不允许卖空情况下多阶段均值-方差投资组合优化

张 鹏，曾永泉

(1.武汉科技大学管理学院，湖北 武汉，430081; 2.华中师范大学社会学院，湖北 武汉，430079)

不允许卖空情况下多阶段均值-方差投资组合优化

张 鹏1，曾永泉2

(1.武汉科技大学管理学院，湖北 武汉，430081; 2.华中师范大学社会学院，湖北 武汉，430079)

提出了不允许卖空情况下终期财富最大化的多阶段均值-方差投资组合模型，其目标函数不具有可分离性。将该模型嵌入到一个辅助模型中，从而转化为目标函数可分离的动态规划问题，并用离散近似迭代法进行求解。最后采用源自上海证券交易所的实证数据验证了该模型和算法的有效性。

投资组合；均值-方差；离散近似迭代法；卖空；财富最大化

投资组合是分散投资风险的有效途径。在实际的金融市场中，投资是一个持续不断、贯穿多阶段的过程。相对于单阶段投资组合而言，多阶段投资组合是一个随机非线性的动态复杂系统，其优化求解要复杂得多。

一般的多阶段投资组合模型都是效用函数模型,而Li等[1]提出了终期财富最大化的多阶段均值-安全首要投资组合模型，并用嵌入的方法将该模型转化为一个能用动态规划方法处理的问题,从而得到了最优投资策略及有效前沿的解析表达式。在上述研究的基础上，Li等[2]又提出了多阶段均值-方差投资组合模型。Calafiore[3]考虑了金融资产分配序贯决策问题，并提出具有线性控制的多阶段投资组合模型。Zhu等[4]提出具有破产风险控制的多阶段均值-方差投资组合模型。Yu等[5]提出具有破产风险控制的多阶段均值-绝对偏差投资组合模型。Yan等[6]用半方差代替方差来度量投资风险。Pnar[7]使用下方风险(downside-risk)度量方法研究多阶段投资组合模型。考虑线性交易成本、投资组合分散化程度和偏度等目标，Zhang等[8-9]和Liu等[10-11]提出了多阶段模糊投资组合模型，并分别运用遗传算法、混合智能算法和微分近似算法求解。笔者提出了具有基数约束的多阶段均值-绝对偏差模糊投资组合模型，并结合自创算法——离散近似迭代法和CPLEX软件进行求解[12]。

以上终期财富最大化多阶段投资组合模型均没有考虑非负约束，本文拟提出不允许卖空情况下终期财富最大化的多阶段均值-方差投资组合模型，运用嵌入式方法将该模型不可分离的目标函数转化为可分离的。由于该问题的决策变量存在非负约束，运用动态规划方法求解很困难，因此本文拟采用离散近似迭代法进行计算。

1 多阶段均值-方差投资组合模型

(1)

模型(1)可以简化为：

(2)

假设E(rt(rt)′)是正定矩阵，即

E(rt(rt)′)=

(3)

根据式(3)可得：

(4)

由式(4)可得：

(5)

和

∀t

(6)

不允许卖空情况下终期财富最大化的多阶段均值-方差投资组合模型为

maxE(ST)

(7)

minσ2(ST)

(8)

式中：σ(σ≥ 0)和ε(ε≥ 0)分别是给定σ2(ST)和E(ST)的预期值。

模型(7)和模型(8)可以转化为：

maxU(E(ST),σ2(ST))=E(ST)-ωσ2(ST)

(9)

式中：ω≥ 0。

假设模型(9)的最优解为Π*，即Π*={π|π是模型(9)的最优解}。

模型(9)的目标函数不具有可分离性，不能直接运用动态规划方法求解，因此需要将原模型嵌入到一个辅助问题中，然后进行求解。

2 辅助模型的构建

将模型(9)嵌入到下面的辅助模型中：

(10)

证明：假设π*是模型(9)的可行解，但不是模型(10)的可行解，则

即

(11)

假设

U=E(ST(π))-ωσ2(ST(π))

(12)

定理证毕。

证明：模型(10)可以转化为

(13)

E2(ST(λ,ω))}

(14)

对于模型(14)的(λ*,ω)最优值的一阶必要条件为

(15)

(16)

由式(15)和式(16)可得：

λ*=1+2ωE(ST)|π*。

定理证毕。

根据文献[6]可知，模型(13)等价于

(17)

(18)

3 多阶段均值-方差投资组合优化

运用离散近似迭代法[13-14]求解模型(18)，离散近似迭代法是线性收敛的[15]，其具体步骤如下。

(1)将状态变量St按照从小到大离散成四等份，即形成5个值。

设m为充分小的正数，每阶段状态变量的最小值和最大值按照以下方法确定：

模型(18)第t阶段优化可以转化为

(19)

(2)运用不等式组的旋转算法求出不同状态值所对应的目标函数值，并构造多阶段有向赋权图。

(4)在上述最长路的基础上继续迭代。将第K+1次最长路的每阶段状态值分别与该阶段状态值的最小值和最大值形成两个区间，各自分成二等份并转(2)。

4 算例

从上证50中选择6只权重股票，分别为S1(600005)、S2(600016)、S3(600050)、S4(600104)、S5(601318)、S6(600601)，以2006年1月至2008年3 月每一季度末收益率为样本数据，如表1所示(数据来源于广发证券至强版基本资料数据库)。

从表2可知，在不允许卖空情况下，对于一个期望收益率为0.1410的投资者来说，他在第一阶段对6只股票的最优投资策略应为：全部资金用于购买股票S1,不购买其他股票。同样可知在其他期望收益率下的第一阶段最优投资策略。

运用离散近似迭代算法可以计算出5个阶段的最优投资策略，如表3所示。由表3可见，第一阶段的最优投资策略(对应St=1.1357)为：投资者以85.37%和14.63%的比例分别投资于股票S1和股票S2，不购买其他股票。同样可以得到其他阶段的最优投资策略。

5 结语

本文提出了不允许卖空情况下终期财富最大化的多阶段均值-方差投资组合模型，运用嵌入式方法将该模型不可分离的目标函数转化为可分离的，使之成为动态规划问题，并采用离散近似迭代法进行求解，通过实证研究证明了该模型和算法的有效性。另外，笔者认为摩擦市场情况下终期财富最大化多阶段投资组合决策问题值得进一步研究。

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[责任编辑 尚 晶]

Optimization of multiperiod mean-variance portfolio selection without short sales

ZhangPeng1,ZengYongquan2

(1.College of Management, Wuhan University of Sciennce and Technology, Wuhan 430081, China; 2. College of Sociology, Central China Normal University, Wuhan 430079, China)

This paper proposes a multiperiod mean-variance portfolio selection model aiming at terminal wealth maximization without short sales,and its objective function is inseparable. The original model is turned to a dynamic programming problem with separable objective function by embedding it in an auxiliary model, which can be solved by the discrete approximate iteration method. Finally, an example using the real data from Shanghai Stock Exchange is given to illustrate the effectiveness of the model and algorithm.

portfolio selection; mean-variance; discrete approximate iteration; short sale; wealth maximization

2015-01-12

国家自然科学基金资助项目(71271161)；国家社会科学基金资助项目(13BJL0062).

张 鹏(1975-)，男，武汉科技大学教授，博士. E-mail：zhangpeng300478@aliyun.com

F224.9;O221.2

A

1674-3644(2015)04-0316-05