一道公开征解不等式的证明与推广

金永容，张新全

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)



一道公开征解不等式的证明与推广

金永容，张新全

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

[摘要]对一道公开征解的不等式进行了证明，并将该不等式推广到更一般的情形，对一般情形也予以证明。最后，探讨了特殊情形下不等式的几何意义。

[关键词]不等式；征解；证明；推广

1问题的提出

在2014年第5期《中学数学教学》的封底刊登了一道公开征解的不等式：

设x1,x2,…,xn都为正数，且x1+x2+…+xn=1，求证：

(1)

下面证明上述不等式并进行推广，还得到了一组新的不等式。

设m,n为自然数， x1+x2+…+xn=1，xi>0，i=1,2,…,n ，则有不等式

(2)

显然(2)是一组不等式，当m=n时即为不等式(1)，不等式(2)的证明将在2中给出.

对任意n∈N+，当m=1时得到一个有几何意义的定理，这是3的内容。

2不等式(2)的证明

下面证明不等式(2)，即证明

定理1设m,n为自然数， x1+x2+…+xn=1，xi>0，i=1,2,…,n，则

(3)

证明：不等式(2)等价于不等式

(4)

当m=1时，由于

即m=1时，不等式(3)成立，从而不等式(2)成立。

当m=2时，不等式(3)可写为：

由于已证m=1时，不等式(3)成立，即

x1+…+xi-1+xi+xi+xi+1+…+xn，于是得到

这样得到不等式(4)，从而证明了m=2时不等式(3)成立。

对一般的自然数k，要利用即将证明的引理1的结果：

(5)

这样不等式(3)等价于不等式

(6)

这样完成了定理1的证明，下面的任务关键是证明引理1。

(7)

证明记N=1+n+n2+…+nk, (7)式中的分子可写为：

(8)

这样(8)式和中共有1+n+n2+…+nK=N项，应用算术平均不小于几何平均不等式得到

(注：上式中(x1+x2+…+xn)j的展开式对乘积的贡献为Xj·nj-1，是因为

因而，上式等于

故引理1得证，这样也就完成了定理1的证明.至此已完全证明了公开征解的不等式且作了推广.

下面讨论不等式(2)当m=1时的几何意义.

3当m=1时，不等式(2)的几何意义

当m=1时，不等式(2)为

(9)

这时也称(x1,x2,x3)为点P的面积坐标.

因而在不等式(9)中，右边为点P的重心坐标的乘积。

(10)

得到点列

(11)

(12)

其中P*为Sn-1的重心。

证明 (11)式是不等式(3)当m=1时的特殊情况。

为证明(12)式，注意到由(10)

( i=1,2,…,n-1； j=1,2,3,… )

(13)

(14)

这就证明了

(15)

(16)证毕。

[参考文献]

[1]彭光焰. 有奖征解[J]. 中学数学教学，2014，(5)：66.

[2]张新全. 一类数列单调性的探究. 合肥师范学院学报，2009，(3)：34-36.

[中图分类号]G61

[文献标识码]B

[文章编号]1674-2273(2015)06-0109-02

作者简介][第一 金永容(1963-)，女，安徽桐城人，合肥师范学院数学与统计学院副教授，研究方向是数学分析，教育教学。

[基金项目]2014年合肥师范学院研究生教育与创新工程项目(2014021)

[收稿日期]2015-07-12