让“错误”闪亮数学课堂

丁静

在课堂教学中，由于种种原因学生出现错误是不可避免的.从某种意义上来说错误也是一种“资源”，教师如何正确看待和利用这一“资源”对提高教学质量有着积极的价值.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.作为学生学习引导者的教师，不同的“错误”观将成就不同的课堂，教师对待学生学习中的错误的态度，对今后学生学习的积极性和探究问题的热情都有较大的影响.以下是笔者在教学实践中遇到的几个实例.

一、让“错误”成为学生自信的源动点

学生在获取数学知识、探索解题思路的过程中，常常因为认知水平的限制或思维方向的偏差产生思维阻滞，此时如果简单地否定则既会扼杀学生的自信心又会浪费教学过程中的生成性资源.但是如果通过老师的适当引导，则常常能使学生突破定势、激活思维，深入理解学习内容，找到解决问题的路径，收到豁然开朗的效果.

例1：如图，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE吗？

有一位学生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

这位学生做完后，我要求他检查好再回座位.于是他就认真地检查起来，突然他发现题目要证的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦准备擦去.此时我劝他等一下，同时引导他：刚才板书的对证明结论有用吗？学生回答要证∠ABD=∠ACE就要证△ABD∽△ACE.我再加以引导：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的内角吗？于是学生发现已证的∠BAD=∠CAE可用，再从已知条件找到■=■可转化为■=■，再利用两对应边成比例且夹角相等两三角形相似证明结论.

学生在解题过程中，有时由于审题不清，考虑不周而产生这样或那样的错误，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变建构学生自己对数学的理解.所以在学生犯错时老师应该引导学生自己发现并解决问题，提高解决问题的能力，从而增强自信心.

二、让“错误”成为学生学习新知的切入点

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的两实数根，求x■■+x■■的最大值.

学生解题时易犯错误为：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值为19.

教师讲评时，可不加评价地公布上述解法，请学生说出自己的思路.教师评价着重在以下几点：

1.概括解决方案：利用根与系数关系，运用配方法.

2.解题过程偏差纠正：初中只研究实数根，判别试Δ≥0举足轻重，不可掉以轻心.

3.正确解答（略）（答案：当k=-4时，有最大值18）.

可以看出，学生在解题过程中，有时由于概念不清，忽视条件，套用相近知识或计算出错，难免产生这样或那样的错误.所以教师在讲评过程中，应针对学生普遍存在的解完题目不复查的不良学习习惯，教育学生在经历一道数学题的苦思冥想得出答案后，还要更深层次地探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法或一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论，从而举一反三，多题一解？……如此种种，便能对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.避免结论荒唐，引为笑柄之说.因此，在数学教学中不仅要重视逻辑演绎式的数学证明，还应提高学生反思能力，使其真正掌握数学知识，并能重新构建自己的认知结构.

三、让“错误”成为学生自主学习的探索点

教师在教学中要不断引导学生透过问题的表面现象，深入细致地考虑，努力培养自己思维的严密性，感受数学发现的乐趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，促进自主学习习惯的养成.可以设计答案不唯一、有两解或多解的数学问题，如果学生考虑不全面，思维不严谨，就容易出现漏解，进入教师设置的“陷阱”中.

例3：如图AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

课堂上我请一位学生回答如何求，这位学生很熟练地回答利用相似求解.于是我就让她继续讲解，我来板书.

当学生回答至“△ACB～△CBD时，■=■”时，自己发现错误，没有对应，就立即改为：

“△ACB～△CDB时，■=■即■=■，∴AB=3.”

此时大家很满意，我却没有让这位学生坐下，而是引导她发现刚才错误是由于没对应，能否确定现在肯定对应？于是这位学生又仔细地检查了一遍，结果发现还有一种对应，还可以用勾股定理直接求得AB的长度，根本用不着大张旗鼓用相似的知识解决，这下大家才真正满意了.

从学生犯错出发，引导学生自主探索，通过探索把新知和旧知融合，达到融会贯通的能力，不仅可以巩固新学的知识点，而且可以复习以前学过的知识点，培养学生自主探索、自主发展的能力.

四、让“错误”成为学生创造性思维的生长点

弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”对待纠错这一学习过程，教师的态度也应如此.

现代教育心理学指出：学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程.这个过程一方面是暴露学生产生各种问题和矛盾的过程，另一方面是展示学生聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程.正因为如此，新课程强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验.数学新知的教学如此，巩固练习形成技能的过程更应如此.因此在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，将错就错，利用学生解题中的“错误”重新设计练习，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙.

例4：选择题：若关于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有实数根，则k的取值范围（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我发现有些粗心的同学选A.于是请大家讨论：你认为选A错在哪儿？同学们开始讨论起来，有的同学说，刚才的同学没考虑一元二次方程中k■≠0.我很满意，并进一步问：能否改下条件让答案选A？一听说让他们改编题目，同学们都很兴奋，都立即思考起来，积极性非常高.最后同学们发现只要把题中的“一元二次”四个字去掉就成功了.根据错误的答案改编题，练习方式新颖，学生非常感兴趣，效果很好.

抓住学生学习过程中的一些可利用的“错误”重新设计教学，重新设计练习，不但可以锻炼教师处理课堂教学突发事件的能力，提高教师的教育机智，还可以使犯“错误”学生的自尊心得到保护，在课堂教学中营造出一种和谐、宽容、民主的教学氛围.从而提高学生的参与程度，培养学生的创造性思维，可谓一举两得.

在数学实践中学生出现错误是美丽的，教师应用资源的眼光看待错误，鼓励学生的每一次成功，哪怕是“错误”中的成功因素，使学生充分感受到探索数学知识的乐趣，自然而然地将身心融入特有的感情氛围中，并辅以策略处理，在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新.让动态生成的“错误”成为数学课堂教学的一个亮点，让其闪现创新的火花，发挥应有的价值，让“错误”因此美丽起来，让错误闪亮数学课堂.endprint

在课堂教学中，由于种种原因学生出现错误是不可避免的.从某种意义上来说错误也是一种“资源”，教师如何正确看待和利用这一“资源”对提高教学质量有着积极的价值.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.作为学生学习引导者的教师，不同的“错误”观将成就不同的课堂，教师对待学生学习中的错误的态度，对今后学生学习的积极性和探究问题的热情都有较大的影响.以下是笔者在教学实践中遇到的几个实例.

一、让“错误”成为学生自信的源动点

学生在获取数学知识、探索解题思路的过程中，常常因为认知水平的限制或思维方向的偏差产生思维阻滞，此时如果简单地否定则既会扼杀学生的自信心又会浪费教学过程中的生成性资源.但是如果通过老师的适当引导，则常常能使学生突破定势、激活思维，深入理解学习内容，找到解决问题的路径，收到豁然开朗的效果.

例1：如图，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE吗？

有一位学生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

这位学生做完后，我要求他检查好再回座位.于是他就认真地检查起来，突然他发现题目要证的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦准备擦去.此时我劝他等一下，同时引导他：刚才板书的对证明结论有用吗？学生回答要证∠ABD=∠ACE就要证△ABD∽△ACE.我再加以引导：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的内角吗？于是学生发现已证的∠BAD=∠CAE可用，再从已知条件找到■=■可转化为■=■，再利用两对应边成比例且夹角相等两三角形相似证明结论.

学生在解题过程中，有时由于审题不清，考虑不周而产生这样或那样的错误，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变建构学生自己对数学的理解.所以在学生犯错时老师应该引导学生自己发现并解决问题，提高解决问题的能力，从而增强自信心.

二、让“错误”成为学生学习新知的切入点

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的两实数根，求x■■+x■■的最大值.

学生解题时易犯错误为：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值为19.

教师讲评时，可不加评价地公布上述解法，请学生说出自己的思路.教师评价着重在以下几点：

1.概括解决方案：利用根与系数关系，运用配方法.

2.解题过程偏差纠正：初中只研究实数根，判别试Δ≥0举足轻重，不可掉以轻心.

3.正确解答（略）（答案：当k=-4时，有最大值18）.

可以看出，学生在解题过程中，有时由于概念不清，忽视条件，套用相近知识或计算出错，难免产生这样或那样的错误.所以教师在讲评过程中，应针对学生普遍存在的解完题目不复查的不良学习习惯，教育学生在经历一道数学题的苦思冥想得出答案后，还要更深层次地探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法或一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论，从而举一反三，多题一解？……如此种种，便能对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.避免结论荒唐，引为笑柄之说.因此，在数学教学中不仅要重视逻辑演绎式的数学证明，还应提高学生反思能力，使其真正掌握数学知识，并能重新构建自己的认知结构.

三、让“错误”成为学生自主学习的探索点

教师在教学中要不断引导学生透过问题的表面现象，深入细致地考虑，努力培养自己思维的严密性，感受数学发现的乐趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，促进自主学习习惯的养成.可以设计答案不唯一、有两解或多解的数学问题，如果学生考虑不全面，思维不严谨，就容易出现漏解，进入教师设置的“陷阱”中.

例3：如图AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

课堂上我请一位学生回答如何求，这位学生很熟练地回答利用相似求解.于是我就让她继续讲解，我来板书.

当学生回答至“△ACB～△CBD时，■=■”时，自己发现错误，没有对应，就立即改为：

“△ACB～△CDB时，■=■即■=■，∴AB=3.”

此时大家很满意，我却没有让这位学生坐下，而是引导她发现刚才错误是由于没对应，能否确定现在肯定对应？于是这位学生又仔细地检查了一遍，结果发现还有一种对应，还可以用勾股定理直接求得AB的长度，根本用不着大张旗鼓用相似的知识解决，这下大家才真正满意了.

从学生犯错出发，引导学生自主探索，通过探索把新知和旧知融合，达到融会贯通的能力，不仅可以巩固新学的知识点，而且可以复习以前学过的知识点，培养学生自主探索、自主发展的能力.

四、让“错误”成为学生创造性思维的生长点

弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”对待纠错这一学习过程，教师的态度也应如此.

现代教育心理学指出：学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程.这个过程一方面是暴露学生产生各种问题和矛盾的过程，另一方面是展示学生聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程.正因为如此，新课程强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验.数学新知的教学如此，巩固练习形成技能的过程更应如此.因此在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，将错就错，利用学生解题中的“错误”重新设计练习，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙.

例4：选择题：若关于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有实数根，则k的取值范围（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我发现有些粗心的同学选A.于是请大家讨论：你认为选A错在哪儿？同学们开始讨论起来，有的同学说，刚才的同学没考虑一元二次方程中k■≠0.我很满意，并进一步问：能否改下条件让答案选A？一听说让他们改编题目，同学们都很兴奋，都立即思考起来，积极性非常高.最后同学们发现只要把题中的“一元二次”四个字去掉就成功了.根据错误的答案改编题，练习方式新颖，学生非常感兴趣，效果很好.

抓住学生学习过程中的一些可利用的“错误”重新设计教学，重新设计练习，不但可以锻炼教师处理课堂教学突发事件的能力，提高教师的教育机智，还可以使犯“错误”学生的自尊心得到保护，在课堂教学中营造出一种和谐、宽容、民主的教学氛围.从而提高学生的参与程度，培养学生的创造性思维，可谓一举两得.

在数学实践中学生出现错误是美丽的，教师应用资源的眼光看待错误，鼓励学生的每一次成功，哪怕是“错误”中的成功因素，使学生充分感受到探索数学知识的乐趣，自然而然地将身心融入特有的感情氛围中，并辅以策略处理，在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新.让动态生成的“错误”成为数学课堂教学的一个亮点，让其闪现创新的火花，发挥应有的价值，让“错误”因此美丽起来，让错误闪亮数学课堂.endprint

在课堂教学中，由于种种原因学生出现错误是不可避免的.从某种意义上来说错误也是一种“资源”，教师如何正确看待和利用这一“资源”对提高教学质量有着积极的价值.著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”.作为学生学习引导者的教师，不同的“错误”观将成就不同的课堂，教师对待学生学习中的错误的态度，对今后学生学习的积极性和探究问题的热情都有较大的影响.以下是笔者在教学实践中遇到的几个实例.

一、让“错误”成为学生自信的源动点

学生在获取数学知识、探索解题思路的过程中，常常因为认知水平的限制或思维方向的偏差产生思维阻滞，此时如果简单地否定则既会扼杀学生的自信心又会浪费教学过程中的生成性资源.但是如果通过老师的适当引导，则常常能使学生突破定势、激活思维，深入理解学习内容，找到解决问题的路径，收到豁然开朗的效果.

例1：如图，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE吗？

有一位学生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

这位学生做完后，我要求他检查好再回座位.于是他就认真地检查起来，突然他发现题目要证的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦准备擦去.此时我劝他等一下，同时引导他：刚才板书的对证明结论有用吗？学生回答要证∠ABD=∠ACE就要证△ABD∽△ACE.我再加以引导：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的内角吗？于是学生发现已证的∠BAD=∠CAE可用，再从已知条件找到■=■可转化为■=■，再利用两对应边成比例且夹角相等两三角形相似证明结论.

学生在解题过程中，有时由于审题不清，考虑不周而产生这样或那样的错误，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变建构学生自己对数学的理解.所以在学生犯错时老师应该引导学生自己发现并解决问题，提高解决问题的能力，从而增强自信心.

二、让“错误”成为学生学习新知的切入点

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的两实数根，求x■■+x■■的最大值.

学生解题时易犯错误为：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值为19.

教师讲评时，可不加评价地公布上述解法，请学生说出自己的思路.教师评价着重在以下几点：

1.概括解决方案：利用根与系数关系，运用配方法.

2.解题过程偏差纠正：初中只研究实数根，判别试Δ≥0举足轻重，不可掉以轻心.

3.正确解答（略）（答案：当k=-4时，有最大值18）.

可以看出，学生在解题过程中，有时由于概念不清，忽视条件，套用相近知识或计算出错，难免产生这样或那样的错误.所以教师在讲评过程中，应针对学生普遍存在的解完题目不复查的不良学习习惯，教育学生在经历一道数学题的苦思冥想得出答案后，还要更深层次地探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法或一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论，从而举一反三，多题一解？……如此种种，便能对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.避免结论荒唐，引为笑柄之说.因此，在数学教学中不仅要重视逻辑演绎式的数学证明，还应提高学生反思能力，使其真正掌握数学知识，并能重新构建自己的认知结构.

三、让“错误”成为学生自主学习的探索点

教师在教学中要不断引导学生透过问题的表面现象，深入细致地考虑，努力培养自己思维的严密性，感受数学发现的乐趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，促进自主学习习惯的养成.可以设计答案不唯一、有两解或多解的数学问题，如果学生考虑不全面，思维不严谨，就容易出现漏解，进入教师设置的“陷阱”中.

例3：如图AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

课堂上我请一位学生回答如何求，这位学生很熟练地回答利用相似求解.于是我就让她继续讲解，我来板书.

当学生回答至“△ACB～△CBD时，■=■”时，自己发现错误，没有对应，就立即改为：

“△ACB～△CDB时，■=■即■=■，∴AB=3.”

此时大家很满意，我却没有让这位学生坐下，而是引导她发现刚才错误是由于没对应，能否确定现在肯定对应？于是这位学生又仔细地检查了一遍，结果发现还有一种对应，还可以用勾股定理直接求得AB的长度，根本用不着大张旗鼓用相似的知识解决，这下大家才真正满意了.

从学生犯错出发，引导学生自主探索，通过探索把新知和旧知融合，达到融会贯通的能力，不仅可以巩固新学的知识点，而且可以复习以前学过的知识点，培养学生自主探索、自主发展的能力.

四、让“错误”成为学生创造性思维的生长点

弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”对待纠错这一学习过程，教师的态度也应如此.

现代教育心理学指出：学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程.这个过程一方面是暴露学生产生各种问题和矛盾的过程，另一方面是展示学生聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程.正因为如此，新课程强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验.数学新知的教学如此，巩固练习形成技能的过程更应如此.因此在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，将错就错，利用学生解题中的“错误”重新设计练习，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙.

例4：选择题：若关于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有实数根，则k的取值范围（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我发现有些粗心的同学选A.于是请大家讨论：你认为选A错在哪儿？同学们开始讨论起来，有的同学说，刚才的同学没考虑一元二次方程中k■≠0.我很满意，并进一步问：能否改下条件让答案选A？一听说让他们改编题目，同学们都很兴奋，都立即思考起来，积极性非常高.最后同学们发现只要把题中的“一元二次”四个字去掉就成功了.根据错误的答案改编题，练习方式新颖，学生非常感兴趣，效果很好.

抓住学生学习过程中的一些可利用的“错误”重新设计教学，重新设计练习，不但可以锻炼教师处理课堂教学突发事件的能力，提高教师的教育机智，还可以使犯“错误”学生的自尊心得到保护，在课堂教学中营造出一种和谐、宽容、民主的教学氛围.从而提高学生的参与程度，培养学生的创造性思维，可谓一举两得.

在数学实践中学生出现错误是美丽的，教师应用资源的眼光看待错误，鼓励学生的每一次成功，哪怕是“错误”中的成功因素，使学生充分感受到探索数学知识的乐趣，自然而然地将身心融入特有的感情氛围中，并辅以策略处理，在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新.让动态生成的“错误”成为数学课堂教学的一个亮点，让其闪现创新的火花，发挥应有的价值，让“错误”因此美丽起来，让错误闪亮数学课堂.endprint