改进的Logistic映射及其动力学特性*

韩春艳， 禹思敏

(1.广东工业大学自动化学院，广东 广州 510006；2. 滨州学院物理与电子科学系，山东 滨州 256603)



改进的Logistic映射及其动力学特性*

韩春艳1，2， 禹思敏1

(1.广东工业大学自动化学院，广东 广州 510006；2. 滨州学院物理与电子科学系，山东 滨州 256603)

为了获得性能良好的混沌伪随机序列，分别采用尺度变换、构建鲁棒性系统和复合映射的方法对Logistic映射进行改进。 Logistic映射的尺度变换可任意扩展满映射区间和混沌区间，能够改善序列的随机特性，增大密钥空间；构建鲁棒性系统可使其在一定条件下呈现具有恒定Lyapunov指数的恒定混沌状态，形成鲁棒混沌映射；复合映射能够成倍提高Lyapunov指数，可改善映射的初值敏感性和随机性。因此，改进的Logistic映射可作为伪随机序列发生器的随机信号源，在保密通信、密码系统和计算机等领域将有良好的应用潜力。

混沌； Logistic映射； 鲁棒混沌映射； 复合映射

混沌具有初值敏感性和不可预测性[1]，它可产生性能良好的伪随机序列而应用于密码系统和保密通信等领域之中。

离散混沌由于其算法简单及处理时运算速率快而在混沌应用中得到了广泛的研究[2-6]，其中Logistic映射又是研究最早和应用最多的一种离散映射，使其成为一种典型的伪随机序列信号源。文献[7]提出了一个基于变形Logistic映射的流密码方案，之后得到了广泛关注和引用，很多混沌伪随机序列发生器的设计都采用了Logistic映射[2-8]。直到最近几年仍有大量文献研究Logistic的基本特性及其变形，以及在保密通信和信息加密中的应用[9-14]。

但Logistic映射只有一个初值和一个参数，且参数范围和满映射区间都较小，混沌映射区间更小，致使其密钥空间不大序列安全性较低；其混沌映射范围与系统参数存在定量的函数关系，将降低密钥参数的安全性。另外，Logistic映射的Lyapunov指数也不大，这意味着其初值敏感性不好[10]，因为Lyapunov指数越大，从2个不同初值出发的相邻轨道在相同时间的演化过程中的分离距离就越大，其初值敏感性就越好，由初值的不确定性所导致的混沌长期演化的不可预测性，即随机性就越好。更为重要的缺陷是，Logistic映射并不是鲁棒混沌映射，分岔过程中存在很多周期窗口，当参数发生微小摄动时系统容易进入周期状态。

本文基于如何扩展混沌映射区间和系统参数区间，如何提高系统的Lyapunov指数以及改善混沌映射的鲁棒性等问题，利用尺度变换、鲁棒性改进和复合映射方法对Logistic映射进行了改进，对其动力学特性进行了分析，发现该映射可任意扩展其参数区间、混沌区间和满映射范围，满足一定条件，该映射呈现一种强鲁棒性的恒定Lyapunov指数和恒定混沌状态，复合映射则可使其Lyapunov指数成倍增加。

1 Logistic映射及其缺陷

Logistic映射有3种形式[10]，其动力学特性相类似。本文研究映射区间较大的形如式(1)的Logistic映射：

(1)

μ∈[0,μm]=[0,2];xn∈[-μm,μm]μm为参数μ的最大值。该映射数学结构简单，其分岔图如图1所示。从把混沌作为一种随机信号源的角度考虑，该映射存在如下需要改进之处：

(1)该映射只有一个参数，且映射参数区间较小，仅为μ∈ [0，2]；其混沌参数区间更小，约为[1.4，2]。用其产生伪随机序列时，必使其工作于参数范围约为0.6的混沌区间，因此较少的映射参数和较小的混沌参数范围将导致较小的密钥空间。

(2)满映射时有较强的混沌状态，但该映射仅在μ= 2时才是满映射，且满映射区间仅为I=[-2，2]。 较小的映射区间导致在迭代过程中其迭代值的变化范围较小，亦即平均每次迭代的数值变化率小，根据迭代值变化而进行量化所获得的二值[0，1]序列，其“0”、“1”的交替变换的速率将会降低，影响此二值序列的随机特性。

(3)用于加密的混沌映射要求为鲁棒混沌或是结构稳定的混沌映射，是指参数在具有小扰动的情况下所获得的混沌映射和原混沌映射具有拓扑等价性。 然而Logistic映射并不是鲁棒混沌映射，因为映射混沌区域中包含着稠密的周期窗口，当参数发生微小摄动时系统容易进入周期状态。

(4)Lyapunov指数较小，μ=2时的最大指数仅为0.693 21。 较小的Lyapunov指数会降低混沌映射的初值敏感性，从而影响混沌序列的随机性能，因为混沌的随机性来源于其对初始条件的高度敏感性。

为克服上述不足，需要对Logistic映射进行改进，以提高其动力学性能。

图1 Logistic映射分岔图Fig.1 The bifurcation diagrams of the Logistic map

2 Logistic映射的空间尺度变换

2.1 空间尺度变换

为了扩展映射区间，在式(1)的非线性项部分乘以一个放大因子1/β，有

(2)

β> 0，β∈ R。下面的分析将证明，μ∈[0，2β]，x∈ [-2β， 2β]。

(3)

根据式(1)，由于区间端点处满足xe=μ，因此把式(3)的μ换为xe后可得式(2)的映射区间为

xe=2β

(4)

即映射区间

I=[-xe,xe]=[-2β, 2β]=[-μm,μm]

(5)

由式(4)和(5)得，参数μ的范围为[0，2β]，图2(a)中的β= 2。式(2)的分岔图如图2(b)所示。

图2 改进的Logistic映射Fig.2 Modified Logistic map

原映射参数μ被限制在[0，2]内，满映射区间被限制在[-2，2]内。改进后的映射参数范围和满映射区间都被扩大为原来β倍，即μ∈[0, 2β]，xn∈[-2β,2β]，因此也可把β称之为倍增因子。

2.2 动力学特性分析

现在考察参数变化时映射的运动形态。解不动点方程x=μ-x2/β得其不动点：

(6)

不动点的稳定性满足

(7)

(8)

故得

(9)

x=μ-(μ-x2/β)2/β

(10)

在方程(10)中还要排除x=f(x,μ,β)产生的周期1的解，因此只要解下面的方程即可：

(11)

解得：

(12)

f(f(x,μ,β))的导数为

[f(f(x,μ,β))]′=4x1x2/β2

(13)

周期2轨道稳定条件为

(14)

即

3β/4<μ<5β/4

(15)

在μ=5β/4时又发生倍周期分岔，如此演化最终在1.401β后周期趋于无穷大，进入混沌状态，其混沌映射区间IC近似为：

IC=2β-1.401β=0.599β

(16)

因此，这种改进的Logistic映射除任意扩展满映射区间IO=[-2β，2β]外，还可任意扩展其混沌映射区间IC=[1.401β，2β]，这是此种映射的主要优点。其实，与原映射相比，改进后的各种分岔参数都变为原分岔参数的β倍，因此亦可把β称之为放大系数。

2.3 参数β的分岔特性

在参数μ的分岔特性中，不同的β对分岔参数影响很大，如从周期1到周期2的分岔参数μ=3β/4，从周期2到周期3的分岔参数μ=5β/4，准周期的分岔参数为1.401β。如果直接把β作为分岔参数，将会发生何种现象？

因为在改进的Logistic映射中，β和μ必须满足一种μ=2β的关系才是合理的映射，如果不满足这种关系，将会导致迭代值不在允许的映射区间内使其迭代无法进行，或将出现一些特殊的现象。

根据式(2)，μ∈[0, 2β]，即只有μ≤2β迭代才能在区间[-2β, 2β]进行。否则，如果μ>2β或2β<μ则无法进行迭代。图3(a)是固定μ=15画出的随β变化的分岔图，当2β<μ=15时无法迭代；但当2β≥μ=15时，没经过任何演化过程突然进入混沌区，称这种现象为“爆发混沌”。然后系统随着β的增大进入一个倒倍周期分岔过程而进入周期1的稳定状态。 这个演化过程和随着μ增大而呈现的分岔过程正好相反，这是一个有趣的现象。

图3 改进的Logistic映射的分岔图与Lyapunov指数谱Fig.3 The bifurcation diagrams and the Lyapunov exponent spectrum of the modified Logistic map

3 Logistic映射的鲁棒性改进

另一种最重要的分岔规律是，当式(2)μ满足一定条件时，改进的Logistic映射呈现一种恒定混沌和恒定Lyapunov指数现象，表现出其强鲁棒性。

据式(2)和图2，当满足μ=2β时改进的Logistic映射呈现一种满映射的强混沌状态，此时Lyapunov指数也最大。 如果令式(2)中μ=2β，即

(17)

且把β作为分岔参数，当β变化时μ同步变化并始终满足μ=2β，式(17)将出现一种恒定混沌和恒定Lyapunov指数的现象，且对应着一种恒定的满映射(满映射区间xn∈[-2β, 2β])，其分岔图和Lyapunov指数谱如图3(b)、(c)所示。计算Lyapunov指数时取初值x0= 0.1，每计算一个指数值迭代求解方程50000次，恒定指数值为0.69321。

利用这种恒定混沌现象可设计一个恒定混沌信号发生器，此种情况下出现混沌的β参数区间将趋于无穷大，这意味着有趋于无穷大的密钥空间，且映射区间也将随同趋于无穷，这在实际应用中将有重要的意义。

适合作为加密的混沌映射应是鲁棒混沌或至少是结构稳定的混沌映射[15]。但无论Logistic映射还是改进的Logistic映射在其混沌区间都有稠密的周期窗口，当系统参数存在扰动驱使系统运动到周期轨道时，扰动下的映射与原混沌映射不是拓扑等价的，因而式(1)和(2)就不是鲁棒的混沌映射。

当式(2)满足μ=2β条件而成为恒定混沌映射(17)时，无论参数β如何变化，系统始终维持恒定Lyapunov指数的恒定混沌状态，这说明此时系统是鲁棒的和结构稳定的，即不会因参数β的扰动或微小变化而使得改进系统由原来的混沌态进入到非拓扑等价的周期态。

综上所述，通过空间尺度变换任意扩展了混沌映射的参数区间和满映射的值域区间，恒定混沌映射把混沌映射区间由原来的[1.4，2]扩展为[0，∞]，在其动力学特性改善的同时，改进的Logistic映射仍保持了原来的结构简单、运算速率快等特性。

4 Logistic映射的复合映射

用f(g(x))表示Rn到Rn的复合映射[16]。 映射f(x)自身的一个复合映射可表示为

xn+1=f(f(xn))=f2(xn)

(18)

由改进的Logistic映射得到的复合映射为

(19)

其中：μ∈[0, 2β]；xn∈[-2β, 2β]。虽然改进的Logistic映射(式(2))扩展了映射区间和混沌区间，但Lyapunov指数没有提高。本文认为，提高Lyapunov指数是提高混沌系统随机性的重要方法，寻找提升Lyapunov指数的方法是本文的另一重要目的。

为此，先看一下Lyapunov指数的定义[10]：

(20)

f′(f(x))f′(x)

(21)

根据式(20)，如果把式(18)的复合映射作为一种新的映射将提高其Lyapunov指数，即

(22)

由于f(xi)=xi+1，故

(23)

因此，把式(23)代入式(22)最后一个等号右端第一项，得

(24)

式(24)右端第二项为f(x)的Lyapunov指数Le，迭代初值取x0；而第一项为初值取x1(i= 0时，xi+1=x1)时同一个迭代函数f(x)的Lyapunov指数，在迭代次数n→∞时，式(24)右端两项的极限相等，即

(25)

据式(24)和(25)得，离散复合映射f(f(x))的Lyapunov指数是单映射的二倍，即

LE=2Le

(26)

为便于比较，把改进的Logistic映射及其复合映射的Lyapunov指数谱画在一个坐标系中，如图4(a)所示。计算时取初值x0= 0.1，对每一指数的计算迭代50000次，当μ= 2β=20时，改进映射及其复合映射的最大Lyapunov指数分别为0.693 21和1.386 40，两者近似为二倍关系，当迭代次数n→∞时两者将趋于严格的二倍关系，从而证明了式(26)。

图4(b)μ=2β时复合映射随β变化的Lyapunov指数谱，与单映射相比，复合映射在相同条件下仍呈现一种恒定Lyapunov指数状态，但其Lyapunov指数为1.386 40，是单映射的2倍。

虽然复合映射具有复杂特性和大的Lyapunov指数，但复合映射比单映射的数学运算复杂的多。如果复合映射的数学结构和运算过于复杂，用电子系统对其处理时速率就会降低，因此采用复合映射应针对结构和运算较为简单的离散映射。但与连续混沌系统相比，离散映射比之由几个一阶非线性微分方程耦合而成的方程组的运算简单的多，故一维离散映射的复合映射在实际中应有较好的应用潜力。

图4 复合映射的Lyapunov指数谱Fig.4 The Lyapunov exponent spectrum of the complex mapping

5 结语

本文研究了一种改进的Logistic映射，对其动力学特性的改善进行了详细分析通过引入一个新的参数即倍增因子β，使其映射区间和分岔参数范围都扩大了任意的β倍；通过改进的Logistic映射构造了一个复合映射，该映射的最大优点在于把Lyapunov指数提升为原来的二倍；改进的Logistic映射及其复合映射在一定条件下都呈现一种恒定混沌或恒定Lyapunov指数的演化状态以及鲁棒性。改进的Logistic映射及其复合映射在应用方面有其自身的优势：任意大的映射区间将提高混沌序列的变化率，任意大的混沌区间在理论上提供了趋于无穷的参数空间和密钥空间，大的Lyapunov指数提高了混沌的初值敏感性，而鲁棒性可使混沌映射更适合应用于保密通信之中。这些优势将改善混沌伪随机序列的随机性和安全性，在混沌伪随机序列发生器的设计及其应用中将有良好的应用潜力。

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责任编辑 陈呈超

Modified Logistic Map and Its Dynamic Performances

HAN Chun-Yan1，2，YU Si-Min1

(1. School of Automation，Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China; 2. Department of Physics and Electronic Science， Binzhou University， Binzhou 256603， China)

In order to generate good chaotic pseudo-random sequences, we modified the Logistic map using scale transformation, constructing robust system and complex mapping respectively. Scale transformation for the Logistic map can arbitrarily expand its mapping region and chaotic range, improve stochastic characteristics and increase key space for its sequences. Constructing robust system will enable it to present constant chaos state with constant Lyapunov exponent, thereby forming a robust chaotic map. While complex map can increase its Lyapunov exponent by times and can improve its initial value sensitivity and randomness. Therefore, the modified Logistic map can be used as random sequence signal sources, which has application potential for secret communications, cryptosystems and computers.

chaos; Logistic map; robust chaotic map; complex map

国家自然科学基金项目(61172023； 61271064)；浙江省自然科学重点基金项目(LZ12F01001)；滨州学院科研基金项目(BZXYG1205)资助

2013-10-12；

2014-10-09

韩春艳(1973-)，女，副教授。E-mail:cyh660@163.com

O415.5

A

1672-5174(2015)05-120-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20130447