基于几乎差集的多输入多输出雷达阵列稀疏优化方法

董健 刘芳 蒋艺 施荣华

(中南大学信息科学与工程学院,长沙 410083)



基于几乎差集的多输入多输出雷达阵列稀疏优化方法

董健 刘芳 蒋艺 施荣华

(中南大学信息科学与工程学院,长沙 410083)

针对基于循环差集(Cyclic Difference Sets, CDS)的多输入多输出(Multiple-input Multiple-output, MIMO)雷达阵列稀疏方法由于现有CDS构造条件苛刻、集合数量有限而造成阵列配置数量较少的不足,提出了基于几乎差集(Almost Difference Sets, ADS)的MIMO雷达阵列稀疏优化方法.该方法可解析地确定发射、接收阵元位置,并先验预估虚拟阵列的方向图旁瓣上界.基于ADS的MIMO阵列在旁瓣性能上与基于CDS的阵列相近且优于随机阵列;ADS具有构造简单、阵列配置丰富的优势,有利于该方法的工程应用.仿真验证了所提方法的有效性.

多输入多输出雷达;循环差集;几乎差集;峰值旁瓣电平

引 言

为避免雷达散射截面(Radar Cross Section, RCS)的“通病”——闪烁效应[1]应运而生的新体制雷达——多输入多输出(Multiple-input Multiple-output, MIMO)雷达,由于其更好的参数辨别能力[2]、更高的空间分辨率[3]和对起伏目标的探测性能[4]等相较于传统雷达的优点,近年来成为雷达领域研究的一大热点.

对MIMO雷达布阵的研究,涉及天线阵列稀疏优化,即采用较少数目的阵元通过适当的排布方式,在减小成本、体积及功耗的同时尽可能获得期望的阵列方向图辐射特性. 传统的稀疏布阵方法从20世纪60年代开始陆续受到关注,研究工作主要集中在两个方面. 一类是随机优化算法,如遗传算法(Genetic Algorithms,GA)[5-7]、粒子群(Particle Swarm Optimization,PSO)[8-10]算法等,这些方法虽然可以得到数值较优解,但它们的基本思路都是在解空间内随机反复迭代搜索得到优化结果,计算代价较高,同时存在收敛停滞或早熟以及数学理论分析体系不完善等问题. 这些缺点在一定程度上限制了该类算法在天线工程实际中的应用,譬如大规模或低稀疏比天线阵列的合成. 另一类是以组合设计方法为代表的确定性算法,以其解析性且构造简单快速、运算量小、可先验评估阵列性能等优点[11],为稀疏天线阵合成(尤其大规模阵列合成)问题开辟了新的思路.

基于确定性解析算法的稀疏布阵方法是近年来国内外新兴的研究方向. Leeper首次将差集理论应用于天线阵列方向图综合[11],导出了循环差集(Cyclic Difference Sets, CDS)应用于线阵、平面阵的峰值旁瓣电平(Peak Sidelobe Level, PSL)的估值公式. 随后,G. Oliveri等人将与CDS具有类似自相关特性的几乎差集(Almost Difference Sets,ADS)引入求解稀疏线阵[12]、平面阵[13]方向图合成问题,由于ADS阵列方向图的采样不能以闭合形式表达[13],无法给出类似CDS阵列的PSL估值公式,只能导出PSL的界限. 作者在文献[14-15]中首次将差集理论引入MIMO雷达阵列优化,提出了基于CDS的最小冗余MIMO雷达阵列设计方法,以最少的发射、接收物理阵元数来获得最大的虚拟阵列孔径从而实现高空间分辨率. 陈刚等[16]将CDS理论用于MIMO雷达阵列快速布阵,在运算量很小的情况下得到优于随机阵列的方向图性能. 然而,由于CDS的“二值”自相关特性,决定了其构造条件苛刻,致使CDS集合数量有限,对不同长度和阵元数的阵列不一定能找到相对应的CDS,这就使得CDS稀疏优化方法的应用受到限制[12-13].

鉴于此,该文首次将ADS引入MIMO雷达稀疏优化布阵,提出了一种基于ADS的MIMO雷达稀疏布阵方法. 以MIMO的虚拟阵列方向图为优化对象,通过优化发射和接收阵列中的阵元位置,可以在主瓣宽度基本保持不变的条件下,尽可能降低旁瓣电平,达到抑制干扰的目的. 该方法可解析地确定MIMO雷达发射、接收阵元位置,且可先验预估虚拟阵列的方向图旁瓣上界;运算复杂度比随机优化算法大大减少,尤其适合大规模稀疏布阵的情形. 加之其比CDS数目更为庞大的ADS族,在实际工程应用中具有更广阔的前景. 最后通过仿真验证了该方法在MIMO阵列稀疏优化应用中的有效性和性能优势.

1 MIMO雷达虚拟阵列技术

考虑一个发射阵有M个阵元、接收阵有N个阵元的MIMO雷达系统. 假设发射阵和接收阵在空间上彼此接近(可能是相同的阵列),即它们的目标观测角在同一方向. 每个天线阵元接收到的信号是所有的发送信号加权之和[17],即

m=1,2,…,M; n=1,2,…,N.

(1)

式中: xn(t)是第n个接收阵元接收到的信号; φm(t)是第m个发射阵元发送的波形; αn,m是第m个发射阵元作为输入、第n个接收阵元作为输出的信道系数. 假设x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T,φ(t)=[φ1(t),φ2(t),…,φM(t)]T,则式(1)可写成

x(t)=σs[aT(θ)φ(t)]b(θ).

(2)

式中:θ是波达方向;σs是焦点θs的反射系数;(·)T是转置运算符;a(θ)和b(θ)是θ方向实际的发送和接收导向矢量. 假设发射阵元位置关于最小间距(通常取半波长)的归一化值为u1,u2,…,uM,接收阵元位置的归一化值为v1,v2,…,vN. 考虑远场点目标,发射和接收阵列导向矢量可以分别表示为:

a(θ)=[eju1πsin θ,eju2πsin θ,…,ejuMπsin θ]T;

(3)

b(θ)=[ejv1πsin θ,ejv2πsin θ,…,ejvNπsin θ]T.

(4)

发射阵元各自发射正交波形,即满足

(5)

(·)*表示共轭算子.在每个接收天线,通过M个匹配滤波器提取分离这些正交波形,即

sm

(6)

T0为雷达脉冲宽度.因此接收端共有M×N个独立的信号,可以写作一个MN×1的虚拟信号矢量:

y⊗b(θ).

(7)

式中,⊗为Kronecker积．该矢量可以视为一个MN单元的虚拟阵列所接收到的信号,其导向矢量为

v(θ)=a(θ)⊗b(θ).

(8)

第m个发射信号在第n个接收天线的阵列响应为

vm,n(θ)=ej(um+vn)πsin θ.

(9)

可见,MIMO雷达阵列响应可以等效为一个MN单元的虚拟接收阵列响应,该虚拟阵列位置矢量可以表述为

{um+vn|m=1,2,…,M;n=1,2,…,N}.

(10)

MIMO雷达通过发射正交波形且匹配滤波接收的方式,仅采用M+N个物理阵元即可合成一个MN单元的虚拟接收阵列. 考虑到不同的阵列排布有不同的辐射方向图性能,以下研究具有最佳PSL性能的MIMO雷达稀疏阵列排布方法.

2 几乎差集

ADS是组合设计理论中在密码学及编码理论有着重要应用的研究主题之一. ADS定义[12]:设D是一个V阶阿贝尔群G的一个K元子集,D中任意两个元素之差组成集合F,若G中t个非零元在F中每个出现Λ次,而其余的V-t-1个非零元每个出现Λ+1次,则称D为(V,K,Λ,t)-ADS.

在有V个栅格点的均匀栅格上,稀疏线阵需要恰当选取阵列权系数w(n),才能获得相应合适的阵列因子

(11)

式中: 若在距离原点nx0处存在阵元,w(n)=1,否则w(n)=0;x0为栅格间距,一般等于1/2波长;u=sinθ为方向余弦,θ为阵列法向偏移角度.

权系数的选择原则为

(12)

式中,D是一个参数为(V,K,Λ,t)的ADS,0≤K≤V-1,K∈Z. 对应于D的特征二进制序列S={sn,n∈Z}为

(13)

(14)

对比文献[11]中的CDS可以发现:CDS自相关函数具有最为理想的“二值性”,这也决定了CDS的构造条件比较苛刻,集合数量有限;ADS具有与CDS最为接近的自相关特性,且构造条件较CDS要宽松,因而生成的集合数量更多,阵列配置更为丰富.

与CDS类似,ADS也具有循环移位特性. 设D(σ)是原始ADS循环位移σ位后得到的集合,则D(σ)是与原始ADS具有相同(V,K,Λ,t)参数(即同构)的ADS,即

D(σ)

(15)

σ∈Z.因此,对于一个参数为(V,K,Λ,t)的原始ADS,可以通过循环移位得到V个同构的ADS.

3 基于ADS的MIMO雷达稀疏阵列 构造方法

3.1 几乎差集阵列模型

ADS最重要的性质是三级自相关函数特性,即其对应的二元序列的自相关函数具有“三值性”. ADS二元序列构造与天线阵均匀栅格稀疏之间存在着天然的对应关系.

该文采用接收稀疏的方式,为便于描述,发射、接收阵的阵元位置均为半波长λ/2的归一化位置. 发射阵分为Lt-1个栅格,即Lt个栅格点,确定ADS参数V=Lt,根据稀疏比得知阵元数目M,选取几乎差集D-(Lt,M,Λ,t). 接收阵采用均匀布阵,阵元间隔为Lt-1个栅格,阵元数为N,栅格点数为Lr=(Lt-1)(N-1)+1. 发射阵对应的二进制序列Wt={wti∈[0,1],i=0,1,…,Lt-1},

(16)

接收阵对应的二进制序列Wr={wri∈[0,1],i=0,1,…,Lr},

(17)

根据虚拟阵列技术原理,虚拟阵孔径长度即栅格数为Lv=N·Lt,单位λ/2,对应的二进制序列为Wv={wvi∈[0,1],i=0,1,…,Lv}，

(18)

将发射序列Wt周期延拓为无限长序列W∞={w∞,n∈[0,1],n∈Z}，

(19)

根据式(19)所表示的二进制序列可解析地确定其对应的无限长阵列的阵元位置函数

(20)

虚拟阵可看作上述无限长阵列的“截断”,其阵元位置函数为

(21)

对比式(20)和(21)可以看出,f∞(x)相当于fv(x)以Lv=N·Lt为周期进行延拓. MIMO收发阵列结构示意图如图1所示.

图1 基于几乎差集的MIMO雷达收发阵列示意图

由图1可以看出,根据这种布阵方式得到的MIMO阵列,相当于通过空域卷积形成了一个MN阵元的虚拟阵列. 该虚拟阵列可看做N个发射阵列由相邻阵列首尾相接按顺序排列得来. 虚拟阵列所对应的二进制序列,可视为由发射阵列对应的序列延拓N个周期后得到.

由此,可以得到应用ADS构造MIMO雷达稀疏阵列的算法步骤:

1) ADS选择及初始化:给定发射阵长度Lt、阵元数M或ADS稀疏比ηM/Lt三者中任意两个,从ADS库[19]中选择参数为D-(Lt,M,Λ,t)的集合作为初始几乎差集}.

3) 最佳阵列配置更新:根据D(σ)循环移位σ后得到与D同构的新的几乎差集D(σ),将新生成的MIMO虚拟阵列PSL值与当前最佳PSL值进行比较,如果则更新}.

5) 更新:更新循环移位值σ即σ←σ+1,返回步骤3).

3.2 几乎差集MIMO阵列旁瓣性能分析

由于MIMO雷达的收发联合阵列等效于虚拟阵,因此本节将分析虚拟阵方向图旁瓣性能来评价其系统性能. 由于ADS阵方向图的采样无法以闭合形式表达[12],因而不能给出类似CDS阵的PSL估值公式,只能导出虚拟阵方向图的旁瓣上界. 将几乎差集MIMO阵列模型中重复的每个单元即发射阵看作子阵,则该虚拟阵是由N个长度为Lt的子阵组成. 根据方向图乘积定理,虚拟阵的方向图等于发射阵方向图与接收阵方向图的乘积. 因此,虚拟阵的功率方向图旁瓣最大值必然小于等于发射阵与接收阵功率方向图旁瓣最大值的乘积. 本节分别推导出发射阵、接收阵方向图的旁瓣最大值,则几乎差集MIMO虚拟阵方向图旁瓣上界也就是两者之乘积.

虚拟阵的功率方向图

Pv(u)=Ps(u)·Pa(u),

(22)

Pv(u)、Ps(u)、Pa(u)为归一化后的方向图,分别对应虚拟阵、子阵以及将虚拟阵中每个子阵替换为单一全向阵元时的方向图.进一步分析可以看出,Pa(u)等于接收阵的方向图,Ps(u)等于发射阵的方向图.

(23)

当u=2n/Lt(n=0,1,2,…)时取最大值Pa(u)=1. 除了n=0以外,其他点都是因为阵元间距大于半波长所带来的栅瓣.

根据阵列天线理论,

P∞(u)=F{Cs(τ)}.

(24)

式中:P∞(u)为无限长序列的功率方向图;Cs(τ)为无限长阵列的阵元位置函数f∞(x)的自相关函数;F{·}为傅里叶变换. 由文献[11]可得

(25)

式中：

(26)

相位项φn由特定的ADS确定[11],P∞,n为整数n处的采样值,由

(27)

确定,指标lp满足Cs(lp)=Λ+1,d为栅格间距,通常取d=1/2.

根据文献[11],发射阵方向图Ps(u)的PSL值由u=um+1/2=(m+1/2)/Ltd处的值决定:

(28)

联立式(26)、(28)可得

(29)

因此,发射阵方向图Ps(u)的PSL值完全由P∞,n和φn两项确定．尽管P∞,n的系数项无法以闭合形式表达致使无法导出PSL的估值公式,但仍然可以估计PSL值的上界[12],即

(30)

联立式(22)、(30),可以预估虚拟阵方向图旁瓣上界为

(31)

4 仿真结果及分析

4.1 虚拟阵方向图旁瓣上界的数值验证

4.2 ADS/CDS/随机栅格阵列性能比较

仿真参数设置为：发射、接收阵元数为M=N=23；两种差集的发射阵稀疏比均为50%. 由3.1节构造方法知:采用ADS的发射阵的栅格点数Lt-ADS=46,对应稀疏比ηADS=K/(Lt-ADS-1)≈50%,接收阵栅格点数Lr-ADS=991;采用CDS的发射阵的栅格点数Lt-CDS=47,对应稀疏比ηCDS=K/(Lt-CDS-1)=50%,接收阵栅格点数Lr-CDS=1 013. 随机栅格阵列(其阵元随机分布在各栅格点上)发射、接收阵栅格点数与ADS情形相同,采用与ADS发射、接收阵相同孔径,即Lt-RNL=46,Lr-RNL=991,与ADS发射阵相同稀疏比ηRNL=K/(Lt-RNL-1)≈50%. 对比基于这两种差集以及随机栅格阵的PSL值等参数性能.

1) 基于ADS的发射阵. 采用参数为(46,23,11,34)的ADS进行仿真,初始ADS为dt-ADS=[2,4,6,9,10,12,13,17,19,22,24,25,31,34,35,36,39,40,41,42,43,44,45],经循环移位得到的45个不同的序列在相同条件下进行仿真,比较得到最佳PSL值.

图2 K=14时,不同循环移位值得到的虚拟阵功率方向图

图3 基于ADS、CDS及随机栅格的MIMO阵列阵元位置示意图

2) 基于CDS的发射阵. 采用参数为(47,23,11)的CDS进行仿真,初始CDS为dt-CDS=[1,2,3,4,6,7,8,9,12,14,16,17,18,21,24,25,27,28,32,34,36,37,42]. 经循环移位得到的46个不同的序列在相同条件下进行仿真,比较得到最佳PSL值.

3) 随机栅格发射阵. 阵元位置根据上述参数在既定范围内随机排布,统计46次随机阵列(与ADS阵列数目保持相同)在相同条件下进行仿真得到最佳PSL值.

基于ADS、CDS及随机栅格的方法所得MIMO阵列阵元位置如图3所示,相应的虚拟阵列功率方向图如图4所示. 因功率方向图为周期偶函数,图4仅画出右半部分. 为了使仿真更具一般性,对同一参数的ADS、CDS序列分别进行循环移位,对随机栅格阵列也进行了相同次数的随机取值,将三种方法所得旁瓣电平数据进行统计比较,结果如表1所示. 由表1可看出,基于CDS的MIMO阵列的旁瓣电平略优于基于ADS的MIMO阵列,两种差集稀疏阵列的旁瓣性能均优于随机栅格MIMO阵列,且旁瓣数据的波动更小. 考虑到ADS、CDS阵列的最佳PSL值往往非常接近,且统计目前涵盖较全面的CDS库[18],ADS库[19]易知,ADS方法相对于CDS方法来说集合数量更多,阵列配置更为丰富,因此ADS方法更具有工程实用性.

图4 K=23时,基于ADS、CDS及随机栅格的虚拟阵列功率方向图对比

表1 K=23时,基于ADS、CDS及随机栅格的虚拟阵列PSL统计比较 dB

4.3 两种差集方法所得MIMO阵列PSL性能随阵元数变化规律比较

保持两种方法的稀疏比不变均为50%,分别对K值在100以内的ADS、CDS进行循环移位后,统计由它们得到的MIMO阵列PSL值后比较各自的最优值. 两种方法所用差集如表2所示,不同K值对应的PSL最优值随K值变化曲线如图5所示.

表2 相同K值时ADS/CDS发射阵所用差集示例

图5 基于ADS、CDS的最优MIMO阵列PSL随收发阵元数变化曲线

由图5可以看出,两种方法所得MIMO阵列PSL值都随着K值的增大而呈现减小趋势. 根据3.2节,MIMO虚拟阵方向图性能主要取决于发射阵即ADS阵方向图. 根据文献[11],

(32)

5 结 论

该文研究了基于几乎差集(ADS)的MIMO雷达阵列稀疏方法,从理论上导出了该方法得到的MIMO阵列功率方向图旁瓣上界. 仿真分析表明,ADS方法所得MIMO阵列在旁瓣性能上非常接近于CDS所得MIMO阵列. 考虑到ADS相较于CDS来说构造更为简单、数量更多,同时在计算量和收敛性上优于随机优化算法,因此所提方法在大规模阵列稀疏的实际应用中具有广阔前景. 后续研究工作可围绕差集与随机优化算法相结合[20-22]的MIMO阵列稀疏、以及更高维数、更复杂的阵列配置优化等方面展开.

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Optimization method of thinning MIMO radar arrays based on almost difference sets

DONG Jian LIU Fang JIANG Yi SHI Ronghua

(SchoolofInformationScienceandEngineering,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China)

An optimization method of thinning multiple-input multiple-output(MIMO) radar arrays based on almost difference sets (ADS) is presented to avoid the shortage in quantity of cyclic difference sets (CDS)-based array configurations caused by the strict construction conditions of CDS. This method can analytically determine the element locations of transmitting and receiving arrays, and a priori estimate the upper bound of virtual array pattern sidelobes. Considering the advantages of better sidelobe performances with respect to random arrays and richer configuration choices with respect to CDS-based MIMO arrays, the proposed method is of common use in antenna engineering. Extensive simulations are performed to verify the effectiveness of the proposed method.

multiple-input multiple-output radar; cyclic difference sets (CDS); almost difference sets(ADS); peak sidelobe level(PSL)

10.13443/j.cjors. 2014111901

2014-11-19

国家自然科学基金(61201086)； 教育部博士学科点专项科研基金(20110162120044)； 湖南省科技计划项目(2014GK3022)

TN957

A

1005-0388(2015)05-0870-09

董健 (1980-),男,湖南人,中南大学信息科学与工程学院副教授,研究方向为天线理论与技术、微波遥感、阵列信号处理等.

刘芳 (1991-),女,湖南人,硕士研究生,研究方向为阵列天线优化设计.

蒋艺 (1989-),男,湖北人,硕士研究生,研究方向为智能天线.

施荣华 (1963-),男,湖南人,中南大学信息科学与工程学院教授,研究方向为无线通信、智能计算与信息处理等.

董健, 刘芳, 蒋艺, 等. 基于几乎差集的多输入多输出雷达阵列稀疏优化方法[J]. 电波科学学报,2015,30(5):870-877.

DONG Jian, LIU Fang, JIANG Yi, et al. Optimization method of thinning MIMO radar arrays based on almost difference sets[J]. Chinese Journal of Radio Science,2015,30(5):870-877. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors. 2014111901

联系人： 董健 E-mail: dong0531@126.com