具有自适应可调误差半径的鲁棒波束赋形算法

张 涛 孙利国

（中国科学技术大学电子工程与信息科学技术系，安徽合肥230027）

具有自适应可调误差半径的鲁棒波束赋形算法

张 涛 孙利国

（中国科学技术大学电子工程与信息科学技术系，安徽合肥230027）

传统的自适应波束形成器对各类型的阵列误差较为敏感尤其是在较大的波达方向（Direction of Arrival，DOA）误差存在的情况下，阵列的输出信干噪比严重下降.为了解决这个问题，文中提出了一种新的具有自适应可调误差半径的鲁棒波束形成器.每一步迭代都是以经典的鲁棒Capon波束形成器为基础，且使用的误差不确定度都是依据子空间投影定理推导出的一个二次约束二次规划问题的最优解.由于估计出的导向矢量不确定度均小于传统自适应波束形成器中使用的误差量，因此，阵列的输出性能得以提高.此外，为了能够扩展算法的适用性，引入了可变椭圆不确定集来同时处理多重误差因素.最终的实验结果证明了算法的正确性和有效性.

自适应波束形成器；信干噪比；鲁棒Capon波束形成器

引 言

自适应波束成形在雷达、声纳、生物医学、射电天文以及无线通信［1－2，23］等领域发挥了越来越重要的作用.它的主要目的是自适应地将阵列天线的最大辐射方向调整到期望信号的方位上，同时在干扰方向上形成零陷，能够较好地抑制噪声.在传统的自适应波束形成器的设计中，关于阵列导向矢量的精确先验信息是必不可少的.例如，经典的最小无畸变方差波束形成器（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）.通过在期望的目标方位设置无失真响应约束来使得阵列的输出信干噪比最大化.可是当目标的方位估计与实际的情况存在误差时，阵列的性能遭遇了严重的下降.然而，实际中的阵列存在着多种可能的误差，例如，信号的多径效应、阵元间的电磁互耦、阵元位置误差、收发模块中有源器件造成的幅相误差等.这些误差因素都会导致目标方位的估计与实际的情况间出现失配［3－6］.此时对期望信号波达方向的估计可能并不是一个精确的点，而是分布在一个不确定区间内.为了处理这类问题，鲁棒自适应波束赋形应运而生［7－18］.这些方法可以分为线性约束法和非线性约束法.

线性约束鲁棒波束形成器［6－8］通过在观察方向不确定区间内设置一系列无失真响应约束，使得阵列响应在该不确定区间内均匀一致，以此展宽波束方向图的主瓣，使其完全覆盖不确定区间.但是这类方法因为波束的展宽，带来了阵列分辨率下降以及主瓣响应起伏的问题.另一方面，以鲁棒Capon波束形成器［14－15］（Robust Capon Beamformer，RCB）为代表的二次约束法（非线性约束法）使用了关于阵列导向矢量的球形不确定集来描述阵列误差引起的导向矢量失配.其中该球形域的中心向量为假定的信号导向矢量，半径为误差向量的范数.一般都假设误差半径的上界是已知的［14］.在另外的工作中，又在RCB方法的基础上引入了一个额外的关于导向矢量范数的等式约束，即所谓的双约束鲁棒Capon波束形成器（Doubly Constrainted RCB，DCRCB）［16］.相关的研究已经表明，RCB与DCRCB均属于对角加载类方法（Loaded Sample Matrix Inverse，LSMI）［12］，传统的对角加载法中的加载量是算法设计者自己主观决定的，并不能保证加载量是最优的.而在RCB和DCRCB方法中，加载因子是由当前的导向矢量误差量等因素唯一确定的.但是实际条件下，无论是误差向量本身，还是误差半径都是很难事先获取的.所以，精确地估计误差半径的大小显得尤为重要.如果最终估计的结果小于实际的误差量，则算法收敛不到期望信号方向.如果大于实际的量，又会导致阵列输出信干噪比下降.因此，S.E.Nai等人提出了一种通过迭代的方式搜索期望信号导向矢量的算法（Iterative RCB with Fixed Uncertainty Level，FU-IRCB）［19］.每一次迭代均以经典的RCB方法为基础，每一步使用一个相同的且相对较小的不确定度.由此保证了阵列的输出特性.但是以上的诸类方法中，依然无法确定所采用的不确定度是否为最优的.

为了获得最优的导向矢量失配度，同时保证阵列的输出特性.本文研究了一类以RCB波束形成器为基础的新的迭代处理法.不同于上述迭代处理法，在这个方法中，每一步迭代使用的误差半径不是固定的，而是自适应可调的（Iterative RCB with Adaptive Uncertainty Level，AR-RCB）.此方法的关键是对当前假定的导向矢量与实际的导向矢量之间误差量的估计.依据子空间分解理论，可以通过对采样数据的协方差矩阵做本征值分解得到两个相互正交的子空间，信号干扰子空间（SIS）和噪声子空间（NS）.对于实际信号的导向矢量，它完全处于信号干扰子空间之中，且位于信号干扰子空间的投影向量范数的平方等于阵元数.利用这样的一个约束条件，可以构造出一个二次约束二次规划的优化方程［21］来估计当前导向矢量的失配程度.通过研究发现，每一步估计出的误差量与当前假定导向矢量与实际导向矢量之间的失配量是成正比的，因此，在迭代起始阶段估计出的失配量大于之后步骤中估计出的失配度，随着迭代的进行逐渐减小.每一步中使用的不确定度均小于RCB和DCRCB中使用的误差量，使阵列的输出性能得以保全.对于多重误差同时出现的情形［20－21］，在本文中也进行了讨论.在原有的迭代处理算法的基础上，利用新的误差椭球估计技术研究了迭代椭球不确定集处理法.在仿真中，DOA估计误差与阵元位置误差被同时考虑进误差模型.最终的实验证明了所提出算法的有效性.

1 问题描述

假设阵列由M个各向同性的阵元组成，有K个信号入射到阵列上（其中包含一个期望信号和K－1个干扰信号）.在t时刻阵列的输出数据可以表示为

式中：w∈CM×1为阵列的加权因

子；（·）H为厄米特转置；x（t）∈CM×1为阵列的接收数据，它由三部分组成

式中xs（t）、xi（t）、n（t）分别对应期望信号、干扰、噪声分量.不失一般性，假设所有的信号，干扰与噪声分量彼此之间是统计独立的.阵列的输出信干噪比为

式中：Rin＝CM×M是指干扰噪声协方差矩阵；δ1对应期望信号的功率；a1为期望信号的导向矢量.

实际情况下Rin是很难得到的，一般都使用采样数据协方差矩阵替代它

N对应采样数据样本数.通过在期望信号方向上设置无失真响应约束最大化阵列输出信干噪比来获得最优的加权向量，对应的优化方程为

式（6）为经典的MVDR波束形成器，式（6）的最优解为wopt＝β＾R－1a1，其中参数β＝（aH1＾R－1a1）－1是一个常数，它对整个阵列的输出性能是没有影响的.将wopt带入式（3）中，可以得到信号与干扰加噪声比（Signal to Interference plas Noise Ratio，SINR）的最大值

1.1 RCB方法

MVDR波束形成器对信号导向矢量的精确度十分敏感，如果假定的导向矢量和实际的导向矢量之间存在一定的误差，阵列输出性能会急剧下降.所以MVDR不能够提供足够的鲁棒性对抗各类型误差因素引起的导向矢量失配.在RCB方法中，引入了一个描述导向矢量失配的球形不确定集｛a，‖a－¯a‖2≤ε｝，其中¯a是假定的期望信号导向矢量，ε是误差量的上界.很显然，当ε＝0时，RCB问题退化为MVDR问题.

利用拉格朗日乘子法可以求得式（8）的最优解

其中拉格朗日因子λ由下式决定

当不确定集为椭球集时，相应的RCB问题为

式中：P是一个M×L（L＜M）的矩阵；u是一个L ×1的向量.设，利用拉格朗日乘子法可以求得＾u＝－，相应的拉格朗日因子可以由下式求得

最终得到的最优导向矢量为~a＝¯a＋P＾u.

1.2 子空间投影定理

式中：Es＝［u1，…，uK］；En＝［uK＋1，…，uM］.矩阵Λs的对角线元素为K个较大的特征值；矩阵Λn的对角线元素为M－K个较小的特征值.依据子空间分解定理，信号干扰子空间由Es的列向量张成，噪声子空间由En的列向量张成.定义a1／Es与a1／En分别为a1在信号干扰子空间和噪声子空间的投影向量，而a1为二者的叠加a1＝a1／Es＋a1／En.因为两个分量之间相互正交，所以满足‖a1‖2＝‖a1／Es‖2＋

式中ci（1≤i≤K）是实常数.此外，基于u1≤i≤K与uK＋1≤i≤M之间的正交性，可以得到

这个结论可以被用来估计当前导向矢量的失配度，下节中将会详细讨论.

2 可变误差半径处理法

2.1 失配量的估计

定义失配向量为e＝a－¯a，利用导向矢量在信号干扰子空间的投影特性可以估计误差量的最小值‖e‖2min.利用上一章讨论的子空间分解定理，对误差向量做分解

又因为实际的期望信号导向矢量在噪声子空间的投影为零向量，所以式（16）可以改写为

得到如下的导向矢量不确定度估计方程

构造拉格朗日函数

式中λ为朗格朗日因子.对g（as，λ）关于as求偏导数，并设，整理得到

将式（21）带入到式（18），得到拉格朗日因子

整理得到相应的误差矢量和最小失配度的估计

估计出的ε0为a与¯a之间的最小失配度［24］，与实际的最优值之间依然存在着一定的误差Δε，并且满足εopt≥ε0，εopt＝ε0＋Δε.为了修正这个误差，有必要以此为基础继续进行估计.最终，经过多次估计和反复迭代收敛到期望信号导向矢量.J.P.Lie等提出了另一种迭代RCB方法［22］，只是在估计不确定度时，假设期望信号的导向矢量在信号干扰子空间中的投影与真实的信号导向矢量共线.但是这个假设只是一种特例，并不具备一定的普适性.而本文提出的方法是基于严格的数学优化分析得到的.

2.2 可变误差半径迭代鲁棒波束赋形

根据之前得到的关于误差量的闭式解和相关的讨论，当Δε≠0或者较大时，需要进一步地对误差量进行再估计.因此，使用该方法发展了现有的迭代鲁棒波束赋形算法.这里需要特别注意的是，在迭代处理算法当中，每次迭代中估计出的导向矢量是在逐步地逼近期望信号导向矢量.所以，当前迭代中使用的误差量必然大于之后迭代中估计出的误差量.也就是说误差半径在逐步减小.

定义εig为第i次迭代中使用的不确定度.综合以上的分析，可以发现与当前的误差水平是保持一致的，并且随着迭代的进行逐步地减小.每一步迭代结束后，为了防止定标误差的出现，还需要对估计出的导向矢量做归一化处理将归一化之后的＾ai作为第i＋1步迭代中使用的参考矢量.以此类推，整个迭代过程以这样的方式进行下去，直到满足如下的收敛条件

当收敛到实际的导向矢量时，εi趋近于零.在算法设

g计当中，ζ应该选取为一个较小的值.对于第i≥2步其中＾ai－1是上一步迭代当中计算所得的导向矢量.图1勾勒出了算法的收敛过程.设假定的期望信号DOA为¯θ0，而实际的观察方向处于不确定区间［¯θ0－Δθ／2 ¯θ0＋Δθ／2］内.两个边界向量αsup和ainf分别对应方位¯θ0－Δθ／2和¯θ0＋Δθ／2，它们在误差情况下与中心向量a（¯θ0）是不重合的.参数ε0为RCB方法中使用的不确定度，明显比本文的方法中使用的不确定度大.同时可以发现，随着迭代的进行，误差半径逐步缩小，最终收敛到期望的信号方向上.

2.3 迭代椭球不确定集

为了同时处理多重误差，R.G.Lorenz提出利用一定的先验信息构造了最平坦椭球不确定集［17］为

式中：¯a为椭球中心向量；P为椭球的结构矩阵；u为L×1向量.为了拓展AR-RCB的应用范围，尝试在多重误差情形下使用可变的椭球不确定集（Iterative RCB with Adaptive Ellipsoid Uncertainty Level，AR-RCBep）.区别于可变球形集更新中心向量和误差半径.在椭球集时，主要是通过更新中心向量和结构矩阵P来实现迭代.在讨论如何更新P之前，做如下的分析，对于任一向量αΩ∈Ω，它满足αΩ－¯α＝Pu.这个结论表明误差向量可以视作矩阵P的列向量的线性组合.在文献［15］中提出使用矩阵Psmall来构造最小椭球集.

式（23）已经估计出了误差向量的解析形式.使用Psmall和式（23）初始化第一步迭代中使用的结构矩阵P［22］1

同样，设置如下的迭代终止条件

式中η可以设置为一个很小的值.基于以上分析，算法的主要步骤归纳如下：

定义＾asi，＾aei分别对应采用球形不确定集和椭球不确定集时在第i次迭代中估计出来的最优导向矢量.

1）对＾R做特征值分解得到Es，并设＾a0＝¯a；

2）对于球形不确定集：

对于椭球形不确定集：

在第i＝1次，利用式（23）估计出当前的误差向量＾e0，定义结构矩阵

4）如果式（25）和式（30）满足，迭代终止，得到最优导向矢量；如果不满足返回第2步.

3 仿真结果

假设阵列包含10个各向同性的阵元，相邻阵元间距为半波长.系统中的噪声为零均值单位方差的加性高斯白噪声，入射信号包括一个期望信号和两个干扰信号，均为平面波入射，其中两个干扰信号的入射方向分别为30°和－25°，对应的信噪比（SNR）均为20dB.在如下的仿真中，期望信号的入射方向为6°，但是假设无法精确确定期望信号的DOA，只能获得一个关于它的不确定区间［－7° 7°］，则相应的方位不确定度为Δθ＝14°，同时假定的期望信号DOA为0°.为了能够充分验证AR-RCB的有效性，另外三种波束形成器被拿来与之做比较，分别是：1）采样矩阵求逆（SMI）；2）对角加载（LSMI）；3）鲁棒Capon（RCB）.在以下的实验中，一些关键性的参数选取如下：1）在LSMI中使用的对角加载因子设为5；2）RCB方法中视同的最优不确定度为εrcb＝8.5［12］；在实验中，DOA误差与阵元位置误差同时一起处理，每个阵元都假设从原有位置出现了错位，导致阵列的导向矢量出现了一定的偏差为

实验一中，比较了四种波束形成器的归一化阵因子.采样数据快拍数和期望信号信噪比分别为200dB和5dB.通过图2，可以看到采样矩阵求逆（Sampled Matrix Invert，SMI）、LSMI、RCB方法得到的阵因子的主瓣对准的都是假定的信号方向，而不是期望的信号方向.只有AR-RCB得到的波束方向图的最大辐射方向对准了期望的信号方向，同时在两个干扰方向－25°和30°上分别形成了零点.实验二中的实验条件与实验一基本一致，采样数据快拍数和期望信号信噪比分别为200dB和5dB.这里着重比较这四类方法对DOA估计误差大小的敏感度.如图3所示，将DOA误差θ－¯θ从1°变化到9°，通过观察输出信干噪比的变化，可以发现AR-RCB针对DOA误差具备更高的鲁棒性，尤其是在较大的DOA误差情况下，它的优越性体现得更明显.

下面的两个实验主要是关注算法的输出特性与快拍数和输入信号信噪比之间的关系.在实验三中，输入信号的SNR为5dB，快拍数从20变化到200，通过图4可以观察到，RCB和LSMI方法的输出特性随着快拍数的增加提升得不明显，说明这两类方法针对较大DOA误差的鲁棒性不强.而SMI方法的输出性能则随着快拍的增加下降，因此它针对较大DOA误差完全不具备鲁棒性.总体来说，ARRCB的输出性能是最好的，其输出性能随着快拍数的增加趋于稳定，且在稳态情况下的输出SINR达到13.5dB，与最优情况只有约1.5dB的差距.在实验四中，快拍数设为200，通过图5可以发现在较大DOA误差条件下，SMI与LSMI方法的输出性能均较低，鲁棒性较低.而RCB方法在输出性能方面则优于它们，具备一定的鲁棒性.较之于以上的三类方法，AR-RCB始终保持了较高的输出性能，鲁棒性较强.只是在较低的输入SNR情况下，与RCB法的输出特性较为接近.主要是因为在较低SNR情形下，信号子空间与噪声子空间发生了混叠.实验五中，比较了AR-RCB与FU-IRCB［17］的收敛性.在此实验中，FU-IRCB采用了两个不同的不确定度εfu－rcb＝0.05和εfu－rcb＝0.2.同时为了直观地比较两类算法收敛的快慢，其中的算法收敛条件均被移除.图6显示AR-RCB达到最优输出性能只需要3步迭代就够了，而FU-IRCB消耗了6步，并且最终的输出性能与FU-IRCB相当.因此，AR-RCB在保证了较高的输出性能的同时，还提高了算法的收敛性.实验六中，DOA误差和阵元位置误差被同时进行处理.在处理之前，先定义阵元位置误差量，满足如下的均匀分δm～［－0.05 0.05］，以波长为度量.为了充分地比较在多误差情形下AR-RCBep的有效性，另外两类算法被拿来与之比较，分别为具有最小椭圆不确定集的RCB法（RCB with Ellipsoid Uncertainty Level，RCBep）［15］，以及具有固定椭圆不确定集的迭代RCB法（Iterative RCB with Fixed Ellipsoid Uncertainty Level，Fu-IRCBep）［19］.在文献［15］中，作者提出了如下的最小椭圆不确定集，重写如下：

4 结 论

本文研究了一种新的通过迭代搜索期望信号导向矢量的方式来提高系统抗误差性能的鲁棒波束形成器.在该方法中，每一步迭代使用的误差半径都是基于特定的优化准则估计出来的.这类波束形成器较之传统的方法在多个方面均表现出了优异的性能.此外，估计的误差量随着迭代的进行逐步地减小，最终迭代的次数也随之减小，在保持输出性能的同时加快了收敛的速度.另一方面，该方法被扩展用来处理多重误差，每一步迭代更新的是椭圆不确定集合.最终的实验证明了本文方法无论是针对特定的某一类误差还是多种误差，都具有较好的鲁棒性.

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Robust adaptive beamforming algorithm with adjustable error radiuses

ZHANG Tao SUN Liguo
（Department of Electronic Engineering and Information Science，University of Science and Technology of China，Hefei Anhui 230027，China）

The traditional adaptive robust beamformer is sensitive to various of array imperfections.And the output array performance suffers deterioration，especially in the presence of large direction of arrival（DOA）mismatch.To overcome performance degradation，a new iterative robust beamformer is introduced with adjustable error radiuses.Each radius is the optimal solution of a quadratically constrained quadratic program（QCQP）problem，which is derived from based on the subspace principle.Additionally，the output signal to noise and interference（SINR）is improved on the fact that all the estimated mismatch levels are smaller than the ones used in the conventional methods.Moreover，the proposed method is extended to tackle with multiple mismatches together using adjustable ellipsoid uncertainty sets.Finally，the new beamformer is compared with other approaches in the simulations.And its superiority is demonstrated.

adaptive beamformer；signal-to noise and interference；robust capon beamformer

TN911

A

1005-0388（2015）01-0049-08

张 涛 （1987－），男，安徽人，中国科学技术大学博士研究生，主要研究方向为阵列天线综合以及自适应波束成形等.

孙利国 （1960－），男，安徽人，中国科学技术大学教授，博士生导师，主要研究方向为射频集成技术.

张 涛，孙利国.具有自适应可调误差半径的鲁棒波束赋形算法［J］.电波科学学报，2015，30（1）：49-56.

10.13443／j.cjors.2014011201

ZHANG Tao，SUN Liguo.Robust adaptive beamforming algorithm with adjustable error radiuses［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：49-56.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014011201

2014-01-12

联系人：张涛E-mail：zhtt＠mail.ustc.edu.cn