教学过程设计中感受概念的来龙去脉，体现解析几何的基本思想

倾斜角和斜率，都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立，是本节课的主要教学任务。

据此确定本节课研究问题的思路“用角刻画倾斜程度→一点一角确定直线→坐标运算研究几何特征→形成k与α统一”与解析几何的基本思想“几何问题→代数问题→代数结论→几何解释”是完全吻合的。

本节课的教学设计注重把概念的来龙去脉呈现给学生，如笛卡儿在他的书籍《方法论》和《指导思维的法则》中，就提出疑问：古希腊人只告诉你结论是什么，如何证明，但没有告之结论是如何发现的。如欧拉的《原本》证明了几百个命题，但并没有说明它们是如何被发现的。于是笛卡儿企图找到一种发现真理的一般方法，让普通人也发现真理。笛卡儿（下转46页）（上接44页）把他的方法叫“普遍数学”，解析几何正是他将这种“普遍数学”实施于几何学时创造出来的工具。他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短”。这种大胆思索创新的精神，正是我们要认真学习的。

（三）着重探究斜率的定义及计算公式，体会数形结合思想的作用和解析几何中建立坐标系的价值

从问题出发，通过一系列问题的作答、体悟，很自然地引入了斜率这个概念，学生不会感到很突然，难以理解。从而调动了学生探究的主动性。使学生切实理解斜率和倾斜角都是反映“直线倾斜程度”这一概念的本质特征，让学生体会到直线的倾斜角侧重于直线的几何直观形象，直线的斜率则侧重于用数来说明直线的方向。

斜率概念产生的过程，充分体现了解析几何的基本思想方法。（1）两点是确定一直线的几何要素，倾斜角是反映直线倾斜程度的几何特征量，借助坐标系，点可以坐标表示，直线的倾斜角自然可由两点的坐标来确定，而引进斜率这一概念很好地沟通了两者的联系。使得几何量有了代数化的表示。（2）斜率使直线的代数形式y=kx+b中的k有了明确的几何意义。（3）通过斜率可以判断直线的倾斜程度，讨论直线的位置关系（主要是平行与垂直），这是用代数方法解决几何问题的典型示例。

这样，让学生分别用几何和代数来刻画倾斜程度，把握代数与几何间通过坐标法的联系，从而掌握解析几何的基本思想，通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

在数学概念与理论的教学中，运用数学史教学可以使学生亲历知识的发生、发展过程，即数学模式的建构过程，以培养学生的原创性思维。让学生通过探索、反思、修改、完善，经历曲折和反复，使学生真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的，以及是如何应用的。

【参考文献】

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[3] 易峻. 新课程背景下高中数学课堂模式研究[J]. 中学数学月刊，2010（3）：14～15.

[4] 吴骏，黄青云. 基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J]. 数学通报，2013（11）：16～20.