解分式方程谨防“四个失误”

□李昊然

解分式方程谨防“四个失误”

□李昊然

例1解方程

误解：

方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6，

整理得5x＝5，x＝1，所以原方程的根为x＝1.

剖析：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验.

正解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1）得2（x－1）＋3（x＋1）＝6，

整理得5x＝5，x＝1.

检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，

因此x＝1是增根.所以原方程无解.

失误二：解分式方程失根

例2解方程

失误一：解分式方程漏检验

误解：方程两边通分得

所以（x－4）（x－3）＝（x－5）（x－1），

即x2－7x＋12＝x2－6x＋5，所以x＝7，经检验x＝7是原方程的根.

剖析：上述解法错在两边同除以（3x＋1）造成了失根，注意解方程，当两边同除以含未知数的整式时，要先假定此整式不等于零，之后还要讨论此整式等于零的情况.

正解：方程两边分别通分得

所以（x－4）（x－3）＝（x－5）（x－1），即x＝7.

失误三：解分式方程漏乘

例3解方程

误解：去分母，得（x＋1）＋1＝4，解之得x＝2.

检验：当x＝2时，公分母x－5＝－3≠0，所以x＝2是原方程的根.剖析：去分母时，右边的整式项“4”漏乘公分母（x－5）而导致错误.正解：去分母，得（x＋1）＋1＝4（x－5），整理得3x＝22，所以x=，经检验x=是原方程的根.

失误四：解分式方程错符号

例4解方程

误解：方程两边同乘以最简公分母3（x＋2）（x－2）得3（x＋2）＝3（x＋2）－6－x，以下步骤略.

剖析：去分母时有两处错误：方程左边一项乘以3（x＋2）（x－2）应等于－3（x＋2）；方程右边第二项乘以公分母后应等于－（6－x）＝－6＋x.

正解：去分母，得－3（x＋2）＝3（x＋2）－（6－x），整理得7x＋6＝0，解之得x=-，经检验x=-是原方程的根.