基于空间可能度的区间粗糙数多属性决策方法

张芳馨，吕跃进（.广西大学　电气工程学院，广西　南宁　530004；.广西大学　数学与信息科学学院）

基于空间可能度的区间粗糙数多属性决策方法

张芳馨1，吕跃进2
（1.广西大学电气工程学院，广西南宁530004；2.广西大学数学与信息科学学院）

摘要：首先利用二维直角坐标系定义了一种区间粗糙数的空间可能度，说明了其几何意义并证明了相关的性质.该定义全面直观地比较了两个区间粗糙数的大小，并准确地将区间粗糙数的大小比较转化为区间数可能度的计算.其次给出了一种基于空间可能度的区间粗糙数多属性决策方法.最后通过实例说明该方法的有效性与实用性.

关键词：区间粗糙数；空间可能度；多属性决策；二维空间

多属性决策是考虑在多个属性或指标下，从多个备选方案中选出最佳方案或对备选方案进行优劣排序的决策问题.多属性决策是决策科学的重要方法之一，其可应用在投资决策、评估项目、工程选址、部门综合评价等诸多领域及项目中.由于事物都存在着人为的或客观的不确定性，因此不确定理论具有极大的学术价值及发展前景，近年来，对不确定信息问题的处理也引起了学术界的广泛关注.在多属性决策中，有时属性值的信息难以用确切的数值[1]来表达，文献[1-3]中的属性值用区间数来表示，直觉模糊数[4]、区间直觉模糊数[5]、三角模糊数[6，7]、梯形模糊数[8，9]等也都曾被当做属性值的不确定形式给出.区间粗糙数是一种不确定型数值的表达方式，通过给定上近似和下近似的区间值，确定数值的最大范围和最可能范围，最大程度地保留了完整的数值信息.这种形式的属性值可以通过统计计算得到.区间粗糙数将信息控制在一个大区间的同时，又以极大的概率属于一个小区间中，将可用信息充分利用.2010年曾玲等首先给出属性值为区间粗糙数的基本定义及运算法则，并构建了优先序信息的多属性决策模型.文献[11]给出了基于理想点的区间粗糙数比较方法，但其比较公式实际意义有所不足，文献[12]给出了基于可能度的区间粗糙数比较方法，但其可能度公式并没有给出理论依据.本文针对属性值为区间粗糙数的多属性决策问题进行了研究，首先利用二维直角坐标系，定义了区间粗糙数的空间可能度，根据区间粗糙数落入不同区间的概率不同，全面的考虑了任意情况下区间粗糙数的大小.然后针对属性值为区间粗糙数，属性权重已知情况，给出了一种基于空间可能度的排序方法，并购建立以此为基础的多属性决策模型，使其具有可行性及有效性.

1　基本概念

定义1[10]区间粗糙数是下近似和上近似均为区间的粗糙集，记为（[a，b]，[c，d]），其中c≤a≤b≤d.

定义2[10]设ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)为两个区间粗糙数，k为实数，则有

定义3[10]设ξ=（[a，b]，[c，d])为区间粗糙数，则ξi的期望值为

定义4[10]设ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)为两个区间粗糙数，则它们的相离度定义为

2　区间粗糙数的空间可能度定义

区间粗糙数可以看做一种特殊的区间数，目前诸多文献都给出了关于区间数的比较方法，文献[13]根据二维空间给出区间数的可能度公式如下.

定义5[13]设区间数a=[a-，a+]和区间数b=[b-，b+]，则a≥b的可能度P（a≥b)的定义为

利用定义5，本文构造了区间粗糙数的空间可能度.根据区间粗糙数的基本定义，可知区间粗糙数ξ=（[a，b]，[c，d])只可能在区间[c，d]中，在区间[a，b]中是一定可接受的，故设定ξ=（[a，b]，[c，d])落入区间[c，a]概率为λ1，落入区间[a，b]的概率为λ2，落入区间[b，d]的概率为λ3，且满足λ1+λ2+λ3=1，其中λ2≥0.6.

定义6设区间粗糙数ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])与ξ2=（[a2，b2]，[c2， d2])，则称为ξ1≥ξ2的空间可能度，其定义为：

a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2将ξ1与ξ2围成的矩形分割成9个部分，如图2-1所示.其中S1为以（c1，c2)，（c1，a2)，（a1，c2)和（a1，a2)为顶点的矩形的面积，其几何意义为ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])落入[c1，a1]时，同时ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])也落入[c2，a2]，在此概率下ξ1与ξ2所构成的矩形，则此时ξ1≥ξ2的可能度为：

其中X1=（c1，a1]，Y1=[c2，a2].为方便计算，同时令X2=（a1，b1]，X3=[b1，d1]，Y2=（a2，b2]，Y3=[b2，d2].

图2-1

由此可得在ξ1与ξ2落入其他区间的可能度（1≤i≤9)如下：

定义6全面的考虑了ξ1与ξ2在任何情况下的比较，根据空间可能度公式，可将区间粗糙数的大小比较转换为区间数的大小比较，利用区间数可能度的二维定义进行计算.定义6的理论依据及几何意义解释如下：

区间粗糙数ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])与ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])分别表示在二维直角坐标系的X轴与Y轴上，画一条直线y=x，此时ξ1与ξ2围成的概率面积可被切割为两大部分，如图2-2所示.

图2-2

由此可知：

设区间粗糙数ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])与ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])，根据两个区间粗糙数的上近似[c1，d1]与[c2，d2]在平面直角坐标系中画出一个矩形，其四个顶点分别为（c1，c2)，（c1，d2)，（d1，c2)和（d1，d2)，记其概率加权面积为S总.直线y=x将矩形分成两个部分，落入下半部分的概率加权面积记为S下，落入上半部分的概率加权面积时记为S上，则称ξ1≥ξ2的可能度为：

由图2-2易知此定义的几何含义：由下近似[c1，d1]与[c2，d2]所围成的矩形被直线y=x分成S上与S下两部分，S下区域由所有ξ1≥ξ2的点所构成，S上区域为所有ξ2≥ξ1的点构成，而在直线y=x上的点则为ξ1=ξ2.因此可知本定义合理有效，并且其直观简练的表达出了区间粗糙数空间可能度的意义.

定义6满足如下性质：

性质1设ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)，则

当且仅当d2≤c1（3）当且仅当d1≤c2

由定义6，易证（1），（2），（3），由文献13中给出的定义

5的性质易证（4），（5），在此不再赘述，现对性质（6）进行证明.

①当a3≤c1时，P（X1≥Z1)=1，根据区间数可能度的性质可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得证.

②当c3≥a2时，P（Y1≥Z1)=0，根据区间数可能度的性质可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得证.

③当c3≤a2≤c1≤a3时，

P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)=1-

因为a3-c1≤a3-c3且a3-c1≤a1-c1，故

又因为a2-c3≤a3-c3且a2-c1≤a1-c1，

综上，P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)成立，则（ξ2≥ξ3)成立，同理可得为正整数），故得证.所以P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)≥0

3　建立基于空间可能度的多属性决策模型

区间粗糙数的多属性决策问题：给定m个方案，n个独立的属性，属性权重信息已知且为实数.设S={S1，S2，…，Sm}为方案集，Q={Q1，Q2，…，Qn}为指标集，W={w1，w2，…，wn}为评价指标权重的向量，其中wj表示指标Qj的权重，满足wj≥0，且.方案Si关于属性Qj的属性评价值ξij=（[aij，bij]，[cij，dij])（i=1，2，：m;j=1，2，…，n)为区间粗糙数，因此构成了区间粗糙数决策矩阵A=（ξij)m×n，目标是在多个方案中找出最优的方案.

步骤一：某些指标的属性值越大越好，称为效益型指标;有些指标的属性值越小越好，称为成本型指标;这些属性不便于直接从数值大小判断备选方案的优劣，因此需要对数据进行预处理，使性能越优的属性值越大.可采用下列极差比例转换法[10]：

（1）对于收益型属性，可根据公式转换为

（2）对于成本型属性，可根据公式转换为

步骤二：设mij为第i个方案Si在第j个属性Qj下规范化后的属性值，wj为第j个属性的权重，则通过对规范化后的指标值求得综合评价值M（Si):

步骤三：利用定义6的区间粗糙数空间可能度的公式，计算得出各个方案的综合属性值M（Si)之间的空间可能度Pij=P（M（Si)≥M（Sj)）（i，j∈N），并构建空间可能度集合以进行比较.

步骤四：利用方法FPSM中的公式，求得空间可能度矩阵的排序向量，Z=（z1，z2，z3，z4，z5)，根据其数值大小得到最优的备选方案，排序公式如下：

4　实例分析

某单位计划投资一个项目，初步选取了5个备选项目（i=1，2，3，4，5），并构建了4项指标：投资额（Q1)，期望收益（Q2)，风险盈利（Q3)，风险损失（Q4)，这里期望收益（Q2)和风险盈利（Q3)为效益型属性，投资额（Q1)和风险损失（Q4)为成本性属性.备选方案的指标值全部以区间粗糙数的形式给出，如表1所示.

利用转换公式（11)、（12)对属性值进行规范化处理，表2为规范化决策矩阵.

表1决策属性值表

本文引用文献[10]中各个属性的权重值（ω1=0.3771，ω2=ω3=0.3071，ω4=0.0487），利用公式（13）求出5个投资项目的综合属性值M（Si)（i=1，2，3，4，5)：

M（S1)=（[0.45，0.55]，[0.31，0.71]），

M（S2)=（[0.65，0.71]，[0.56，0.84]），

M（S3)=（[0.51，0.61]，[0.36，0.75]），

M（S4)=（[0.53，0.63]，[0.43，0.74]），

M（S5)=（[0.43，0.51]，[0.35，0.63]）

表2规范化决策矩阵

利用定义8的区间粗糙数空间可能度的公式，计算得出各个方案的综合评价值的空间可能度，并建立空间可能度的比较矩阵，P=（pij)m×n，且设定λ2=0.6，λ1=λ3=0.2.

取T=2（n-1)，利用式（14）求得空间可能度比较方案P的排序向量如下：

Z=（0.1595，0.2844，0.2016，0.2175，0.1372)由上述公式及过程求出的空间可能度的数值，可以得到5个备选方案的优劣排序结果如下:

故应优先选择项目S2进行投资.

5　结论

本文将区间粗糙数放置到二维直角坐标系中进行比较，基于此直观的给出了一种区间粗糙数空间可能度的定义，并证明了相关的性质.此定义通过考虑区间粗糙数分别以不同的概率落入不同区间时的大小变化来定义的，因此相对于区间粗糙数可能度的定义考虑更全面，更有理论依据.最后，通过实例证明了算法的可行性，实例结果与文献[10]中的排序结果完全相同，证明了算法的有效性.

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基金项目：国家自然科学基金项目资助(71361002)；广西自然科学基金项目资助(2013GXNSFAA019016)

中图分类号：O21；C934

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2015）07-0001-04