混合分数布朗运动环境下的幂型亚式期权定价

沈明轩

（安徽工程大学数理学院，安徽 芜湖241000）

0 引言

期权是一种选择权，它赋予持有者将来以事先约定的价格购买或出售某种资产的权利.自从1973年Black和Scholes提出著名的B－S期权定价公式以来，期权定价就成为研究热点之一.同时由于新型期权的不断出现，对奇异期权的定价成为很多学者研究的对象.亚式期权是一种奇异期权，它是一种到期收益依赖于资产在期权有效期所经历的价格的算术平均或几何平均的期权.很多学者在股票价格遵循几何布朗运动的假设下对亚式期权的定价给予讨论［1－2］.但实证研究表明，金融资产价格过程具有自相似性以及长期记忆性等分形特性，而分数布朗运动恰好具有这些性质，因此大批学者采用分数布朗运动所驱动的定价模型研究资产定价［3－5］，文献［6－7］就考虑了基于分数布朗运动驱动下的亚式期权定价问题.随着对分数布朗运动理论的深入研究，文献［8］给出了混合分数布朗运动的相关性质，文献［9］则在混合分数布朗运动环境下讨论了欧式期权的定价.关于亚式期权的定价问题也有许多学者在不同模型下进行研究，如郑秋红等在更新过程下研究了亚式期权的定价问题［10］.本文则考虑股票价格服从混合分数布朗驱动下的幂型亚式期权的定价问题，在此定价模型下价格将更符合期权的真实价格，从而给投资者更好的参考价格，有利于投资者在投资中做出正确的决策.

1 模型及假设

分数布朗运动是一种具有自相似性和长期依赖性的连续高斯过程.混合分数布朗运动是由一个布朗运动W（t）与一个分数布朗运动BH（t）的线性组合构成，即Z（t）＝σ1BH（t）＋σ2W（t），其中σ2为任意实数.P.Cheridito证明了在分数布朗运动和布朗运动相互独立的情况下，当时，σ1BH（t）＋σ2W（t）不是一个半鞅，当时，σ1BH（t）＋σ2W（t）等价于σ2W（t），C.Bender则证明了这个过程在正则策略中是无套利的［11］.本文基于这种策略，并恒假设

设BH（t）是概率空间（ΩH，FH，PH）上参数为H 的分数布朗运动，FHt＝σ（BH（s）：0≤s≤t），W（t）是概率空间（ΩW，FW，PW）上的布朗运动，FWt＝σ（W（s）：0≤s≤t），这里假设BH（t）与W（t）相互独立.设概率空间（Ω，F，P）＝（ΩH⊗ΩW，FH⊗FW，PH⊗PW）是完备的.假设市场上只有两种资产，其中一种是无风险资产，价格满足微分方程

这里r为常数，表示无风险利率.

另一种是风险资产，价格满足微分方程：

其中σ1，σ2是不为0的常数，且σ2＞0.

在风险中性下有

引理1 随机微分方程（2）的解为

特别有

引理2［10－11］任意有界的关于FT可测函数的未定权益G∈L2（μ），在t∈［0，T］时刻的价格为

2 混合分数布朗下的幂型亚式期权定价

幂型几何平均亚式期权其支付函数是股票价格几何平均的k次幂与执行价格的差，设几何平均亚式期权执行价格为K，到期日为T，则幂型几何平均亚式看涨期权的损益函数为相应的幂型几何平均亚式看跌期权的损益函数为其中k 为事先确定的自然数.

定理1 若股票价格过程满足方程（2），则具有执行价格为K，到期日为T 的幂型几何平均亚式看涨期权在任意t∈［0，T］的价格为

其中：

证明 几何平均亚式看涨期权损益为

令

则

其中：

则由方程（3）可知

令

由于（参见文献［7］）

故

由等距公式（参见文献［5－7］）可得

令X（t）＝kY（t）＋kZ（t），则X（t）～N（0，σ2）.这里

令

由引理2可得

注1 当t＝0，σ1＝0，k＝1时，定理1即为文献［2］的结论.

定理2 若股票价格过程满足方程（2），则具有执行价格为K，到期日为T 的幂型几何平均亚式看跌期权，在任意时刻t∈［0，T］的价格为

这里d1，d2的定义如定理1.

推论1 当股票有红利支付，并且红利率q为常数时，执行价格为K，到期日为T 的幂型几何平均亚式看涨期权，在任意时刻t∈［0，T］的价格为

这里

当k＝1时，推论1即为文献［13］中定理3的结论.

推论2 当股票有红利支付，并且红利率q为时间t的可积函数，无风险利率为时间可积函数时，执行价格为K，到期日为T 的幂型几何平均亚式看涨期权，在任意t∈［0，T］的价格为

其中：

注2 当σ2＝0，k＝1时，推论2即为文献［7］的定理2.

3 结论

由于亚式期权是按预订的某种平均计算期权，因此其价格较标准期权便宜，且不易受到人为的操纵，因此更能满足某些投资者及公司的需求，这就使其成为较受欢迎的几种新型期权之一.本文在假设股票价格受分数布朗运动和布朗运动共同驱动下，利用拟条件期望的方法得到了具有固定执行价格的幂型几何平均亚式期权的定价公式，从定价公式可以看出，传统的布朗运动下的几何平均亚式期权是其一种特殊情形，从而推广了传统的亚式期权定价.本文考虑的是混合分数布朗运动过程驱动下具有固定执行价格的几何平均亚式期权的定价问题，下一步可以考虑混合分数布朗运动驱动下具有浮动执行价格的几何平均亚式期权的定价问题，从而解决混合分数布朗运动环境中的几何平均亚式期权的定价问题.

［1］罗庆红，杨向群.几何型亚式期权的定价研究［J］.湖南文理学院学报，2007，19（1）：5－7.

［2］章珂，周文彪，沈荣芳.几何平均亚式期权的定价方法［J］.同济大学学报，2001，29（8）：924－927.

［3］HU Y，ΦKSENDAL B.Fractional white noise and application to finance［J］.Infinite Dimensional Analysis：Quantum Probability and Related Topics，2003，6：1－32.

［4］MISHURA Y.Stochastic calculus for fractional brownian motions and related processes［M］.Berlin：Springer，2008：322－326.

［5］ELLIOTT R，VAN DER HOEK.A general fractional white noise theory and applications to finance［J］.Mathematical Finance，2003，13（2）：301－330.

［6］薛红，孙玉东.分数跳－扩散过程下亚式期权定价模型［J］.工程数学学报，2010，27（6）：1009－1014.

［7］王志明，徐娟.分数布朗运动下红利亚式期权定价公式［J］.武汉科技大学学报，2010，33（6）：665－668.

［8］CHERIDITO P.Mixed fractional brownian motion［J］.Bernoulli，2001，7（6）：913－934.

［9］余征，闫理坦.混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价［J］.苏州科技学院学报：自然科学版，2008，25（4）：4－10.

［10］郑秋红，宋良荣，彭勃.一类更新跳扩散模型下的亚式期权定价［J］.东北师大学报：自然科学版，2013，45（1）：39－43.

［11］BENDER C，SOTTINE T，VALKEILA E.Arbitrage with fractional brownian motion［J］.Theory of Stochastic Processes，2006，12（3）：1－12.

［12］CIPRIAN NECULA.Option pricing in a fractional brownian motion environment［J］.Mathematical Reports，2004，6（3）：259－273.

［13］孙玉东，师义民.混合分数布朗运动下亚式期权定价［J］.经济数学，2011，28（1）：49－51.