一类捕食—食饵模型正平衡解的存在性研究

任翠萍

（西安欧亚学院通识教育学院，陕西西安710065）

一类捕食—食饵模型正平衡解的存在性研究

任翠萍

（西安欧亚学院通识教育学院，陕西西安710065）

研究了一类捕食者能产生休眠卵的捕食—食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下的平衡态正解的存在性。首先利用上下解原理给出了解的先验估计；然后利用不动点指标理论和度理论得到系统正解存在的充分条件。

休眠卵；捕食—食饵模型；分歧；谱分析

在过去的几十年里，经典Lotka-Volterra模型在生态学理论研究中占有非常重要的地位，已被广泛关注。文献[1]利用极大值原理、上下解方法及全局分歧理论得出了平衡态共存解的存在性、唯一性及稳定性；文献[2]利用分歧理论、线性特征值扰动理论、稳定性理论得到了带有保护区的捕食—食饵模型平衡解的分歧及稳定性等。文献[3]给出了捕食者具有休眠特性的最低限度模型，利用分歧理论研究了空间分布均匀情况下解的稳定性。浮游生物在适宜环境下主要产生夏卵，在恶劣环境下产生休眠卵，对于空间分布不均匀的情况有模型[4]

其中p,z1表示食饵和捕食者的密度，z2表示能产生休眠卵的捕食者的密度，r,k表示在没有捕食者的情况下的食饵的固有生长率和生存能力，为HollingII函数,k1,k2分别表示捕食者处于活动状态的生长率和处于休眠状态的生长率，d1,d2分别表示捕食者处于活动状态的死亡率和处于休眠状态的死亡率，a表示孵化率，捕食者是否进入休眠状态有函数g()p控制。本文主要研究休眠卵不孵化的情况。令

在带有扩散系数的情况下系统正解存在性问题。

1 预备知识

以下利用正的紧线性微分算子的谱性质和锥映像不动点指标理论，结合极值原理和上、下解方法得到系统在齐次Dirichlet边界下正解存在的充分条件。

设E是Banach空间，W是中的一个全楔，即W是E中的一个闭凸子集，，且对于任意α≥0有αW⊂W。如果W⋂{-W}={0}，则称楔为锥。

Wy=cl{x∈E/y+vx∈W,对于某个v＞0}是一个楔，是一个闭子空间。

设T为E上的Frechet可导的紧算子，且y∈W为T的不动点，T(W)⊂W那么T在y点E=Sy⊕Ey的Frechet导算子保持Wy和Sy不变。若存在E的闭线性子空间Ey使得且Wy是生成的，则T在y点的指标与空间Ey和中的Sy一个特征值有关。设Q:E→Ey为E沿Sy的投影算子，则根据文献[5]中的定理2.1和定理2.2可得几个引理。

引理1如果T在点y的Frechet导算子T'′(y)在Wy上没有非零不动点，则indexw(T,y)存在，且

（1）如果QoT'′(y)存在大于1的特征值，则indexw(T,y)=0。

（2）如果QoT'′(y)没有大于或等于1的特征值，则indexw(T,y)=indexsy(T′(y),0)。indexsy(T′(y),0)为在空间Sy上的线性算子T'(y)在0处的指标。

定义L:E→E是一个线性紧算子，如果存在一个t∈(0,1)以及使得w-tLw∈Sy，则称L具有性质α。

引理2设W是E中的楔，F:W→W是紧映射，在W中有不动点Fy0=y0，设L=F'(y0)为F在y0处的Frechet导数，则如果I-L

（1）若L具有性质α，则indexw(F,y0)=0。

（2）若L不具有性质α，则indexw(F,y0)= indexE(L1,(0,0))=(-1)σ。其中σ是L所有大于1的特征值的代数重数之和。

引理3令q(x)∈，且ϕ≥0,≢0(x∈Ω)，

（1）如果0≢-Δϕ+q(x)ϕ≤0，则λ1(q(x))＜0。

（2）如果0≢-Δϕ+q(x)ϕ≥0，则λ1(q(x))＞0。

（3）如果-Δϕ+q(x)ϕ≡0，则λ1(q(x))≡0。

引理4令q(x)∈C()，P为正常数使得对任意的x∈,-q(x)+P＞0，那么有以下结论成立：

考虑如下特征值问题

引理5设q(x)∈C(Ω)且q(x)≥0，则特征问题（2）的所有特征值满足：

相应的特征函数为ϕ1，ϕ2，…，其主特征值

是单重的。而且有如下比较原理：若q1(x)≤q2(x)，则λj(q1(x))≤λj(q2(x))，且若q1(x)≢q2(x)，则λj(q1(x))＜λj(q2(x))。记λ1(0)为λ1相应的特征函数为Φ1＞0(x∈Ω)。

2 正平衡解的存在性

以下利用度理论来研究方程(2)在带有扩散系数情况下正平衡解存在的充分条件。

利用极大值原理和上下解方法很容易得到系统正解的一个先验估计。

定理1如果(u,v)是方程（3）的一个正解，则

证明：为了讨论方便，将d1,d2分别移到方程的右边，则有

对于系统（3），很容易得到它的平凡解(0,0)。若v≡0，则系统（3）转化为

为了行文方便，给出以下记号：

分别关于u,v是单调递减的。系统（3）在W中有非负解的充要条件是A:=A1在D'中有一个不动点。当(0,0)，(θ,0)存在时，假设(0,0)，(θ,0)是A的不动点，因此在W中对应的指标是适定的。算子在(u,v)点的导算子为

证明：对任意(u,v)∈X，

假设对任意(u,v)∈W为A'(0,0)的不动点，那么(u,v)满足

其中ξ,η≠0设μ1是如下特征值问题的第一特征值

则μ1＞0。由定理4知Q∘A′(0,0)所有的特征值都小于1，从而由引理1知

定理3indexW(A,D')=1。

证明：由度的同伦不变性知indexw(A,D′)= degw(I-A,D′,0)=degw(I-At,D′,0)，当t(0,1)充分小时，degw(I-At，D′，0)=indexw(At，0)。由于此时，并且，从而由引理1有 indexW(At，0)=1。故indexW(A，D')=1。

则indexw(A,(θ,0))=0。

证明：设A'(θ，0)为算子A在(0,0)处的Fre'chet导数。那么对任意(u,v)∈Χ

其中σ为算子A'(θ,0)在空间Sy上大于1的特征值特征值的代数重数之和。

下面证明σ=0。假设λ为A'(θ,0)在Sy上的特征值，它相应的特征函数为(u,v)，那么v=0，并且u为方程

的非零解，同理可证此方程没有大于或等于1的特征值，即σ=0。故当，则indexw(A,(θ,0))=1。

证明：若时，分量为0的解只有(0,0),(θ,0)。

因此在D'上方程至少还存在一个正解。

[1]BLAT J,BROWN J.Bifurcation of steady-state solutions in the predator-prey and competition systems[J].Royal Society of Edinburgh，1984，97：21-34.

[2]郭改慧，李艳玲.带保护区域的捕食-食饵模型平衡解的分歧及稳定性[J].陕西师范大学学报：自然科学版，2007，35（2）：27-30.

[3]MASATAKA K,TAKEFUN I N,TOSHIYUKI O.Aminimum model of prey-predator system with domancy of predators and the paradox with dormancy of predators and the paradox of enrichment[J].J Math Biol，2009，58：459-479.

[4]GYLLSTRLM M,HANSSON L A.Domancy in freshwater zooplankton induction,temination and the importance of benthie-pelagic coupling[J].Aquat Sci，2004,，66：274-295.

[5]RUAN W H,FENG W.On the fixed point index and multipe steady-state solutions of reaction-diffusion system[J].Differential Integral Equation，1995，8（2）：371-392.

The Existence of a Predator-prey System’s Positive Solutions

REN Cuiping
(School of General Education,Xi’an Eurasia University,Xi’an 710065,Shaanxi,China)

The existence of positive solutions of the steady-state system is discussed for the predator-prey model which can produce resting eggs under the homogeneous Dirichlet boundary conditions.Firstly,a priori-estimate of the solutions is given by principle of upper and lower solutions.By means of fixed point index theory and degree theory,the sufficient condition of existence of the system’s solution is given.

resting eggs;predator-prey model;bifurcation;spectral analysis

O175.2

A

1672-2914（2015）02-0042-04

2014-12-07

陕西省自然科学基金项目（2014JM1031）；陕西省教育厅科研计划项目（2013JK0603）。

任翠萍(1983-)，女，山西介休市人，西安欧亚学院通识教育学院讲师，研究方向为偏微分方程及计算可视化。