初中数学共点与中点问题的探究

洛圆圆

摘 要：中考中共点问题与中点问题是一个重点，也是一个难点，本文对此考点进行探究。

关键词：共点问题，中点问题，数学思想与方法，旋转、转化、由特殊到一般的数学思想。

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）19-008-01

一、研究目的

本专题的探究是基于学生对四边形的理解与掌握的基础上的升华，在中考中的共点与中点问题也是重点与难点，因此，本专题的探究内容在初中阶段的学习中具有不容忽视的重要的地位。

本专题的内容前面承接新人教版教材的三角形与中点全等的内容，后面是变式相似的内容，所以学好这个内容为学好以后的图形变式打下牢固的基础，而且它在整个教材中也起到了承上启下的作用。本内容包含的一些作辅助线知识，是今后中考中的得分点。

本专题的内容是对学生学习了三角形及四边形之后的升华部分，利用了等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的特点，中线倍长的思想，三角形中位线，平行线的性质对本次研究的图形进行认识并解决本专题的问题。而本专题的后续是讲公共顶点的两个等腰直角三角形变为一般的等腰三角形，但顶角要相等。同时也可变式为复杂的图形：将等腰直角三角形转化为正方形。那么在初三中考复习中，可以将变式3中的图形证全等变式为证相似。同样也可将正方形转化为一般的矩形并用相似进行解决。本节课不仅探究了两线段的大小关系还要探究它们的位置关系，而对于顶角不是直角的图形则要应用三角函数的相关内容。其变式多样，适合于发展学生的思维，为大连地区中考的25题（由全等到相似）类型题培养解决图形类问题的思想方法。

二、研究过程

1、由基本题出发，问题1已知：如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，A、B、D在同一条直线上，M、N、P分别是AD、AC、DE边上的中点，试说明MP和MN的关系。学生在探究问题的时候有困难，于是教师给出提示问题：1、图中如何构造出两个全等的三角形；2、本题的基本型可否是有共点的两个等边三角形（如图2）3、变式成有共点的两个等腰直角三角形时（如图3），以上研究等边三角形的结论还是否成立。

学生在研究图2时，就有思路了，因为它是书上课后习题，并且在练习册中也经常出现，对于图2的研究过程及其变式参看图3、4、5、6

进而转化为有共点的两个等腰直角三角形再进行探究，如图7、8、9、10。

有了这么多的基本图形的解决做铺垫，学生进而对于问题1的解决有了思路与解决方法，能够很容易想到分别连接AE与CD构造全等三角形，并且探究AE与CD的关系（位置与数量），从而利用三角形的中位线，得到了所要求的MN与MP的关系（图11），从中总结了方法：找基本型，并体会转化的数学思想，乃至由特殊到一般的数学理念。进而对于问题1的变式1：将等腰直角三角形DBE绕点B旋转至如图12所示的位置，其他条件不变，上述结论仍然成立。旋转到图13结论不变。

对于问题1也可进行变式2，如图14若将两个等腰直角三角形△ABC和△DBE的锐角顶点B重合，M、N、P分别是AD、CB、BE边上的中点，试说明MP和MN的关系。学生很容易就联系到问题1的解决办法做出辅助线（图15）并且这道题构造辅助线的方法还运用了倍长中线的思想，体现了数学知识之间的联系。再与图12进行类比，让学生形成思想方法。

如果还想拓展学生的思维能力，可以再来一个变式3：如图16若将两个等腰直角三角形△ABC和△DBE的锐角顶点B重合，F是CE的中点，连接AF、DF，试说明AF和DF的关系。本变式再次巩固了本次探究问题的解决思路与方法，真正掌握的同学一定会很快做出。

三、研究总结

本探究仅仅是研究了有共点的两个等腰直角三角形的变式过程，并且共点处是两个顶角的顶点，并且探究了其中两个中点连线的两条线段的关系。而对于共点处是两个底角的顶点的研究又会如何，我们还会再次探究。