高等数学中极限思想的浅析

王丽丽

（大同大学大同师范分校数学系，山西 大同037039）

极限思想作为高等数学的基础概念，为高等数学理论研究和应用创造了扩展及深化条件。现代学科中极限思想的渗透越来越突出，对学科的发展和深化带来了更多的刺激性效应。极限思想作为高等数学研究、应用以及发展中重要工具，在许多方面，都体现其重要地位。因此，极限思想的掌握，直接影响着高等数学的应用与发展。

一、极限思想的产生与发展

在中国古代，数学家刘徽在注《九章算术》时更正了圆周率是“圆三径一”的错误，并在圆周率的计算过程中创立和使用了极限方法，这是在中国古代对极限方法的最早记录。《九章算术》中提出的“割圆术”正是“极限思想”最为生动的论述，同时也是极限思想的原始概念［1］。随着极限思想的发展，《庄子》中的“天下篇”一章、古希腊“二分法”等都是早期极限思想的最杰出代表。在17世纪，两类需要解决的科学问题呈现在人类面前，一是曲线中切线问题的求解；二是物质运动的研究。然而，由于极限思想停止发展，直到牛顿时代，极限概念才被直观地提出来，但在当时对极限思想的定义非常不严谨。并且，微分的研究受到严重质疑。针对极限思想的研究，莱布尼兹和牛顿的始发点都是基于无穷小量分析法而形成的，但此时的研究基础含有大量缺陷与不足，最终产生了“第二数学危机”［2］。数学的发展不断贯穿着认识与逻辑的矛盾，注重实用的数学家们重视数学理论的研究，然而注重严密的数学家们则重在批评，并针对数学理论进行不断更正与完善。正是这样，数学在协调统一中对数学矛盾进行解决，推动着数学不断向前发展。

事实上，18世纪数学家做出了多方面的努力，但由于他们归结微积分基础为代数几何，试图避开极限而宣告失败。当数学研究对象从常量扩展为变量时，人们往往缺乏对变量和常量二者的深层次理解，不能认清变量数学的规律，更无法明确有限和无限之间的关系。直到19世纪，基于微积分研究的需要，柯西对极限方法进行了进一步的改进。他定义极限为：“代表某变量的数值无限接近一固定值，其差可以任意小，即该值为这一变量数值的极限”。虽然柯西对极限的定义十分形象和直观，但他并没有解决实质问题，即如何定义无限接近某固定值的变量数值及其差可以任意小。历史上，对极限最为严格的定义是魏尔斯托拉斯提出的，他所用的方法是ε－δ语言，其对极限的严格定义解决了许多社会关注的数学问题［3］。如f（x）→A（x→x0）这一形式中，用可对给出的任意小的正数δ进行刻画体现x与x0之间的无限接近；给定充分小的正数ε，用可对f（x）与某常数A的接近程度进行描述。总之，高等数学中极限思想和方法的运用十分普遍，其中函数连续性问题、导数和积分的定义都需要借助极限方法才能得以解决。

二、极限思想发展中的辩证关系

（一）变与不变的辩证

极限思想发展中，充分体现着变与不变的辩证关系。例如：在平面内一曲线y＝f（x）上某点p（x0，y0）的切线斜率为kp，该曲线上p点以外的点的斜率为k，因此k为变量，k1为不变量，曲线上不同点与不同斜率k对应，斜率k与k1不相等，是一种对立的“变与不变”的关系。此时，当曲线上不同于p的点无限的接近p点时，斜率k与k1就会无限接近，变量会向不变量接近。当接近结果发生质的转变时，变量转化为不变量，体现变量与不变量的统一。上面的例子体现了极限思想中变与不变的辩证关系。

（二）过程和结果的辩证

极限思想在发展中，同时体现出过程与结果辩证统一。在上面的举例中，如果当曲线上的某一点与p点无限接近时，k就是变化的过程，而kp是结果。在现实中，曲线上的点与p点是不可能重合的，斜率k与kp也就不会相等，这就体现了变量之间的对立性。而斜率k与kp二者无限的接近这一过程，又会促使斜率kp转化这一结果的出现，体现了变量之间的统一性。这就充分体现极限思想中过程与结果的辩证关系。

（三）精确和近似的辩证

极限思想发展中也不断体现着近似与精确的辩证关系。例如：在极限式＝a中，如果当n不断增大时，数列｛xn｝的项x1，x2，…，xn，…就能对变量xn的变化过程进行反映，而xn无限变化的结果却由a来反映，xn作为精确值a的近似值，当n变的越大时精确度就越高。如果当n无穷大时，就会转化为a。这样，通过极限法，就将近似与精确两个对立的概念联系在一起，并进行相互转化，充分体现了二者的对立和统一。

（四）无限和有限的辩证

（五）肯定与否定的辩证

在极限思想中，也处处体现着肯定和否定的辩证关系。例如：单位圆与其内接正多边形是对立的两个面，内接正多边形是事物自身的肯定，而其中包含的否定是基于圆内接正多边形边数的变化而体现的。当正多边形的边数无限制增加时，那么多边形面积将会转化为单位圆的面积。此时，事物向自身的对立面发生转化，即为肯定与否定的统一关系。圆内接正多边形面积向圆的面积转化时，单位圆通过内接正多边形边数的不断增加而得以实现，充分体现了两者相互统一的关系。

（六）量变与质变的辩证

在极限思想发展中，质量互变的辩证关系也无处不见。例如：单位圆内接正多边形是事物的质，多边形的边数为事物的量，当边数逐步增加时结果依然是正多边形，产生的是事物的量变。在量变过程中，事物的连续性发展是事物保持稳定性的重要特质。当正多边形边数无限增加时，多边形就会逐渐接近圆，产生量变向质变的飞跃，形成两者的矛盾统一。

三、在高等数学中极限思想的体现

（一）数学概念

高等数学中的许多概念都是借助极限思想产生的，在高等数学的教材内容中，首先介绍的是极限思想，其次是借助极限思想给出导数、连续函数等概念［4］。如：函数f（x）在x0连续，x→x0时的极限等于f（x0）；函数f（x）在x0的导数，是函数值变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）与自变数x的改变量Δx之比当Δx→0时的极限。

（二）问题处理

在解决数学问题方面，高等数学比初等数学强，高等数学运用极限思想是初等数学无可比拟的。在处理数学实际问题方面，极限思想彰显着极为重要的作用。例如：在初等数学中，可以利用其解决梯形的面积，但无法解决曲边梯形的面积。而高等数学借助“以直代曲”的方法，通过小矩形面积向曲边梯形面积逼近，利用极限思想计算出曲边梯形的面积。另外，曲线弧长、瞬时速度等数学问题都是借助极限思想的运用得以解决的，这也充分体现了极限思想对推动数学问题的研究具有重要作用。

四、极限思想的意义

极限思想基于旧质的量的变化规律对新质的量进行计算，能够在客观事物的运动变化中，对量变与质变转换的数量关系进行反映［5］。第一，极限思想作为一种基础和手段，有利于微积分学的建立和研究，极限思想贯穿于微积分学之中，一如既往的促进了该学科的建立和发展；第二，在整个分析学的建立发展中，极限思想都起着极其重要的基础作用，另外函数逼近论、微分几何等其它数学分支及物理力学等自然科学中，极限思想的应用都非常广泛。实际生活中，极广的概率论这一数学方法最早用于赌博游戏，但极限理论研究是促使概率论形成的重要形式。随机变量与极限的研究有助于对随机变量本质的探求，没有概率的极限定理，概率概念的实质内容就无法理解。所以，基于随机变量序列的依概率收敛等概率论基础理论，贝努利大数定律等极限理论在概率论中得以深层次运用。除此之外，由于受极限思想的影响，新的数学分支也由此产生。如突发不连续现象的突变研究，几何描述相似结构特征的分形研究。突变和分形研究都具有“逼近极限”的特点［6］。

［1］M.克莱因，北京大学数学系数学史翻译组.古今数学思想（第2册）［M］.上海：上海科学技术出版社，1979.

［2］刘玉莲.数学分析讲义（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［3］刘玉莲，杨奎元.数学分析讲义学习辅导书（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考［J］.甘肃广播电视大学学报，2005（9）：72－74.

［5］叶林.极限思想的发展与微积分的建立［J］.内蒙古民族大学学报（自然科学版），2008（4）：111－114.

［6］刘婧.高中数学新课程中的极限及其教学［J］.数学教学研究，2006（9）：12－15.

［7］陈湛本.函数级数展开的数学方法论［J］.广州大学学报（自然科学版），2002，1（3）：8－12.