随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性

卢琴，张启敏

（中国矿业大学银川学院，宁夏银川750011）

随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性

卢琴，张启敏

（中国矿业大学银川学院，宁夏银川750011）

给出随机Navier-Stokes方程及其解的定义，通过Itô公式,利用Burkholder-Davis-Gundy不等式讨论了其解的指数稳定性,并给出了指数稳定性的充分条件。

随机Navier-Stokes方程；Itô公式；Burkholder-Davis-Gundy不等式；指数稳定性

随机微分方程被广泛的应用于诸多领域[1-3]。近年来，随机的Navier-Stokes方程引起了许多学者的关注。对于确定的Navier-Stokes方程存在大量的研究成果[4-6]。然而对于随机的Navier-Stokes方程的研究并不多，本文讨论如下随机的Navier-Stokes方程：

其中U表示速度域,υ表示粘度系数,Δ是Laplacian算子,∇是梯度,f表示外力,p表示压力,U0表示初始条件。因为外界的扰动和内部的Brown运动影响了速度域，式（1）包含了ℂ()t,U这个随机项。如果用dtU表示U关于t的微分,即,则式(1)表示为Itô形式的方程

对随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性，在文献[7]中已经进行了分析，本文在此基础上，采用新的方法，利用Kolmogorov不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、Hölder不等式，以及Borel-Cantelli引理，重新讨论了随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性,并给出了指数稳定性的充分条件。

1 预备知识

设V,H是可分的Hilbert空间，V′是V的对偶空间，H=L2([0,A])满足

本文中ωt取值于实数空间R。设C=C([0,T];H)是所有从[0,T]到H的连续函数组成的空间，其模定义为：。算子Β满足

首先，我们假设随机Navier-Stokes方程满足下列条件：

（i）f:[0,T]×H→H是一个映射，且满足：

(a)f(t,0)=0,∀t∈[0,T];

(b)存在常数k1＞0，使得

(ii)φ:[0,T]×H→H是一个映射，且满足：

(a)φ(t,0)=0,∀t∈[0,T];

(b)存在常数k2＞0，使得

定义1设(Ω;F,{Ft},U)是随机基，ωt是一个Wiener过程，我们把空间上对所有t∈[] 0,T满足的Ut称为随机Navier-Stokes方程的广义解，如果满足下面等式：

这里随机积分在Itô意义下显然成立。

注：令n=2,G∈Rn且

其中u,v,z∈V,t∈[] 0,T，则式（2）可转化为式（1）。

f(t,v)和φ(t,v)满足条件(H)：存在常数α＞0,ξ＞0,λ∈R和非负连续函数γ(t),t∈R+，使得：

其中，对任意δ＞0=0。

2 解的指数稳定性

引理1[6]算子Β有下列性质：

下面将介绍随机Navier-Stokes方程（2）解的指数稳定性的一些准则。假设存在：

是方程（2）的解，即Ut满足方程（2）。

定理1[7]如果上述假设条件成立，且α/m2-λ＞0，则当Ut是方程（2）的解时，存在常数C＞0,τ＞0，使得

引理2设定理1的条件满足，则存在常数C＞0,τ＞0，使得

引理3设定理1的假设条件成立，则存在常数M＞0，使得

证明：对|Ut|2应用Itô公式，可得

利用Burkholder-Davis-Gundy引理，对任意T∈R+，有

其中p1为一正常数。因此，由假设条件()H、式（3）和（4），可得

其中μ=α/m2-λ。结合定理1和引理2，可知次命题成立。

定理2假定定理1中的条件满足。则存在正常数M、ε和一个子集N0⊂Ω，其中U(N0)=0，对于每一个ω∉N0，存在一个正的随机数T(ω)，使得

证明：根据条件()H可得

其中T≥N，当N充分大时，易得

现在利用Kolmogorov不等式和定理1来估计式（4）右边的一、三项；利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和Hölder不等式，以及引理2和引理3类似的证明来估计第二项。因此，存在一个常数p2，使得

由Borel-Cantelli引理可得，对几乎所有ω∈Ω，存在一个正数T(ω)，使得

定理得证。

[1]ZHANG Qimin,LIU Wenan,NIE Zankan.Existence,uniqueness and exponential stability for stochastic age-dependent population[J].Applied Mathmatics and Computation，2004，154：183-201.

[2]张启敏，聂赞坎.一类随机人口发展系统的指数稳定性[J].控制理论与应用，2004，6：907-910.

[3]李荣华，戴永红，孟红兵.与年龄相关随机时滞种群方程的指数稳定性[J].数学年刊，2006，27A（1）：39-52.

[4]WANG Lijuan，HE Peijie.Secong-order optimality conditions for optimal control problems governed by 3-dimensional Navior-Stokes equations[J].Acta Mathematica Scientia，2006，26 B（4）：729-734.

[5]WANG Gengsheng.Pontryagin’s maximum principle for optimal control of the stationary Navier-Stokes equations[J]. NonlinearAnalysis，2003，52：1853-1866.

[6]HANNELORE Lisei.Existence of optimal and–optimal controls for the stochastic Navier-Stokes equations[J].NonlinearAnalysis，2002，51：95-118.

[7]卢琴，张启敏.随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性[J].商丘师范学院学报，2010，26（6）：9-13.

The Exponential Stability of Solutions to the Stochastic Navier-Stokes Equations

LU Qin，ZHANG Qimin
（Yinchuan College,China University of Mining and Techology,Yinchuan 750011，Ningxia，China）

This paper discusses the exponential stability of solutions to the stochastic Navier-Stokes equations.Introducing the definition of solution to the stochastic Navier-Stokes equations and using Ito^formula,Burkholder-Davis-Gundy inequality,a sufficient condition of exponential stability is established.

the stochastic Navier-Stokes equations;Itô formula;Burkholder-Davis-Gundy inequality;exponential stability

O175.14

A

1672-2914（2015）02-0039-03

2014-09-11

教育部重点基金项目（208160）；宁夏回族自治区教改项目(宁教高［2011］271)。

卢琴（1982-），女，宁夏银川市人，中国矿业大学银川学院讲师，硕士，研究方向为数学与应用数学。