如何利用导数解决函数的单调性问题

于海青

函数的单调性是函数最重要的性质之一，而利用导数解决函数的单调性问题，是近几年高考考查的重点和热点之一，也是学生感到比较棘手的一类问题.该类问题主要有两种类型：一是利用导数判断函数的单调性;二是由函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.

类型一 利用导数判断函数的单调性

解决此类问题的依据是：设函数f（x）在某个区间（a，b）内的导数为f ′（x） ， 则

（1）若f ′（x）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内递增;

（2）若f ′（x）<0， 则函数f（x）在区间（a，b）内递减;

（3）若f ′（x）=0， 则函数f（x）在区间（a，b）内是常数函数.

例1 已知函数f（x）=x-（1+a）lnx-ax，试讨论函数f（x）的单调性.

解析 函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f ′（x）=1-1+ax+ax2=x2-（1+a）x+ax2

=（x-a）（x-1）x2.

（1）当a<0时，由f ′（x）>0得x>1; 由f ′（x）<0得0

所以f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减.

（2）当00得x>1或0

由f ′（x）<0得a

所以f（x）在区间（0，a），（1，+∞）上单调递增，在区间（a，1）上单调递减.

（3）当a=1时，f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增.

（4）当a>1时，由f ′（x）>0得x>a或0

所以f（x）在区间（0，1），（a，+∞）上单调递增，在区间（1，a）上单调递减.

变式 已知函数f（x）=x-lnx-ax（a≠0）， 试判断函数f（x）的单调性.

解析 函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f ′（x）=1-1x+ax2=x2-x+ax2.

由于Δ=1 - 4a， 所以

（1）当1- 4a≤0即a≥14时，f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增.

（2）当1-4a>0即a<14时，

令f ′（x）=0，

得x1=1-1-4a2;x2=1+1-4a2.

若a<0，则由f ′（x）>0得x>x2;由f ′（x）<0得0

所以f（x）在区间（0，x2）上单调递减，在区间（x2，+∞）上单调递增.

若00得0x2; 由f ′（x）<0得x1

所以f（x）在区间（0， x1），（x2，+∞）上单调递增;在区间（x1，x2）上单调递减.

由以上两题可以看出，在判断含参函数的单调性时需要注意两点：1.函数的定义域.2.如何分类讨论.若方程f ′（x）=0的根可通过分解因式法求出，则可以根据方程f ′（x）=0的根是否在定义域内及根与根之间的大小关系来分类讨论;若方程f ′（x）=0的根不能通过分解因式法求出，则要根据方程f ′（x）=0（一元二次方程）的判别式及根是否在定义域内来分类讨论.

类型二 已知函数的单调性求参数的取值范围

解决此类问题的依据是：

一般地，可导函数f（x） ）在某个区间（a，b）内单调递增（或减）的充要条件是

（1）对x∈（a，b）， 都有f ′（x）≥0;

（2）在区间（a，b）内的任何子区间上f ′（x）不恒为0 .

例2 已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间（-23，-13）内是减函数，求实数a的取值范围.

解析 f ′（x）=3x2+2a+1.

因为f（x）在区间（-23，-13）内是减函数

所以f ′（x）=3x2+2ax+1≤0对x∈（-23，-13）恒成立.

结合二次函数的图象，有

f ′（-23）≤0，

f ′（-13）≤0.

解得a≥2.

而a=2时，f（x）在区间（-23，-13）内不是常数函数，

所以实数a的取值范围是a≥2.

本题还有其它解法，但转化为不等式恒成立更易于理解，且运算量小，需注意的是要对等号验证，否则易产生错解.

变式1 函数f（x）=ax+1x+2（a∈R）在区间（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.

解析 f ′（x）=a（x+2）-（ax+1）（x+2）2=2a-1（x+2）2.

因为函数f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数，

所以f ′（x）=2a-1（x+2）2在区间（-2，+∞）恒成立

所以a≥12.

而当a=12时， f（x）=12x+1x+2=12为常数函数，故a=12舍去.

所以实数a的取值范围是a>12.

变式2 已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间（-23，-13）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

解析 f ′（x）=3x2+2ax+1.

因为f（x）在区间（-23，-13）内存在单调递减区间，

所以f ′（x）=3x2+2ax+1<0对x∈（-23，-13）有解，

即不等式a>-32x-12x， 对x∈（-23，-13）有解.

令g（x）=-32x-12x，x∈（-23，-13），

则g′（x）=-23+12x2=1-3x22x2.

所以g（x）在区间（-23，-33）内递减，在区间（-33，-13）内递增，

故g（x）min=g（-33）=3.

所以实数a的取值范围是a>3.

由函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围问题，可以利用转化与化归的思想，将其转化为“不等式恒成立”问题，也可以利用函数与方程的思想及数形结合的思想，将其转化为“函数图象的交点”问题.