一道公开征解不等式的证明与推广

2015-02-27 07:32金永容张新全
合肥师范学院学报 2015年6期
关键词:不等式推广证明

金永容,张新全

(合肥师范学院 数学与统计学院,安徽 合肥 230601)



一道公开征解不等式的证明与推广

金永容,张新全

(合肥师范学院 数学与统计学院,安徽 合肥 230601)

[摘要]对一道公开征解的不等式进行了证明,并将该不等式推广到更一般的情形,对一般情形也予以证明。最后,探讨了特殊情形下不等式的几何意义。

[关键词]不等式;征解;证明;推广

1问题的提出

在2014年第5期《中学数学教学》的封底刊登了一道公开征解的不等式:

设x1,x2,…,xn都为正数,且x1+x2+…+xn=1,求证:

(1)

下面证明上述不等式并进行推广,还得到了一组新的不等式。

设m,n为自然数, x1+x2+…+xn=1,xi>0,i=1,2,…,n ,则有不等式

(2)

显然(2)是一组不等式,当m=n时即为不等式(1),不等式(2)的证明将在2中给出.

对任意n∈N+,当m=1时得到一个有几何意义的定理,这是3的内容。

2不等式(2)的证明

下面证明不等式(2),即证明

定理1设m,n为自然数, x1+x2+…+xn=1,xi>0,i=1,2,…,n,则

(3)

证明:不等式(2)等价于不等式

(4)

当m=1时,由于

即m=1时,不等式(3)成立,从而不等式(2)成立。

当m=2时,不等式(3)可写为:

由于已证m=1时,不等式(3)成立,即

x1+…+xi-1+xi+xi+xi+1+…+xn,于是得到

这样得到不等式(4),从而证明了m=2时不等式(3)成立。

对一般的自然数k,要利用即将证明的引理1的结果:

(5)

这样不等式(3)等价于不等式

(6)

这样完成了定理1的证明,下面的任务关键是证明引理1。

(7)

证明记N=1+n+n2+…+nk, (7)式中的分子可写为:

(8)

这样(8)式和中共有1+n+n2+…+nK=N项,应用算术平均不小于几何平均不等式得到

(注:上式中(x1+x2+…+xn)j的展开式对乘积的贡献为Xj·nj-1,是因为

因而,上式等于

故引理1得证,这样也就完成了定理1的证明.至此已完全证明了公开征解的不等式且作了推广.

下面讨论不等式(2)当m=1时的几何意义.

3当m=1时,不等式(2)的几何意义

当m=1时,不等式(2)为

(9)

这时也称(x1,x2,x3)为点P的面积坐标.

因而在不等式(9)中,右边为点P的重心坐标的乘积。

(10)

得到点列

(11)

(12)

其中P*为Sn-1的重心。

证明 (11)式是不等式(3)当m=1时的特殊情况。

为证明(12)式,注意到由(10)

( i=1,2,…,n-1; j=1,2,3,… )

(13)

(14)

这就证明了

(15)

(16)证毕。

[参考文献]

[1]彭光焰. 有奖征解[J]. 中学数学教学,2014,(5):66.

[2]张新全. 一类数列单调性的探究. 合肥师范学院学报,2009,(3):34-36.

[中图分类号]G61

[文献标识码]B

[文章编号]1674-2273(2015)06-0109-02

作者简介][第一 金永容(1963-),女,安徽桐城人,合肥师范学院数学与统计学院副教授,研究方向是数学分析,教育教学。

[基金项目]2014年合肥师范学院研究生教育与创新工程项目(2014021)

[收稿日期]2015-07-12

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