注重概念构建过程促进学生思维发展——“有序数对”概念构建过程的三次教学设计与思考

☉浙江省台州市路桥实验中学 方丹红 执教☉浙江省台州市路桥区教育局教研室 程爱平 评析

注重概念构建过程促进学生思维发展
——“有序数对”概念构建过程的三次教学设计与思考

☉浙江省台州市路桥实验中学 方丹红 执教
☉浙江省台州市路桥区教育局教研室 程爱平 评析

《义务教育数学课程标准》指出：“对抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.”数学概念不仅是数学抽象的起点，也是学生进行数学思维的核心，让学生充分经历概念的形成过程，有利于学生从本质上理解数学概念，从而能够真正将知识进行内化与顺应.目前，在数学概念教学时缺乏过程的教学，有时只采用直叙的方式给出概念，学生被动地接受概念而缺少对概念的构建过程的感悟，从而缺少对概念的深层理解，因此造成对概念理解不到位，如果学生能经历概念的形成过程，并能主动地参与到数学概念的构建过程中来，就会对概念理解深刻，促进学生思维的发展.

在2014年3月举行的区域七年级数学“学为中心”课堂教学研讨会上，笔者选择人教版《数学》七年级（下）“7.1有序数对”作为研究课题，在整个备课、磨课过程中，坚持遵循以“学为中心”的教学理念，从有序数对的概念的构建到应用进行有效的教学实践，并由教研员评析、指导.

一、初次试教——注重概念描述，缺少构建过程

师：这位同学，你能描述一下你现在就坐的位置吗？

生1：第3列第1排.

追问1：你是怎么数的？（生指着位置从第一列和第一排开始数了起来）

追问2：那你是不是在心里约定了你这排为第一排，靠近走廊这一列为第一列？（生点了点头）

师：好，那我们就按照这位同学的约定，他这排为第一排，靠近走廊这一列为第一列，那谁来说说班长就坐的位置如何来描述？

生2：第1列第5排.

师：很好，把我们的教室变成如图1所示的平面图（出示教室平面图），那每个同学都能找到自己的位置.

师（小结）：像第几列第几排，都是用含两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同含义，为了表达更加简洁，我们抽取这两个数，组成一个数对，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.

评析：初次试教，重点欠突出，有序数对概念的得出只是直接由笔者陈述得出，学生缺少体验感悟的过程，尤其是有序数对概念的得出没有体现引入它的必要性和重要性，比如为什么叫做有序？为什么要用数对表示？再比如两个数字是一样的，位置为什么不一样？这些问题在这节课中都没有体现出来，对于概念教学课来说这节课是欠完美的，需深入研究教材，积极查找有序数对的相关材料和概念教学的相关著作，对概念的构建过程重新进行设计.

图1

二、第二次试教——注重概念构建，缺少体验过程

师：首先让我们再来感受一下北京奥运会开幕式上击缶倒计时那激动人心的一幕（视频播放3分钟），这壮观的背景图案，你知道它是怎么组成的吗？为了研究这个问题，我们先不妨缩影到教室.

问题1：请问班长在哪里？谁能描述一下班长在这个教室里的位置？

生1：第3列第2行.

追问：你是怎么数的？

生1：我是将左边为第一列，前面第一排为第一行.

师：好，那我们就按照你的约定，左边为第一列，前面第一排为第一行，把我们的教室变成如图1所示的示意图（出示教室平面图）.

师：由于老师不知道各位同学的名字，如果老师仅仅报列号，能否确定是哪位同学？

生齐：不能.

追问1：如果仅仅报行号呢？

生齐：也不行.

追问2：为什么？

生2：因为这一列和这一排的同学很多，不能确定.

追问3：由此可见，确定一个位置需要几个数据？

生齐：两个.

追问4：哪两个？

生齐：行号和列号.

师：在这个问题中，为了使表述更加简洁，我们可以用数对表示，两个数字中间用一逗号隔开，再用小括号括上，表示是一对，那班长的位置就可以用数对表示为（3，2），那你们的位置可以用怎样的数对表示？（生思考后纷纷回答）

师：那接下来我们就来比一比，老师报出一个数对，请相应的同学起立，看看哪位同学的反应最快？请（4，5）起立（生3站了起来）.

师：请（5，4）起立（生4站了起来）.

追问1：为什么同样是相同的两个数，站起来的同学却不一样？

生5：因为两个数对不一样.

追问2：两个相同数字的含义是否相同？

生6：不相同.比如前一个5表示第5行，后一个5表示第5列.

师（小结）：回答得很好！所以说数对也是有顺序的，调换一下位置就不一样了，所以我们要先有个规定，比如列号在前，行号在后，有了规定后，那这样组成的数对，我们称之为有序数对.（出示有序数对概念）

评析：相比初次，有序数对概念的构建比较注重过程的探讨，分别从数对和有序两方面进行探究，注重对数对和有序概念的构建过程，通过设问仅仅报列号或行号，能否确定是哪位同学？学生回答不能，学生自然而然明白确定一个位置需要两个数据，从而引入了数对，再通过比较（4，5）和（5，4），同样相同的两个数表示的位置却不同，从而让学生体会到有序的意义.本次虽然注重了概念的构建过程，但是学生对这一过程的体验还不够深刻，要让学生充分体验构建的过程，从而很自然地概括出有序数对的概念，带着这个问题，需再次思考整理，对概念的构建进行研究.

三、第三次试教——注重构建过程，重视体验感悟

师：首先让我们再次来感受一下北京奥运会开幕式上击缶倒计时那激动人心的一幕（视频播放3分钟，最后停留在倒计时7秒），如图2，这场面确实让人非常的震撼，这是由两个方阵组成的背景图案，你知道这些背景图案是怎么组成的吗？（学生思考）

师：想知道其中的秘密吗？事实上这里面蕴含着数学的知识，运用这些数学知识，我们班同学也可以组成这绚丽多彩的图案，为了研究这个问题，我们先不妨缩影到教室.请问班长在哪里？谁来描述一下班长在这个教室中的位置？

图2

生1：第8列第4排.

师：你是怎么数的？（生指着位置数了起来）

师：哦，你是约定这边为第一列，这是第一排是吧，约定是人为的，不同的约定，位置的表述也就不一样，那好，为了研究的方便，我们就先按照这位同学的约定，那班长的位置就可以描述为第8列第4排，那再请问副班长的位置怎么描述？

生2：第4列第7排.

师：大家看，这样描述位置多麻烦啊，有没有更加简单的方法来表示呢？

生3：利用数对（8，4）.

追问1：为什么要取两个数字来表示，单单一个数字8行吗？（生齐声说不行）

追问2：那第5列第4排的同学可以记作？

生4：（5，4）.

追问3：那第4排第5列的同学可以怎样描述？

生5：（5，4）.

追问4：为什么不写成（4，5）？

生6：因为列在前，排在后.

师：对，我们要先作规定：列在前，排在后，大家看，这是两个相同的的数字组成的数对，为什么表示的位置不一样？

生7：因为含义不同，前面一个5表示列，后面一个5表示排.

师：很好，这说明数对是有顺序的，如果调换一下位置，那表示的位置就不一样，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.

师：那么现在你是否感悟到了那壮观的场景是怎样形成的？原来，球场上的2008个同学，每人都按图案设计的要求，按排号、列号站在一个确定的位置，随着指挥员的信号，相应的同学开始击缶，整个方阵就组成了壮观的背景图案.

评析：北京奥运会击缶倒计时视频引入，停留在倒计时7秒时的位置，一下激发起了学生学习的兴趣和探究的欲望，之后重点探索有序数对概念的构建过程，在老师巧妙的设问中和一连串的追问中，造成学生认知的冲突，让学生经历了有序数对的构建过程，从而使学生充分感知数对的含义及有序的意义，通过这一探讨过程，让学生充分理解了有序数对这一概念，拓展了学生的思维能力.有序数对的概念得出后，在互动游戏中学生站立起来刚好组成7这个数字，学生马上悟到了奥运会倒计时是怎样形成的，感叹数学就在身边，通过亲身体验这一形成过程，从而感悟到学习有序数对的必要性，此时无声胜有声.

四、对概念课教学的几点思考

1.概念的构建过程要自然流畅

学习是一个主动建构的过程，要让学生知其然，而且知其所以然，学生主动地参与到数学概念的构建过程中来，这样学生才能对概念理解深刻，运用自如.本节课第三次试教中对有序数对概念的得出，从“为什么要引入数对？”“为什么要作规定列在前，排在后？”让学生在冲突中来感悟数对和有序的必要性.数学概念是数学思维的载体，数学概念的形成过程是学生通过思维活动“再创造”的过程，教师应合理地运用教学方式和手段，通过有效的提问，师生的互动来构建新知，例如通过一连串的追问，通过辨析（4，5）和（5，4）构建了数对的概念，以及对于有序的理解.概念的教学不是简单的传授，要让学生在教师的引导下充分体验概念的构建过程，以此不断提升学生的思维能力.

2.概念的引入要贴近学生实际

概念的引入是进行概念教学的第一步，在教学中要从学生原有的知识结构、认知水平、兴趣特点等来选择合适的情境，从而有效地引入新课.概念的引入可以以贴近实际生活情景作为导学，例如以北京奥运会2008个同学组成的方阵击缶倒计时视频引入，停留在倒计时7秒时的位置，引发学生去思考如何来确定击缶的位置，才能形成如此壮观的图案，这一情景激发起了学生对枯燥的概念学习的欲望和浓厚的学习兴趣，为探究新知创设了良好的开端.

3.概念的运用要注重深层理解

概念的运用是掌握概念过程中不可缺少的环节，通过运用可以加深理解，增强记忆，对概念的运用应注重由浅入深，逐步发展学生的思维，体会“数学来源于生活，服务于生活”的理念，达到学以致用的目的.例如，在概念形成后，教师可指出：“利用有序数对，可以准确地表示出一个位置，请同学们举出生活中的实例.”此时同学踊跃发言，如人们常用经纬度表示地球上各个事物的位置等.学生理解和运用概念的过程就是培养数学思维的过程.因此，在概念教学中，教师应结合教学内容及学生实际，采用合理的教学策略，关注概念的构建过程，从而促进学生对概念的理解运用，发展学生的思维能力.

1.李树臣.展现过程是加强“四基”教学的根本途径［J］.中国数学教育（初中版），2012（11）.

2.施彬.课堂教学中如何有效建立新概念［J］.中国数学教育（初中版），2013（11）.

3.韩建芳，孙学东.概念教学，让学生的思维再前行一步［J］.中学数学教学参考（中），2013（12）.H