涉及微分多项式和差分多项式的亚纯函数的唯一性*

李效敏, 石 悦, 李 岗

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)



涉及微分多项式和差分多项式的亚纯函数的唯一性*

李效敏, 石 悦, 李 岗

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

应用差分Nevanlinna理论研究亚纯函数及其移动算子或差分算子的1类非线性微分多项式分担1个非零公共值的亚纯函数的唯一性问题。本文结果部分回答了2009年方明亮提出的1个涉及微分多项式的亚纯函数唯一性问题,推广了Lahiri[6]、杨重骏和华歆厚[7]和方明亮[8]中的相应结果。

差分多项式； 微分多项式； 亚纯函数； 唯一性定理

0 引言及主要结果

δ2(a,f)≤δ1(a,f)=Θ(a,f)≤1。

1976年,杨重骏提出了下述问题：

问题2[4]假设f与g是2个非常数的整函数，n是一个正整数。如果f与gCM分担0，f(n)与g(n)CM分担1，并且2δ(0,f)>1,那么f与g的关系如何？

1990年, 仪洪勋解决了问题2，证明了下述定理：

定理3[5]假设f与g是2个非常数的整函数，n是一个正整数。如果f与gCM分担0，f(n)与g(n)CM分担1，并且2δ(0,f)>1,那么f=g或者f(n)g(n)=1。

1997年,ILahiri提出了下述问题：

问题4[6]如果2个非常数的亚纯函数的非线性微分多项式CM分担1，那么这2个亚纯函数的关系如何？

1997年,杨重骏和华歆厚研究了问题4，证明了下述定理：

定理5[7]假设f与g是2个非常数的亚纯函数，n是1个正整数满足n≥11。如果fnf'与gng'CM分担1，那么f与g满足下述2种情形之一：

(i)f=tg,其中t是1个常数，且满足tn=1;

(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c,c1和c2是非零常数，且满足(c1c2)n+1c2=-1。

2002年，方明亮证明了下述结果，在整函数条件下研究了问题4，证明了下述定理：

定理6[8]假设f与g是2个非常数的整函数，n,k是2个正整数且满足n≥2k+8。如果(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)CM分担1，那么f=g。

2009年，方明亮在华东师范大学复分析会议上提出了下述问题：

问题7 假设f与g是2个非常数的亚纯函数。n,k是2个正整数且满足n>3k+11。如果(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)CM分担1，那么是否有f=g？

截止到目前，问题7还没有得到彻底解决。近几年来RodneyHalburd-RistoKorhonen[13]以及冯绍继与蒋翼迈[14]分别建立了差分Nevanlinna理论，ILaineandCCYang[15]得到了涉及差分多项式的Clunie定理。应用这些理论，一些芬兰学者和中国学者开始了差分唯一性理论的研究，参看文献[16-18]。 本文将利用差分Nevanlinna理论，结合微分多项式具有一个非零公共值的亚纯函数唯一性问题的研究方法，研究一类差分微分多项式具有一个非零公共值的亚纯函数的唯一性问题，具体说来，本文将研究下述几个问题：

问题8 假设f(z)是1个非常数亚纯函数，f(z+η)是f(z)的移动算子，其中η是1个非零复数，如果(fn(z)(f(z)-1))(k)与(fn(z+η)(f(z+η)-1))(k)CM分担1，那么n,k在满足什么条件下，有结论f(z)=f(z+η)？

问题9 假设f(z)是1个非常数的亚纯函数，

通过对上述几个问题的研究，本文将证明下述几个定理，从而回答了上述问题8～11。

应用证明定理12和证明定理13的类似证明过程和本文第二部分引理10可得下述2个定理,它们分别是上述定理12和定理13的IM版本：

1 几个引理

引理1[1]假设f是1个非常数的亚纯函数，k是1个正整数，c≠0是1个有限值，那么

引理3 假设F是1个非常数的亚纯函数，k,p是2个非常数的正整数，那么

引理4 假设f与g是2个非常数的亚纯函数，n和k是2个正整数且满足n>3k+11。如果(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)CM分担1，并且f-1与g-1的每个零点重数≥k，那么

或者

证明 置

(1)

情形1 假设H不恒等于零。

设z0是(fn(z)(f(z)-1))(k)与(gn(z)(g(z)-1))(k)的1个公共单零点。 将(fn(z)(f(z)-1))(k)与(gn(z)(g(z)-1))(k)在z0点的Taylor展示代入(1)可知，z0是H的零点。于是再由(1)及引理4的条件可得

N(r,H)+m(r,H)+O(1)≤

(2)

(n+1)T(r,f)+O(1)=T(r,fn(f-1))≤

S(r,fn(f-1))≤

S(r,f),

即

(n+1)T(r,f)≤

S(r,f)。

(3)

同理

(n+1)T(r,g)≤

(4)

再由(2)和引理4的已知条件可得

T(r,(fn(f-1))(k))+S(r,f)+S(r,g)≤

N(r,(fn(f-1))(k))+m(r,fn(f-1))+

S(r,f)+S(r,g)≤

S(r,f)+S(r,g)，

即

S(r,f)+S(r,g)。

(5)

将(5)代入(3)和(4)相加所得的不等式的右边，并整理得

(6)

同理

(7)

由(6)和(7)可得

由此得n≤3k+11,这与已知条件n>3k+11矛盾。

情形2 假设H=0。由(1)可得

(8)

由(8)连续积分2次可得

(9)

其中a和b是2个常数,并且a≠0。分3种子情形讨论如下：

子情形2.1 假设a=b。如果b=-1，由(9)可得(fn(f-1))(k)(gn(g-1))(k)=1，于是引理4的结论成立。

如果b≠-1，那么(9)可变为

(10)

由(10)可得

(11)

由(11)和引理1，引理2和引理3可得

(n+1)T(r,g)=T(r,gn(g-1))+O(1)≤

S(r,g)。

(12)

同理可得

(13)

由(12)和(13)可得

(2k+4){T(r,f)+T(r,g)}+S(r,f)+S(r,g)

由此可得n≤2k+4，这与已知条件n>3k+11矛盾。

子情形2.2 假设a≠b并且b≠0。

如果b=-1，那么(9)变为

(14)

由于(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)CM分担1，由(14)可得

(n+1)T(r,g)=T(r,gn(g-1))+O(1)≤

T(r,f)+S(r,g)，

于是

(15)

另一方面，再将(14)改写成

(16)

由(16)和引理3可得

(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+O(1)≤

(k+3)T(r,f)+(k+3)T(r,g)+S(r,f)，

于是

(n-k-2)T(r,f)≤(k+3)T(r,g)+S(r,f)

(17)

由(15),(17)和条件n>3k+11可得矛盾。

如果b≠-1，那么(9)变为

(18)

由(18)，类似于(14)条件下的推导过程可得矛盾。

子情形2.3 假设a≠b并且b=0。由(9)可得

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)

(19)

以下假设当f,g是2个超越亚纯函数。一方面，由(19)可得：

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)+P1

(20)

其中P1是1个次数不超过k的多项式。假设P1不恒等于零，由(20)和引理2可得

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)+P1

(21)

和

(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+O(1)≤

(k+3)T(r,f)+(k+3)T(r,g)+S(r,f)

(22)

由(21)和(22)可得n≤2k+5，这与n>3k+11矛盾。于是P1=0，(20)变为afn=gn，由此得

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)

(23)

另外，由前面得到的(3)可得

(24)

由(24)可知(fn)(k)-1有零点。注意到a(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)CM分担1，由(23)可知a=1，于是引理4成立。引理4证毕。

引理5[13-14](对数导数引理的差分模拟)假设f是1个非常数亚纯函数，并且其增长级满足ρ(f)=ρ<∞，η≠0是复常数，则对任意正数ε，有

引理6[14,Theorem2.1]假设f是1个非常数亚纯函数，并且其增长级满足ρ(f)=ρ<∞，η≠0是复常数，则对任意正数ε，当r充分大时，有

T(r,f(z+η))=T(r,f(z))+O(rρ-1+ε)。

引理8 假设f1和f2是2个非常数亚纯函数，且满足f1+f2=1，那么

引理9[12]假设s>0和t是是2个互素的整数，c是1个满足cs=1的复数，那么ωs-1与ωt-c有且只有1个公共零点。

引理10[19]假设f与g是2个非常数亚纯函数，k≥1是1个正整数，并且f(k)与g(k)IM分担1。如果Δ1= (2k+3)Θ(∞,f)+(2k+4)Θ(∞,g)+Θ(∞,f)+

Θ(∞,g)+2δk+1(0,f)+3δk+1(0,g)>4k+13

和Δ2= (2k+3)Θ(∞,g)+(2k+4)Θ(∞,f)+Θ(∞,g)+

Θ(∞,f)+2δk+1(0,g)+3δk+1(0,f)>4k+13

成立，那么f(k)g(k)=1或者f=g。

2 定理的证明

定理13的证明 设f(z+η)-f(z)=g(z)。由引理4，分2种情形讨论如下：

情形1 假设

[f(z)n(f(z)-1)](k)
[(f(z+η)-f(z))n(f(z+η)-f(z)-1)](k)≡`1

(25)

首先,(fn(f-1))(k)不恒等于常数。事实上，若(fn(f-1))(k)恒等于某个常数，那么

fn(f-1)=Pk

(26)

其中Pk是某个次数≤k的多项式。注意到f是1个非常数的亚纯函数，并且n>3k+11，无论f是有理函数还是超越亚纯函数，都可以由(26)和引理2得出矛盾。于是，由(25)可知

[(f(z+η)-f(z))n(f(z+η)-f(z)-1)](k)也不恒等于常数。 以下假设z0是f(z)的p≥1重极点，那么z0一定是[(f(z+η)-f(z))n(f(z+η)-f(z)-1)](k)的零点，从而z0也是f(z+η)的p重极点。于是由(25)和引理3，5和6可得

(k+1)T(r,f(z+η)-f(z))+

T(r,f(z+η)-f(z)-1)+S(r,f(z))≤

(k+2)[m(r,f(z+η)-f(z))+N(r,f(z+η))]+

S(r.f(z))≤

(k+2)T(r,f(z)+S(r,f(z))

(27)

注意到f(z)的增长级ρ(f)<∞，由引理7可得

(28)

由(27)和(28)可得

(29)

情形2 假设

(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)

(30)

其中

g(z)=f(z+η)-f(z)

(31)

由(30)可得

fn(f-1)-gn(g-1)=Qk

(32)

其中Qk是1个次数不超过k的多项式。如果Qk不恒为零，由(32)，引理2和引理8可得

和

(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+o(1)≤

该式与n>3k+11矛盾。所以Qk=0，于是(32)变为

fn(f-1)=gn(g-1)

(33)

以下假设f不恒等于g。设

(34)

以下分两种子情形讨论：

子情形2.1 假设h是1个常数，那么h≠1，于是1-hn+1和1-hn+1不同时为零。由(33)和(34)可得(1-hn+1)g=1-hn，于是(1-hn+1)(1-hn)≠0，从而

(35)

这与g为非常数的亚纯函数矛盾。

子情形2.2 假设h不恒为常数，那么h-1，1-hn+1和1-hn全不恒为零，于是由(33)和(34)可得(35)。由引理9可知，1-ωn+1和1-ωn有且只有1个公共零点ω=1。由此结合(35)和引理2可得

(36)

于是S(r,f)=S(r,h)。由第二基本定理可得

(n-2)T(r,h)+S(r,h)，

(37)

其中，αj(1≤j≤n)是ωn+1=1的n个判别的根并且αj≠1。于是由(37)可得

这与已知条件Θ(∞,f)>2/n矛盾。于是f=g，即f=Δηf。从而完成了定理13的证明。

定理12的证明 由引理4,分2种情形讨论如下：

情形1 假设

(38)

首先类似于定理13证明过程中的情形1可得(fn(f-1))(k)和(f(z+η)n(f(z+η)-1))(k)均不恒为常数。再由(38)，引理3，引理5和引理6可得

N(r,f(z)n(f(z)-1)](k))=

(k+1)T(r,f(z+η))+T(r,f(z+η)-1)+

(k+2)T(r,f(z+η))+S(r,f(z))≤

S(r,f(z))

(39)

情形2 假设

(40)

由(40)，类似于定理13的证明过程中情形2可得f(z)=(f(z+η)，于是完成了定理12的证明。

致谢：本文作者感谢审稿人有价值的评论和建议。

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AMS Subject Classifications： 30D30; 30D35

责任编辑 陈呈超

(fn(f-1))(k)(gn(g-1))(k)=1

(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)。

(n-k-2)T(r,g)≤T(r,f)+S(r,g)

(f(z)n(f(z)-1))(k)(f(z+η)n(f(z+η)-1))(k)≡1

(f(z)n(f(z)-1))(k)=(f(z+η)n(f(z+η)-1))(k)

Uniqueness Results Concerning Differential Polynomials and Difference Polynomials of Meromorphic Functions

LI Xiao-Min, SHI Yue, LI Gang

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Using the difference Nevanlinna theory, we study the uniqueness questions of meromorphic functions whose certain nonlinear differential polynomials share one nonzero finite value with the same of the shifts or the difference operators of the meromorphic functions. The results in the present paper partly give an answer to a question concerning nonlinear differential polynomials of meromorphic functions which was posed by M. L. Fang in 2009. The results in the present paper also extend the corresponding results as in Lahiri[6]、Yang-Hua[7]and Fang[8].

defferential polynomials; difference polynomials; meromorphic functions; Uniqueness theorems

国家自然科学基金项目(11171184；40776006);国家自然科学基金中俄合作协定项目(10911120056);山东省自然科学基金项目(Z2008A01; ZR2009AM008)资助。

2013-05-29；

2014-07-12

李效敏(1967-)，男,副教授。E-mail: xmli01267@gmail.com

O174.52

A

1672-5174(2015)05-131-08

10.16441/j.cnki.hdxb.20130247