展现思维过程，揭示数学本质

石俊仙

[摘 要] 数学的本质在于思维性，数学教学应重视学生思维能力的培养以及数学思想和观念的形成. 本文首先揭示了数学本质的内涵，从深刻研读教材、重视问题设计、巧用课后习题三方面阐述了如何在数学教学中揭示数学的本质.

[关键词] 初中数学；思维；数学本质

数学的本质是什么？在数学界一直有所争议，但有一点为大家所认同，那就是数学的思维性. 数学的本质在于其推理，而推理的过程就是思维的过程. 数学涉及许多公理、定理，这些公理和定理的得出便是通过推理获得.

对于我们现在的数学课堂，新课标要求关注“教”和“学”的过程，通过“教”和“学”来展现思维过程，揭示数学本质. 数学课的“教”涉及“教什么”，教师应通过教，让学生抓住数学本质，展示思维过程，从而落实学生主体. 教师应教给学生数学的知识结构、数学的思维方法、数学的思想观念. 本文就从以下几个方面阐述如何在数学教学上展现思维过程，揭示数学本质.

数学本质的内涵

数学的本质是教会学生思维，北京师范大学周玉仁教授曾经说过“只要是学生能自己探索得出的，教师就决不能替代；凡是学生能独立思考的，教师就决不能暗示”，从而深刻揭示了数学思维本质的重要性. 数学本质的内涵包括这样几个方面：数学知识的结构和内在联系；数学规律、定理、公理的形成过程；数学思维方法和数学思想的提炼过程；数学能力的获得体验等. 在数学课中，教师要留给学生自主探究的时间，要留给学生自主探究的问题，要留给学生自我展示的机会和舞台，要留给学生合作交流的空间，这些都能够促进学生思维的发展.

数学的本质是思维的过程，发展学生的数学思维是每一个数学教师教学的核心. 数学应重视揭示学生获得数学知识的思维过程，精心构建数学课堂，让数学返璞归真，拨开数学神秘的面纱，展现数学的本质.

研读教材，深刻领悟，把握数

学本质

要想教会学生，教师首先要清楚数学知识的脉络体系，要清楚教材给出的问题背景，要能够在教材的基础上，利用教材结合自己的经验重新整合，理清知识的本源，把握教材中最重要、最本质的东西. 一些教师在数学课上，面对授课内容觉得“这有什么？不就是几个定理吗？给学生证明，让学生理解就好了. ”这充分说明，教师对教材内容理解得不够透彻，不能找出引发学生思维的部分，不能构建引发学生探究的节点. 教师研读教材，不仅仅是定理、公式的推导，不仅仅是数学问题出现的背景，而更应看到蕴涵在教材中的鲜活的数学思想. 这种数学思想才是数学的本质所在；这种数学思想，能够引导教师整合教材内容，融入数学思维，成为学生学习数学的动力. 教师只有认真研读教材，才能做到对教材的独特感悟，也才能创造精彩、鲜活的数学课堂.

例如，在讲解“特殊四边形”（人教版八年级下19.2.2）例2中，如图1所示，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛面积（分别精确到0.01 m和0.01 m2）.

教材的讲解如下：因为花坛ABCD是菱形，所以 AC⊥BD，∠ABD=·∠ABC=×60°=30°. 所以在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10（m），BO===10（m）. 所以花坛的两条小路长AC=2AO=20（m），BD=2BO=20≈34.64（m），花坛的面积S=4×S= AC·BD≈346.40（m2）.

在认真研读教材的基础上可以发现，本题对于小路AC的解答运用了“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，如果教师仅仅停留在把问题讲清的基础上，按照教材所给的方法对学生讲解就可以了，但是为了培养学生的思维，教师可以构建问题冲突“小路AC的长度还可以利用什么方法求出来？”让学生联系已有的知识体系，重新考虑AC长度的求解. 这时，学生就会重新分析题目当中给出的已知条件，调动思维积极寻找解决问题的方法. 学生通过思维给出了下面的解答方法.

解答？摇 因为花坛ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形. 又因为菱形花坛ABCD的边长为20m，所以AC=20（m）.

解答到此，教师不要以为问题就圆满结束了，在对教材内容进一步分析的基础上，教师可进一步提问“教材为什么放着简单的方法不用，非要绕远呢？是设计的老师比我们笨吗？”引发学生进一步思考. 学生通过交流发现，在求解小路BD的长度时要用到OA的长度，也就是说，如果我们利用等边三角形的知识求出AC的长度，也要再求出AO的长，才能求出BD的长，这样看来，教材中的解法其实不是绕远. 至此，这个例题的所有思维过程才算完成.

再如，四边形数学活动3（新人教八年级下）中的中点四边形. 如图2所示，我们依次连结任意一个四边形各边的中点，所得的四边形叫做中点四边形，它是什么图形？

这道题经常作为出题的素材. 连结任意四边形的两条对角线，利用三角形中位线定理很容易证明中点四边形为平行四边形. 探究中，条件不断变化——如果四边形变成平行四边形（图3），它的中点四边形是什么形状？如果变成矩形（图4）、菱形（图5）、正方形（图6）呢？请证明你的结论.

教师在构建数学活动时，这几个问题运用的知识点都是三角形的中位线，因此，教师可以设置思考1：如果得到的中点四边形为矩形、菱形、正方形，那么，四边形ABCD的形状是怎样的？让学生进行反向思维.

思考2：如果条件改为依次连结四边形一组对边的中点和两条对角线的中点，得到的四边形是什么形状呢？

教师让学生分析这类题目的解答和什么条件紧密相关（四边形对角线），分析四边形对角线情况（垂直、相等、垂直且相等）就可以得出连结所得四边形的形状，从而抓住数学变化的本质. 方法通，则思路顺，数学方法的传授，远大于对某一习题的讲解.endprint

利用问题，拓展思维，揭示本质

数学问题永远是促进学生思维的首要方法. 教师要善于利用数学问题，引发学生思维，揭示数学本质. 例如，学习“不等式及其解集”（人教版七年级下9.1）阅读与思考“用求差法比较大小”，教师可稍微改变题目的背景，使背景和学生的生活实际紧密相关. 如“制作一种服装，需要用到两种布料，其制作方案也有两种，方案1，用A种布料4米，B种布料8米；方案2，用A种布料3米，B种布料9米. 从节省原料的角度分析，应该选择哪种方案？”学生对于不等式比较大小是陌生的，在这里，教师就要利用问题，教给学生知识迁移的方法.

师：我们学过什么比较大小？

生：数字.

师：数字如何比较大小？

生：利用数轴. 在数轴上，右边的数字总比左边的大.

生：还可以通过计算，如果差是正数，就说明被减数大于减数；如果差等于零，说明被减数、减数相等；如果差是负数，说明不够减，即被减数小于减数.

师：我们看这道题，从省料角度考虑的意思是什么？

生：就是看哪种方案用料少.

师：分别写出方案1和方案2的用料总数.

学生得出方案1的用料为4x+8y，方案2的用料为3x+9y.

师：比较方案1和方案2谁省料，就是比较4x+8y和3x+9y谁大谁小. 怎么比？

生：看差.

学生通过教师的引导解决了用差比较两数大小的问题.

数学判断能力也是学生的一种需要培养的数学能力，正如学生先去判断某种结论，然后才能朝着这个结论去思考、验证一样. 如a，b，m为正整数，且a﹤b，则（？摇 ）.

判断这两个分式的大小，用比差法显然很复杂，直接判断又不能，所以教师可以设置问题进行知识的迁移，引导学生找到问题之间的本质联系，从而解决问题.

教师让学生用比差法解决这个问题，学生经过艰苦的计算得出了结论（﹥）.

生：太复杂了.

师：那么，有没有简单的方法得出结论呢？请同学们观察，分式可以看做什么？

生：两数相除.

师：分子、分母同时加一个相同的数，在实际生活中有哪种实际情况是这样的？

生：浓度问题. 牛奶加水、糖水放糖、盐水加盐.

师：对，那么这个问题如果按照浓度问题考虑，能不能解决呢？

生：可以. 可以看做原来的浓度，再加入m克糖得到后来的浓度为，加入糖后就变甜了，即糖水的浓度变大了，所以（﹥）.

这个较为复杂的分式比较大小，在教师引导下进行了知识的迁移，从而让学生感受到了数学知识之间的内在联系，也理解了数学问题的本质. 数学的解决方法是相通的，找到知识的连接入口，就抓住了数学的本质.

巧用习题，促进思维，揭示本质

习题是检验学生习得数学知识的工具和手段. 教师对于习题的讲解，有助于学生巩固和加深对数学知识的理解，甚至有些习题能够令学生的思维打开另一扇大门. 数学的本质在于揭示数学知识形成的过程上，在于师生共同探究的活动中，在于对数学思维方法的提炼. 数学习题是提炼数学思想的载体，也是学生解决问题的重要媒介，教师应充分重视数学习题的作用，充分利用习题促进学生思维，体现数学本质.

例如，学习完“一次函数与二元一次方程”（人教版八年级13.3）课后习题第9题：A，B两个商场平时以同样的价格出售相同的商品. 春节期间让利酬宾，A商场所有商品八折出售；B商场消费金额超过200元后，打七折. 试问，如何选择商场购物更经济？这是一道方案选择题，这种类型的题在初中阶段是重点，教师应给学生讲透，让学生掌握解决这类题的方法，掌握其思维过程.

师：更经济的意思是什么？

生：更省钱.

师：你觉得八折省钱还是买够200元后七折省钱？

学生思考后回答，不知道，因为不知道花了多少钱.

师：那什么决定在哪个商场购物更经济呢？

生：购物花费的钱数.

师：这个钱数是固定的吗？

……通过教师的引导，学生掌握了一次函数方案问题的解题思路：找准自变量→列出函数关系式→找到两个方案中函数值相等时自变量的值→分析大于、小于这个等值的情况.

初中数学课本中有许多相似的习题，教师要打破习题的先后顺序，对习题有整体把握. 如八年级上习题11.2中的第7题：点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S.

（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，并画出函数S的图象.

（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积是多少？

（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？

以及复习题11第10题：已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S.

（1）求S关于x的函数表达式；

（2）求x的取值范围；

（3）求S=12时P点的坐标；

（4）画出函数S的图象.

这两道题就应该整合在一起进行强化练习，这样有利于学生加深对此类题的理解与掌握.

初中数学教学，应从各个方面揭示数学的本质，促进学生的思维，在师生积极互动的过程中共同提高，掌握数学知识的形成，习得有效的学习方法，获得全新的数学体验.endprint