一种基于峭度和记忆梯度的变步长盲均衡算法

郭 强，姜 晖

(电子工程学院，合肥 230037)



一种基于峭度和记忆梯度的变步长盲均衡算法

郭 强，姜 晖

(电子工程学院，合肥 230037)

分析了军事通信中传统恒模盲均衡算法的基本原理，并针对恒模算法收敛速度慢、易陷入局部极小点、收敛速度与稳态剩余误差之间矛盾突出的缺点,提出一种基于峭度和记忆梯度的变步长算法。经过理论分析和实验仿真，证明改进后的算法较传统算法具有更好的均衡效果。

恒模算法；峭度；记忆梯度

0 引 言

随着现代战争的发展，作战环境日趋复杂，如何确保复杂电磁信号环境下可靠、稳定、快速的军事通信是信息作战的重要内容。然而，由于信号传输环境复杂、敌方施加干扰等原因，通信信号在传输过程中，常会因为信道畸变而产生码间干扰(ISI)，这严重影响了接收信号的质量，降低了军事通信的可靠性和稳定性。因此，必须使用可靠的均衡技术对信道引起的畸变进行校正，以消除或减小ISI的影响，提高军事通信的质量和效率[1]。盲均衡不需要发射端发送训练序列，可仅利用接收信号对畸变信道进行有效校正，降低传输误码率，是目前飞速发展的数字通信系统中的关键技术之一，在现代军事通信中有着非常广泛的应用[2]。

恒模算法是在军事通信中被广泛应用的一种盲均衡算法，其存在以下不足：

(1) 对高斯噪声无免疫性；

(2) 易陷入局部极小点，收敛速度较慢；

(3) 迭代步长恒定，存在收敛速度与稳态误差之间无法平衡的矛盾。

本文结合传统的恒模算法(CMA)，提出一种基于峭度和记忆梯度的变步长恒模算法(VS-KMGCMA)。算法将误差信号的峭度作为代价函数，以实现对高斯噪声的抑制；将记忆梯度法引入均衡器权值最优化过程中以获取全局最优点；并用梯度的变化量作为控制步长变化的参数，加快收敛速率并消除固定步长下收敛速度和稳态误差之间无法平衡的矛盾。

1 传统恒模算法

CMA算法是Bussgang类盲均衡算法的一个特例，其中心思想是构造一个具有凹凸性质的代价函数，再通过算法调节均衡器的抽头系数使代价函数取得最大或最小值，以此来达到均衡的目的[3]。Bussgang类盲均衡器的原理如图1所示。

图1 Bussgang类盲均衡器的原理

由图1可知均衡器输出信号为：

(1)

式中：W(k)为均衡器抽头系数向量；w(k)为均衡器抽头系数；N为输入数据总量。

误差函数为：

(2)

在CMA算法中定义为：

(3)

CMA算法的代价函数J(k)为:

(4)

算法的目标为代价函数J(k)的最小化，而由公式(4)可知，J(k)的取值取决于y(k)和w(k)，可将算法的目标看作是多维非凸曲面中求解最小值的问题，这是一个无约束最优化问题。

均衡器抽头系数的迭代公式为：

W(k)+2·μ·e(k)·YH(k)

(5)

式中：μ为迭代步长因子，通常取足够小的恒定值。

将式(3)代入式(5)得：

(6)

2 基于峭度和记忆梯度的变步长盲均衡算法(VS-KMGCMA)

2.1 峭度(Kurtosis)的引入

信号的峭度即信号零时延的四阶累积量，根据信号的高阶累积量可以抑制高斯噪声的特性，可以将峭度引入到CMA算法中，用误差信号的峭度构造盲均衡抽头权值最优化的代价函数，提高算法处理复杂噪声的能力[4]。

根据定义，误差信号的峭度为：

其具有如下性质：

性质1：若e1(k)与e2(k)是统计独立的随机过程，则二者和的峭度为二者峭度之和，即：

K[e1(k)+e2(k)]=K[e1(k)]+K[e2(k)]

(8)

性质2：若e(k)为零均值的高斯过程，则其峭度为0，即：

K[e(k)]=0

(9)

性质3：若e1(k)为非高斯随机过程，e2(k)为高斯随机过程，则由前面两式可知：

K[e1(k)+e2(k)]=K[e1(k)]+K[e2(k)]=K[e1(k)]

(10)

由上式可知，误差信号的峭度具有完全抑制高斯噪声的能力。

利用峭度的这种特性，定义均衡器抽头权值最优化的代价函数为：

J(k)=-K[e(k)]=3·E2[e2(k)]-E[e4(k)]

(11)

由以上分析可知，峭度的引入可以提高CMA算法对高斯噪声的抑制能力，改善均衡性能，更方便实现信号的实时恢复。

2.2 记忆梯度法(MGM)

由式(5)可知，在均衡器抽头系数的迭代过程中，CMA算法采用的是最快梯度下降法，该方法的优点是计算量较小、结构简单，但很容易导致代价函数曲面进入平坦区域而大幅增加迭代次数，降低收敛速度；另外，由于代价函数曲面中存在多个极小点且多为局部极小，算法极易陷入局部极小点而无法自拔，无法获得全局最优。

一般情况下，共轭梯度算法是求解大型无约束优化问题的有效算法，作为一种改进型的最速梯度下降算法，它在记忆前面迭代信息的基础上进行下一次迭代，具体运用于恒模算法中，其迭代方程为：

W(k+1)=W(k)+μ·D(k)

(12)

(13)

(14)

当参数β(k)取不同的公式时就取得不同的共轭梯度算法。共轭梯度算法增加了对之前梯度信息的利用，避免了对矩阵的计算和存储，相比于快速梯度下降法，该类算法更加可靠、高效，更易得到快速、稳定且可全局收敛的算法。20世纪60年代，Miele[5]等人提出了记忆梯度算法，作为共轭梯度算法的一种推广，该类算法在迭代过程中无需计算和存储数据，而且能更加充分地利用之前的迭代信息，还增加了参量的选择范围。相比于共轭梯度法，记忆梯度法更利于全局寻优并构造稳定、快速的收敛算法。

W(k+1)=W(k)+μ·D(k)

(15)

(16)

(17)

ρ为控制参数，可用来控制β(k)的取值范围。由以上分析可知，相比共轭梯度法，记忆梯度法利用之前梯度信息的程度更大，并且可以通过参数ρ的取值控制记忆信息的取值比例，参数选择自由度更大，增强了算法的可控性、稳定性[6]。

2.3 变步长思想

在算法收敛初期，均衡关心的问题是算法能否收敛，因此希望使用大步长促使算法尽快收敛；而随着算法的逐步收敛，均衡期望获得更好的收敛性能，因此希望步长减小以降低稳态剩余误差，提高收敛精度[7]。

传统CMA算法中，步长因子为恒定值，无法跟随迭代过程而改变大小。这一原因导致算法中存在收敛速度和稳态剩余误差之间无法平衡的矛盾。而变步长的思想因为简单、有效而被广泛应用于解决此矛盾。

在记忆梯度法中，随着算法的逐步收敛，记忆梯度的改变幅度会逐渐减小并趋于稳定，记忆梯度的变化量为一个单调下降的过程，符合盲均衡中代价函数的期望过程，根据这一特性，可以改步长由恒定值为被梯度信息变化量控制的变量，其迭代公式为：

μ(k+1)=B(k)·μ(k)

(18)

(19)

式中：B(k)为梯度信息变化量；λ为参数，用来控制B(k)的取值范围，通过改变λ的取值来改善B(k)的大小。

通过梯度信息变化量对步长因子的控制可以保证在迭代初期步长较大，算法尽快地进入收敛状态；而在算法逐步收敛过程中，B(k)逐渐减小，步长也变小，有利于降低稳态误差，提高收敛精度。

根据以上分析可知，变步长思想的引入有效解决了传统恒模算法中收敛速度和稳态剩余误差之间的矛盾，保证在不增加稳态误差的前提下提高算法的收敛速度，提升均衡效果。

综上所述，峭度、记忆梯度法和变步长的引入可以有效提高算法处理复杂噪声的能力，更易于获得全局最优解并且加快均衡算法收敛，可以提高算法的可靠性、稳定性和快速性。

公式(11)、(15)、(18)为基于峭度和记忆梯度的变步长盲均衡算法的数学表示。

3 实验仿真

3.1 仿真条件

为了验证改进算法在军事通信盲均衡中的性能，对改进的VS-KMGCMA算法、KMGCMA算法和传统CMA算法的收敛速度、码间干扰进行了仿真分析。

在仿真实验中，设置的均衡器、传输信道模型和发射信号的参数如下：均衡器抽头数为11，采用中心化初始策略，即中心抽头系数初始值为1，其它抽头系数初始值取0；步长初始值μ=0.001；信噪比为20dB；传输信道为离散数字信道，其冲击响应函数为h=[0.05,-0.063,0.088,-0.126,-0.25,0.904 7,0.25,0,0.126,0.038,0.088][8]。

发送信号的调制样式为四进制正交调幅(4QAM)，发送符号数为20 000；用400次蒙特卡洛仿真的统计平均值来评价几种算法。均衡算法的性能通过剩余码间干扰的大小来评定，其定义为：

(20)

3.2 仿真结果分析

图2给出了在信噪比为20dB时，3种算法的均衡性能曲线。由图2可知:

(1)CMA算法的收敛速度最慢，码间干扰最严重，均衡效果在3种算法中最差；

(2) 引入峭度和记忆梯度法后的KMG-CMA算法和VS-KMGCMA算法在剩余码间干扰、收敛速度方面的性能都有了大幅提升；

(3)VS-KMGCMA算法由于引入变步长的思想，比KMGCMA算法的收敛速度更快，在经过大约7 000次迭代后便可收敛至-33dB，而KMGCMA则要经过大概14 000次迭代后才可达到相同的收敛状态。

由此可见，变步长思想的引入极大提高了算法的收敛速度，解决了稳态误差和收敛速度之间的矛盾。

图2 剩余码间干扰收敛曲线

图3、图4为信号经过信道h前后的星座图，可以明显看出信源信号在经过离散无线信道后发生了明显的码间干扰，导致星座图非常分散，造成信号难以辨认，影响信号的检测。

图3 发送信号星座图

图4 均衡输入信号星座图

图5、图6、图7为信号经过3种算法均衡后的输出星座图。由于VS-KMGCMA算法引入了峭度、记忆梯度法和变步长的思想，不仅提高了对高斯噪声的免疫能力，更易获得全局最优点，而且解决了固定步长下稳态误差和收敛速度之间的矛盾，所以该算法可以获得最好的收敛性能。因此，其均衡输出的星座点清晰紧凑，更好地收敛至信源点附近，即稳态误差和码间干扰更小，均衡性能更加优越。

图5 CMA均衡后信号星座图

图6 KMGCMA均衡后信号星座图

图7 VS-KMGCMA均衡后信号星座图

以上仿真实验可以说明，改进后的算法相比于传统恒模算法，收敛速度加快，性能更好，更有利于获得好的均衡效果。

4 结束语

本文提出的改进算法将误差信号的峭度作为代价函数，并将记忆梯度法引入到均衡器抽头系数的迭代过程中，同时将梯度的变化量作为控制步长的参量。理论分析表明，新算法可以有效加快收敛速度，提高均衡性能。实验仿真结果也证明：该算法在收敛后的码间干扰、均方误差、收敛速度等方面的性能均优于传统恒模算法。

[1] 华亚维.短波数据传输自适应均衡技术研究与实现[D].西安:西安电子科技大学，2009.

[2] 杨宾，王大磊，吴瑛，王秀秀.利用无约束函数的QAM 信号自适应盲均衡方法[J].信号处理,2014,30(4):399-404.

[3] 张丹丹.盲均衡算法及其FPGA实现的研究[D].秦皇岛:燕山大学，2013.

[4] Tanrikulu O,Constantinides A G.Least mean kurtosis:a novel higher-order statistics based adaptive filtering algorithm[J].Electronic Letters,1994,30(3):189- 190.

[5] Miele A,Cantrell J W.Study on a memory gradient method for the minimization of functions[J].Journal of Optimization,Theory and Applications,1969,3(6):459- 470.

[6] 汤京永,叶贞军.一类全局收敛的记忆梯度算法及其线性收敛性[J].数学进展,2007,36(1):67-75.

[7] 钟华,金国平，郑林华.一种新的修正步长盲均衡算法[J].系统仿真学报,2009,21(24):7773-7777.

[8] 赵雅兴,刘栋,张宁.一种适用于FPGA实现的盲均衡算法[J].通信学报,2001,22(8):108-111.

A Blind Equalization Algorithm with Variable Step-size Based on Kurtosis and Memory Gradient

GUO Qiang,JIANG Hui

(Electronic Engineering Institute,Hefei 230037,China)

This paper analyzes the basic principle of traditional constant modulus blind equalization algorithm in military communication,and for the disadvantages of the algorithm such as slow convergence speed,being easy to fall into local minimum point and difficult to balance between convergence speed and residual error of steady state,this paper puts forward an algorithm with variable step-size based on kurtosis and memory gradient.Through theoretical analysis and experimental simulation,the improved algorithm is proved to be more effective compared with traditional algorithm.

constant modulus algorithm;kurtosis;memory gradient

2014-10-27

TN911

A

CN32-1413(2015)02-0076-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.02.020