基于过程教育的“一次函数应用（第2课时）”课例及分析

☉浙江省象山县教育局教科研中心 邬云德

基于过程教育的“一次函数应用（第2课时）”课例及分析

☉浙江省象山县教育局教科研中心 邬云德

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标（2011年版）”）倡导过程教育以全面发挥数学的育人功能.但调研发现课堂教学普遍与过程教育存在偏差，特别是获得数学结果（或解决问题）的认知过程短暂和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程缺失，导致不能满足学生感悟其蕴含的数学思想方法及发展能力与个性的需要.基于过程教育的浙教版义务教育教科书数学八年级上册第五章第5节“一次函数应用（第2课时）”怎样教学？笔者通过多次螺旋式教学探索与反思基础上形成的教学经验得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历回顾并提出问题的过程——明确研究的问题

环节2：探索解决涉及两个函数的问题的方法——体会数形结合思想方法

师：现在请大家合作解答问题1.

问题1：已知A、B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车.图1中 DE、OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图像.问：

图1

（1）乙先出发，甲后出发，相差多少时间？

（2）甲到达B地时，乙在离A地几千米处？

（3）甲的速度是多少？乙的速度是多少？

（4）何时两人相遇？相遇地点离开A地几千米？

（约2分钟后）

师：谁来回答（1）？

生1：根据图像可知：两人相差1小时.

师：不错.谁来回答（2）？

生2：甲到达B地时，乙在离A地80千米处.

师：不错.谁来回答（3）？

师：好的.谁来回答（4）？

生4：通过作图可得：当乙离开A地1.8小时时两人相遇，相遇地点离开A地约48千米.

师：不错.但用作图法得到的解可能是近似的.有没有比较可靠的求交点坐标的方法？

生5：有.因为交点坐标应同时满足涉及的两个函数关系式，所以可利用函数解析式来求其交点坐标.

师：有道理.乙离开A地的路程s1（km）与时间t（h）的函数表达式是什么？

师：不错.甲离开A地的路程s2（km）与时间t（h）的函数表达式是什么？

生6：s2=60t-60.

师：好的.怎样利用函数解析式求其交点坐标？

生7：令s1=s2，则t=60t-60，解得t=1.8.当t=1.8时，s1= s2=48，所以其交点坐标是（1.8，48）.师：好的.你用的是函数观点.

生8：设交点坐标（t0，s0），则解得

师：好的.你用的是方程思想.

师：求交点坐标有三种方法：“作图方法”“函数方法”“方程方法”.

师：“形”方法与“数”方法的优点与缺点分别是什么？

生9：“形”方法的优点是直观且方便，其缺点是得到的解可能是近似的；“数”方法的优点是不需要图像并能得到准确的解，其缺点是抽象且需要运算.

师：不错.“形”的方法对画图要求较高；“数”的方法对思维要求较高.因此，一般地，解决这类问题的基本思路是：根据条件列出涉及的函数关系式→在同一直角坐标系中画出其图像（有时可以是草图）→用适当的方法（“数”或“形”）解决有关问题.其理论依据可用图2表示.

图2

环节3：参与尝试方法应用的活动——合作解决有代表性的问题

师：现在我们用上述思想方法来解决问题2.

问题2：小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午7：00，小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路（如图3）去飞瀑，车速为30km/h.小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为20km/h.问：

（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？

（2）当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？

图3

（稍停顿后）

师：（1）的数学本质是什么？（2）呢？

生10：（1）的数学本质是“求两个函数图像的交点坐标”；（2）的数学本质是“已知一个变量的值求另一个变量的值”.

师：好的.解决（1）有哪些方法？

生11：①列出涉及的两个函数关系式，用“方程方法”或“函数方法”求其交点坐标；②在同一直角坐标系中画出涉及两个函数的图像，用“作图方法”求其交点坐标.

师：思路非常清晰.小聪离开古刹的路程s1（km）与时间t（h）的函数表达式是什么？

生12：s1=30t.

师：好的.小慧离开古刹的路程s2（km）与时间t（h）的函数表达式是什么？

生13：s2=20t+10.

师：好的.请大家在同一直角坐标系中画出它们的图像.

师（待学生完成任务）：谁来解答（1）？

生14：根据图4可得：其交点坐标是（1，30），所以他们还没到草甸.

师：好的.你用的是“作图方法”.

生15：令s1=s2，则30t=20t+10，解得t=1.当t=1时，s1=s2= 30，所以他们还没到草甸.

师：好的.你用的是函数观点.

生16：设交点坐标（t0，s0），则即他们还没到草甸.

师：好的.谁来解答（2）？

生17：观察图像可得：小慧离飞瀑还有5千米.

师：好的.你用的是“图像方法”.

生18：将s1=45代入s1=30t，得45=30t，解得t=1.5.将t= 1.5代入s2=20t+10，得s2=20×1.5+10，解得s2=40.所以小慧离飞瀑还有5千米.

师：好的.你用的是“函数方法”.

师：一般地，求两个函数图像的交点坐标，你会选择哪种方法？

生19：尽管“形”的方法比较简单，但“数”的方法比较可靠，所以一般应选择“数”的方法.

师：有道理.已知自变量的值（或范围）比较两个函数值的大小，你会选择哪种方法？

生20：因为用“形”的方法比较直观，所以会选择“形”的方法.

师：有道理.以后解决有关问题时要灵活运用这两种方法.

（接下来，教师要求学生完成课本中的两道练习题，并在学生完成任务后组织学生交互反馈与评价）

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

师：本节课主要研究了什么？

生21：本节课主要研究了解决涉及两个一次函数的问题的方法.

师：不错.我们是怎样研究的？

生22：先合作解决具体问题并抽象出解决问题的思想方法，再用获得的思想方法解决具体问题.

师：好的.大家在学习过程中有何感触？

生23：求两个图像的交点坐标有三种方法：“作图方法”“函数方法”“方程方法”.

生24：“作图方法”对画图要求较高，“函数方法”和“方程方法”对思维要求较高.

生25：用“形”的方法得到的解可能是近似的，用“数”的方法得到的解比较可靠.

生26：形少数时难入微，数缺形时不直观，解题时要善于运用数形结合的方法.

生27：一次函数解析式与二元一次方程有一定的关系.

生28：当一次函数解析式中的变量固定时，它是二元一次方程；当二元一次方程中的未知数变化时，它是一次函数.

师：大家说得非常到位！图2揭示了一次函数图像、一次函数解析式和二元一次方程之间的关系，以后要根据问题的要求，灵活运用“数”与“形”两种方法.

三、教学分析

“一次函数应用（第2课时）”是探索一次函数实际应用的继续——从解决涉及一个一次函数的问题到解决涉及两个一次函数的问题.其数学本质是求两个函数图像的交点坐标和已知自变量的值（或范围）比较两个函数值的大小.分析并解决有关问题的过程和蕴含的生活常识、变化与对应思想、数形结合思想、转化思想、模型化思想等及一次函数解析式与二元一次方程的关系，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响.“课标（2011年版）”（内容标准）对一次函数应用的教学要求是会用一次函数解决简单的实际问题.本节课根据“课标（2011年版）”（内容标准）的教学要求和教材的教学意图，以两个学生熟悉的实际问题为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，引导学生经历了完整的认知过程.在问题1的教学中，既有“看图说话”的认知过程，以解答给定的问题，也有解答问题之后的反思，以明确求两个函数图像的交点坐标有三种方法，感悟其蕴含的数学思想及用“数”的方法求交点坐标的理论依据.在问题2的教学中，既有“分析、列式、画图、求解”的认知过程，以再认“作图方法”、“函数方法”和“方程方法”，也有解决问题之后的反思，以进一步感悟其蕴含的数学思想及“形”的方法与“数”的方法的价值.在“回顾与思考”的教学中，既有教师价值引导下学生思考与交流，也有教师的总结性讲解.初步的理论求证与实践验证表明，本节课选用的载体与方法体现了过程教育和以学为中心的思想，也符合问题解决教学的基本规范，能实现“会综合运用一次函数表达式和图像解决简单实际问题，会用“作图方法”、“函数方法”和“方程方法”求两个函数图像的交点坐标，能感悟其蕴含的转化思想、数形结合思想等及一次函数解析式与二元一次方程的关系”的教学目标.因此，在问题解决教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示问题所蕴含的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，并引导学生经历完整的认知过程.只有这样，才能使学生经历“过程”中的思维“站点”，从而促进学生全面、和谐发展.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.Z