恒成立和有解问题分析

曹标平

例 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若对任意[x1∈[0，1]]，总存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）=f（x1）]成立.求[a]的范围.

解析 [x∈[0，1]]时，[f（x）]的值域[A=[0，1]]，

[x∈[0，1]]时，[g（x）]的值域[B=[5-2a，5-a]].

[?f（x1）∈A]，[?x0]使[f（x1）=g（x0）∈B]，即集合[A]中任意一个元素都在集合[B]中，

[∴A?B].

[∴5-2a≤0，5-a≥1?a∈[52，4].]

变式1 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若对任意[x1∈[0，1]]，总存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）>f（x1）]成立.求[a]的范围.

解析 [g（x0）]比任意的[f（x1）]大，即[g（x0）>fmax（x）].

问题等价于存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）>fmax（x）]，即不等式[g（x）>fmax（x）]在[[0，1]]上有解.

[∴gmax（x）>fmax（x）]，即[5-a>1]，[a<4].

又[a>0]，[∴0

变式2 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若对任意[x1∈[0，1]]，总存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）

解析 [g（x0）]比任意的[f（x1）]小，即[g（x0）

问题等价于存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）

[∴gmin（x）52].

点拨 以上三类问题都是从“任意”开始入手.

变式3 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若对任意[x1，x2∈[0，1]]，总有[g（x1）>f（x2）]恒成立.求[a]的范围.

解析 首先将不等式[g（x1）>f（x2）]看成关于[x1]的不等式，把[x2]当作常数处理，问题等价于不等式[g（x）>f（x2）]在[[0，1]]上恒成立，即[gmin（x）>f（x2）].

问题等价于任意[x2]，使不等式[gmin（x）>f（x）]成立，即不等式[gmin（x）>f（x）]在[[0，1]]上恒成立，即[gmin（x）>fmax（x）].

[∴5-2a>1]，[a<2].

又[a>0]，[∴0

变式4 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若存在[x1，x2∈[0，1]]，使得[g（x1）>f（x2）]成立.求[a]的范围.

解析 首先将不等式[g（x1）>f（x2）]看成关于[x1]的不等式，把[x2]当作常数处理，问题等价于不等式[g（x）>f（x2）]在[[0，1]]上有解，即[gmax（x）>f（x2）].

问题等价于存在[x2]，使不等式[gmax（x）>f（x）]成立，即不等式[gmax（x）>f（x）]在[[0，1]]上有解，即[gmax（x）>fmin（x）].

[∴5-a>0]，[a<5].

又[a>0]，[∴0

点拨 处理含多个参数的问题时，控制变量是一种常用的方法：将一个字母看作变量，其他字母当作常数处理.

变式5 设[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若对任意[x∈[0，1]]，总有[g（x）>f（x）]恒成立.求[a]的范围.

解析 问题等价于[H（x）=g（x）-f（x）>0]在[[0，1]]上恒成立，常用的处理方法有两种：方法1：分参. 方法2：[Hmin（x）>0]. （步骤略）

点拨 变式3和变式5的比较：变式3中不等式左、右两边变量的取值相互独立，也就是说[x1]，[x2]取值互不影响，可以相等也可以不等；而变式5中不等式左、右两边的变量是同一个变量，取值是一样的. 所以这是两类不同的问题，因此处理方法是不一样的.