反例作用的实验研究——以高一数学教学为例

曾春燕，姚 静

（1．广东石油化工学院 高州师范学院 数学系，广东 茂名 525200；2．华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

反例作用的实验研究
——以高一数学教学为例

曾春燕1，姚 静2

（1．广东石油化工学院 高州师范学院 数学系，广东 茂名 525200；2．华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

对实验班与对照班实施不同的教学策略，探讨反例对中学数学教学的影响．结果表明：反例的恰当使用使得教学效果得到了改善．主要表现在以下几个方面：（1）反例的使用加深了学生对数学概念的理解；（2）反例的使用更好地帮助学生理解和运用定理、法则、公式；（3）反例的使用有助于提高学生发现和纠正数学中的错误和漏洞的能力；（4）反例的使用有助于提高学生解题的能力与解题速度；（5）反例的使用有助于培养学生的创造思维能力．

数学反例；概念；构造；实验研究

1 问题提出

新课改对反例提出了新的要求．例如《普通高中数学课程标准（实验）》：“教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．”“评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例”；《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例．”而且教育理论认为“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息”和心理学的观点认为“在教学中利用反例是一种比较．比较能确定其与被比较对象的共同点和不同点．有比较才有鉴别，才能容易把握住所研究对象的本质特征”．

为了探讨反例对中学数学教学的影响，对实验班与对照班实施不同的教学策略，希望引起教师对反例的重视，并为数学教学改革和教材编写提供一些参考．

2 研究方法

2.1 被 试

广东省某市某校高中一年级一班34人（男19人，女15人），作为实验班；高中一年级二班31人（男17人，女14人），作为对照班．总计65人，其中没有学生之前参加过培训或自己学习了这本书的内容，对初中的涉及函数的内容的掌握情况相当，基础相当．大部分的学生初中都是在同一个学校学习．而且这里的学生都没有自己预习课本的习惯，没有提前自学课本的习惯．

2.2 要 求

分别用一个学期的时间，使用自己编写的教案基本上完成教育部《普通高中数学课程标准（实验）》规定的高中数学必修1的教学任务，学生对该学期的教学内容的掌握程度与运用能力达到或超过同年级．具体要求是：（1）对书本的概念的理解加深，能够辨别概念；（2）能够正确地理解和运用定理、法则、公式；（3）能够懂得使用反例来发现数学问题中的错误和漏洞；（4）运用反例解选择题和判断题．

2.3 数据处理

对于实验数据，采用SPSS软件进行统计．

2.4 方 法

2.4.1 在试验前的测试

开学前，对实验班和对照班的学生都进行了一个前测．入学考试试卷就作为前测试卷．该试卷主要的特点是全面考察高一的学生入学以前的数学基础水平．

2.4.2 在教学中实施的策略

（1）平时教学过程中适当使用反例加深概念定理理解．①“集合的含义及其表示方法”的教学片段．

研究者在讲授了集合的含义与集合中元素的特点，并给学生举了一些正面的例子后，给出了如下的例题：

例1 判断下面的元素是否能构成集合

① 大于6而小于10的整数；② 我国的大河流；③ 身材比较苗条的人；④ 1，2，3，3，4，5；⑤ 4～10以内的整数；⑥ 好心的人；⑦ 很大的实数．

答案：①能；②不能，因为我们不能确定怎样才叫“大”，即这些元素不满足“确定性”，所以这些元素不能构成集合；③不能，因为我们不能确定怎样才叫“比较苗条”，比如说你们可能认为A就是叫身材比较苗条，B不能说是比较苗条，但是我却认为B也叫比较苗条，因此“身材比较苗条”没有一个明确的标准，所以这些元素不能构成集合．④不能，因为这些元素不满足互异性，所以这些元素不能构成集合；⑤能；⑥不能，理由同③；⑦不能，理由同③．

师：既然大家都知道了集合的元素要满足三性．我们可以看到只要不满足其中某一性质，这些元素就不能构成集合．这样你们能不能举一些元素不能构成集合呀？

生：身材比较高大的人．

……

② “函数的概念”的教学片段．

研究者的学生片面地认为：“一个变量随着另一变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系．”为纠正这个错误，在教学中研究者提出如下反例：人的体重随着年龄的变化而变化．通过讨论，学生发现：虽然人的体重与人的身高有关，但是，人的体重不是由年龄唯一确定的，所以人的体重和年龄变化的相依关系不是函数关系．

在学习“函数的表示法”后，为了加深学生对函数概念中“如果对于x的每一个值，都有唯一的值与它相对应”的理解，教学中利用下列选择题帮助理解．

例2 下列图像，可以表示函数的是（）

师：分析函数的定义，我们必须注意这些字眼“任意的一个数x”和“唯一确定”．即如果有某个x有两个或以上的y与之对应，这就不是函数．例如，我们的B的x在图像上有两个y与之对应，故不是函数的图像．

③ “函数奇偶性”的教学片段．

在学习了偶函数的定义并给学生举了一些正面的例子后，研究者一再强调偶函数的定义中不能忽略了“定义域内”和“任意”，否则就不是偶函数．接着给出了如下的例题．

例3 判断下列函数是不是偶函数．

分析：①是，根据定义；②不是，定义域虽关于原点对称，但f(x)≠f(- x)；③不是，定义域不关于原点对称．

最后，研究者与学生一起总结出偶函数必须同时满足“定义域一定关于原点对称”和“在定义域中任取一点x，有f(x)=f(- x)”．

④ “指数函数”的教学片段．

在讲授了指数函数的定义后，研究者安排了如下例题．

例4 判断下列函数是不是指数函数，为什么？

所以研究者与学生一起总结得出：“一个函数是否是指数函数要满足：① a>0，且a≠1，a 为常数；② ax的系数为1或者可以化为1；③ 该函数一定能化成形如y=ax的形式；④ 定义域一定为R．”

研究者还补充了“指数函数的定义中的a>0，且a≠1不能少，少了就不正确”．并且对此举了这样的反例：

若a=0，当x＞0时，ax等于0；当x≤0时，ax无意义．

若a=1，y =1x=1，是一个常量，没有研究的意义．……

（2）使用“反例教学法”来帮助获得学生获得整体性、全面性的知识的方法．

在学习的整个过程中，研究者在适当的时候实施了“反例教学法”．其实施过程如下：

① 选编反例．

研究者本着如下几点原则来选择和编排实施“反例教学法”的反例：第一，反例必须从教学实践中来，真实、生动，符合客观实际．第二，反例必须精炼．第三，反例必须典型．第四，反例必须有针对性．第五，反例必须具有系统性．

② 呈现反例．

在讲完一个单元或一个章节基础知识之后呈现这些反例．呈现的方式是以给每个学生印发一份文字反例，并利用多媒体技术呈现反例．

③ 分析反例．

对于同一个反例，每个学生可以发表出不同的看法．教师要引导学生发现揭示反例的本质错误．分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来．

④ 评价反例．

这是对反例分析的总结．一般由教师来完成，教师可以指出学生分析反例的成绩和不足，进行补充与提高性讲授．

（3）在平时教学过程中遇到反例类型的题目时使用反例来帮助解题．

例如，在研究者给学生评讲练习册时，《高中同步精练与测试》中P49有这么一道选择题：“若函数f(x)满足f(a)⋅f( b)＜0，则函数f(x)在区间[a,b]上（ ）．A. 一定没有零点；B. 至少有一个零点；C. 只有一个零点；D. 零点的情况不能确定．”研究者对照了书本的定义，发现少了这么一句话“函数f(x)在在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线”．显然这个选择题有3个选项是根据学生的泛化律设定的．通过举反例（反例略）可以引导学生排除其它错误的选项．

（4）在作业评讲课上使用反例来纠正学生的错误．

对于学生作业和练习册上出现的错误，研究者找出比较典型的错法，安排专门的作业讲评课使用反例来纠正学生的错误．

以上策略，只在实验班实施，对照班不实施．

2.4.3 在试验后的测试

在讲完所有新课后使用自行设计的测试卷对实验班和对照班进行后测．后测卷的维度见表1．

表1 后测卷的维度

3 结果及分析

3.1 前测试卷的结果与分析

对在实验前的测试试卷的数据分析表明，虽然实验前实验班的成绩（M=35.68，SD=11.98）略低于对照班（M=37.00，SD=12.47），但是经过独立样本t检验的结果表明，实验前实验班和对照班的成绩水平之间的差异并不显著，t(63)=-0.436，p=0.665．这更进一步表明实验前实验班和对照班的数学基础水平差不多，从而进一步确认后面教学效果的改善是由于实验的启动所造成的．

前测试卷实验班和对照班的总成绩见表2．

表2 前测试卷实验班和对照班的总成绩

3.2 后测试卷的结果与分析

实验期满后，根据实验的要求，对实验班和对照班进行了全面的测查，结果如下：

（1）反例对概念理解的影响．

后测卷的第1，2，3题主要是测试反例对数学概念理解的影响．第1题通过让学生辨认集合的正反例子，从而帮助学生认识到“集合要满足确定性”：A答案中的“性格开朗”、B答案中的“与1接近”和D答案中的“高个子”都是模棱两可的，是没法确定下来的，因此它们中的例子都不是集合；第2题辨认函数相等的正反例子，从而加深学生对函数相等的理解，即函数相等要求定义域和法则都相同；第3题要求学生掌握指数函数的定义．

在教学集合、函数相等和指数函数时，在实验班里，教师不仅运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且灵活借助反例加深了学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解；而在对照班里教师没有借助反例帮助学生理解．

因此对于实验班在维度1的得分率为74.71%，对照班在维度1的得分率为59.78%，而他们的得分率相差了14.93%，可以认为是由实验引起的．

后测实验班和对照班对概念理解的成绩见表3．

表3 后测实验班和对照班对概念理解的成绩

而且对后测实验班和对照班对概念理解的成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=3.022，p=0.004．这说明，反例的使用对数学概念理解的影响是显著差异的．

由此可推断：反例有助于加深学生对数学概念的理解．

（2）反例对规则理解和运用的影响．

后测卷的第4、5题就是考察反例对定理、法则、公式的理解和运用的影响．

由于学生在学习过程中，受知识的负迁移及思维定势的消极影响，常常不注意定理、法则、公式的适用的范围，或只是死记结论，或滥用命题的等效性，或忽略它们的前提条件，往往闹出很多错误．所以在简易逻辑和对数的运算的教学中针对某些定理给出一些相关命题，构造出一些反例，判断其不真；而在对照班里教师没有借助反例帮助学生理解．

因此对于实验班在维度2的得分率为71.47%，对照班在维度2的得分率为57.42%，而他们的得分率相差了14.05%，可以认为是由实验引起的．

后测实验班和对照班对规则理解运用的成绩见表4．

表4 后测实验班和对照班对规则理解运用的成绩

而且对后测实验班和对照班对定理、法则和公式的理解运用的成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=3.069，p=0.003．这说明，反例的使用对定理、法则和公式的理解运用的影响是显著差异的．

由此，可以推断：反例的使用更好地帮助学生理解和运用定理、法则、公式．

（3）反例对发现错误能力的影响．

后测卷的第6、9题就是考察反例对学生发现和纠正数学中的错误和漏洞的能力的影响．

第6题表面看来是一道求值题，实际上它是一道错题，当我们可以取a=b=c=0，否定了问题的严密；第9题是一道纠错题，要求学生发现某种算法的错误．

学生在解题过程中囿于对知识掌握的不深刻、对问题思考的不全面、以及一些紧张情绪等等，这一切导致了学生解题的错误．对于这种错误，在实验班里教师利用反例来辨析错误中．

现阶段关于数学的习题集很多，难免良莠不齐，而且就算在一些权威性的书中也时时出现错题．这给解题者带来很大的障碍，在实验班里教师注重通过考察题目中题设的完全性、结论的可能性、概念的准确性、以及题设结论之间的和谐性来构造出反例，让学生不再迷信书本，加强批判性思维，达到自我的肯定．而在对照班里教师只是从正面纠正错误．

因此对于实验班在维度3的得分率为84.41%，对照班在维度3的得分率为65.81%，而他们的得分率相差了18.60%，可以认为是由实验引起的．

后测实验班和对照班发现错误能力的成绩见表5．

表5 后测实验班和对照班发现错误能力的成绩

对后测实验班和对照班对发现错误能力的成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=2.720，p=0.008．这说明，反例的使用对学生发现错误的能力的影响是显著差异的．

由此，可以推断：反例的使用有助于提高学生发现和纠正数学中的错误和漏洞的能力．

（4）反例对解题速度的影响．

后测卷的第7、8题就是考察学生使用反例来帮助解题的能力．

第7题由于考察的知识点学生没有学过，但是要是用反例来解就很容易了．第8题举出一个反例即得命题不成立．

在实验班中，教师介绍解选择题时利用反例可排除选项中不合题意的项和解判断题可以通过举一个反例来否定一个命题的方法．在对照班中不讲这两种方法．

因此对于实验班在维度4的得分率为73.24%，对照班在维度4的得分率为60.32%，而他们的得分率相差了12.92%，可以认为是由实验引起的．

后测实验班和对照班解题速度的成绩见表6．

表6 后测实验班和对照班解题速度

而且对后测实验班和对照班对解题速度的成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=2.696，p=0.010．这说明，反例的使用对学生解题的能力与解题速度的影响是显著差异的．

由此，可以推断：反例的使用有助于提高学生解题的能力与解题速度．

（5）反例对创造思维能力的影响．

后测卷的第9题通过让学生构造出反例来推翻某种解法来考察学生的创造思维能力．

文[7]中提到：在寻找、构造反例的过程中，学生的创造性得到了最大限度地发挥；长期训练学生构造反例，就是在训练学生的思维创造能力．因此在实验班中教师重视学生构造反例能力的培养，而对照班却不重视这个．

因此对于实验班在维度5的得分率为50.88%，对照班在维度5的得分率为39.68%，而他们的得分率相差了11.20%，可以认为是由实验引起的．

后测实验班和对照班创造思维能力的成绩见表7．

表7 后测实验班和对照班创造思维能力的成绩

而且对后测实验班和对照班创造思维能力的成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=2.214，p=0.032．这说明，反例的使用对培养学生创造思维能力的影响是显著差异的．由此，可以推断：反例的使用有助于培养学生的创造思维能力．

然而学生的创造思维能力是受到多方面因素的影响，反例的构造只是在一定程度影响了学生的创造思维能力．而且学生的创造思维能力不是一两天就能促成的，而是长时间的积累促成的．因此实验对学生的创造思维能力的检验具有一定的局限性．

（6）总分．

实验班总分的得分率为78.41%，对照班总分的得分率为62.58%，而他们的得分率相差了15.83%．后测实验班和对照班的总成绩见表8．

表8 后测实验班和对照班的总成绩

而且对后测实验班和对照班总成绩进行独立样本t检验的结果表明，实验班的成绩水平高于对照班，其差异达到了显著差异水平，t(63)=3.150，p=0.002．这说明，反例的使用使得教学效果得到了改善．

后测试卷验证了我们的设想，即反例的使用使得教学效果得到了改善．

4 结论与建议

4.1 反例在中学数学中的作用

由对后测卷的结果分析可以总结得到，反例在中学数学中的作用主要有以下5点：

（1）加深对数学概念的理解；

（2）帮助学生理解和运用定理、法则、公式；

（3）发现和纠正数学中的错误和漏洞；

（4）培养了学生的创造思维能力；

（5）提高了学生解题的能力与解题速度．

4.2 关于反例的使用问题

（1）注意主次．教学中主要讲授概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导．但举反例重在说明结构、辨清是非，故学生对反例的掌握要求不能太高，它应是围绕主要内容进行的有效的辅助手段．

（2）注意适当．反例应是经过挑选的，既要简单又能说明问题．让学生构造的反例难度应该适当，以免浪费很多时间和精力，且使学生有挫败感．不同的教学内容、授课类型,应运用不同的反例，有不同的要求．

（3）教师选择反例必须符合学生实际水平，不宜过难，要深入浅出．若例子难度太大，会使学生忽视概念的关键，强调了事物的无关因素，效果不好．例如，判断命题“若3条直线a、b、c两两都是异面直线，则与a、b、c都相交的直线不一定存在”该判断显然不正确．这里是以学生们熟知的平行六面体为例来说明已知命题为假命题的．

（4）教师无须经常开展数学反例教学专题课，只要在在平时教学过程中适当的穿插使用反例，或者在平时教学过程中遇到这类型的题目时和在作业评讲课上使用，并能偶尔开展几次专题课即可．

（6）不要过分强调通过反例来帮助学生学习，一方面是因为学生更多的是通过正面接受知识的，再就是反例的构造确实有一定的难度．

4.3 对于恰当发挥反例的作用的建议

（1）教师方面．

① 教师应主动去了解反例，认识反例的重要性，掌握反例的构造方法．学校应多组织这种类型的学习，多鼓励教师去参加相关内容的学习，并聚集教师一起交流．

② 教师最好多读书，多思考，从多渠道积累反例．同时，也要注意总结反例的使用经验．在教学中逐步向学生渗透反例的思维，从而使学生在不断反驳与肯定中达到自我思维的肯定、知识体系的完善．同时，在教学中逐步教给学生寻找、构造反例的方法．使得学生的创造性得到最大限度地发挥．

③ 因为高质量的数学反例参考书很少，所以需要教师根据自己的经验去构造相类似的反例．即教师本身就要掌握构造反例的方法．

④ 要熟知学生的数学能力，以班级的数学能力水平选择好的、合适的数学反例．

⑤ 注意培养学生反例的思维和指导学生逐步体验构造反例的方法．

（2）学生方面．

① 多相信自己的能力，多肯定自己的想法，多怀疑，多从正反两面思考，多问为什么，多与老师讨论．

② 主动训练构造反例，训练思维创造能力．

③ 学会利用反例来解题的方法．特别是解答选择题时可以考虑从“特例”、“反例”上下功夫．

④ 构造反例是比较困难的．所以学生不能有畏难的情绪，因为能力是逐步培养起来的．

[1] 马克杰．高中数学中的反例[M]．济南：山东教育出版社，1988．

[2] 普通高中课程标准实验教科书·数学必修1 [M]．北京：人民教育出版社，2006．

[3] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．

[4] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：北京师范大学出版社，2004．

[5] 曾春燕，姚静．反例在中学数学教学中使用情况的调查研究[J]．数学教育学报，2012，21（3）：51．

[6] 蔺小林，刘侃，李仲博．反例教学法在职业技术学院学生数学课堂中的应用[J]．西北成人教育学报，2013，（2）：13-14．

[7] 杨逸峰．初等数学中反例的作用和构造[J]．数学通报，2004，（11）：36-37．

[8] 张鑫浩，卢蕊，华芳．反例在数学教学中的作用[J]．镇江高专学报，2005，（1）：93-95．

[9] 刘卓雄．加强文化素质教育[J]．宁德师专学报（自然科学版），2000，（3）：161-163．

[10] 谢爱云，王鹏飞．反例方法的功能与施教时机[J]．商洛师专学报，1997，（2）：16-17．

[11] 高中数学“反例教学法”的模式研究[DB/OL]．http://yangxj.cixiedu.net/info_Show.as p?ArticleID=405, http://www. sxpyzx.com/ReadNews.asp?NewsID=1106

Experimental Study on Effect of Counterexamples to Mathematics Teaching in Grade one of Senior High School

ZENG Chun-yan1, YAO Jing2
(1. Department of Mathematics and Computer, Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochem ical Technology, Guangdong Maoming 525200, China; 2. Department of Mathematics, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Through the implementation of different teaching strategies in the experimental class and the control class, discusses the impact of counterexamples to the m iddle school mathematical teaching. The results show that: the appropriate use of examples make the teaching effect is improved. Mainly in the follow ing aspects: (1) a counterexample using enhance the students understanding of mathematical concepts; (2) better use of counterexamples help students understand and use theorem, formula, rule; (3) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples help students improve the ability of solving problems and solving speed; (5) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples contribute to the cultivation of students' creative thinking ability.

mathematical counter examples; concept usage; construction; experimental study

G420

：A

：1004–9894（2015）01–0077–05

[责任编校：周学智]

2014–09–05

广东教育研究院院2014年度教育研究课题——专家—新手教师教学准备的比较研究（GDJY-2014-A-b216）；广东石油化工学院高州师范学院2013年度教育科学“十二五”规划课题——专家—新手教师备课的比较研究（2013GSKT08）

曾春燕（1984—），女，广东信宜人，讲师，主要从事数学教学研究．